Algorithme GRAPE

1. k=0

initialisation deu₀

2. Propagation(|ψ₀i, u₀, t₀, t_f)

3. Propagation(|χ0i,u˜0, t_f, t0) et calcul simultan´e de ˜u0 =g(|ψ0i,|χ0i) 4. mise `a jour de k:k←k+ 1

5. Propagation(|ψ_ki, u_k, t₀, t_f) et calcul simultan´e deu_k=f(|ψ_ki,|χ_k−1i) 6. Propagation(|χ_ki,u˜_k, t_f, t₀) et calcul simultan´e de ˜u_k =g(|ψ_ki,|χ_ki) 7. siJ_k−J_k−1 ≤alors arrˆet de l’algorithme

sinon ´etape 4

On note Propagation(|ψi, u, t₁, t₂) l’action de propager l’´etat |ψi `a l’aide du champ u du temps t<sub>1</sub> `a t₂. L’algorithme d´ebute par la propagation de |ψ₀i `a l’aide du champ d’essaiu₀. Ensuite, connaissant

|ψ₀(t)i, |χ₀(t_f)i = |ψ_ci est propag´e en arri`ere en calculant simultan´ement le champ ˜u<sub>0</sub>. Ensuite, on proc`ede de la mˆeme mani`ere pour|ψ<sub>1</sub>(t)i mais avec une propagation en avant. Ce processus it´eratif est r´ep´et´e jusqu’`a ce qu’un crit`ere de convergence soit satisfait.

Dans ce domaine, il faut noter qu’un nombre impressionnant d’algorithmes a ´et´e publi´e. Ces al- gorithmes permettent de d´eterminer un champ g´en´erant une transformation unitaire donn´ee [31], de prendre en compte des contraintes spectrales [32, 33], ou de traiter la non-lin´earit´e entre le syst`eme et le contrˆole [25,34]. Une version adapt´ee au contrˆole de syst`eme dont la dynamique est non-lin´eaire par rapport `a l’´etat existe ´egalement [35]. Certains de ces d´eveloppements seront pr´esent´es dans le chapitre4.

dimensions. Plus pr´ecis´ement, on ´ecrit le coˆut final en fonction du propagateur du syst`eme :

| hψ_c|ψ(t_f)i |²=hψ₀|U₀^†...U_N^† |ψ_ci hψ_c|U_N...U₀|ψ₀i

=hψ_i|U_i^†|χ_ii hχ_i|U_i|ψ_ii

=| hψ_i|χ_ii |², (2.44)

o`u |χ<sub>i</sub>i est d´efini par |ψ<sub>c</sub>i =U<sub>N</sub>U<sub>N−1</sub>. . . U<sub>i+1</sub>|χ<sub>i</sub>i. On suppose que l’Hamiltonien du syst`eme se met sous la formeH0+u(t)H1 et en faisant l’approximation du split-operateur [37], le propagateur s’´ecrit : U_i = exp (−iH₀/2) exp (−u_iiH₁) exp (−iH₀/2). Cette approximation a la propri´et´e d’ˆetre unitaire et d’induire seulement une erreur proportionnelle `a ∆t³. On calcule alors la d´eriv´ee du coˆut par rapport

` a u_i :

d

du_i| hψ_c|ψ(T)i |² = 2 Im

ihψ_i|χ_i−1i hχ_i|exp (−iH₀/2)H₁exp (−u_iiH₁) exp (−iH₀/2)|ψ_ii

(2.45)

L’algorithme it´eratif se construit alors de la mani`ere suivante. Supposons donn´e le champ de contrˆole u<sub>k</sub> `a l’it´eration k de l’algorithme, on note u^k_i ses valeurs discr´etis´ees. On calcule alors la nouvelle valeur du champ `a l’ordre k+ 1 au tempsipar la formule :

u^k+1_i =u^k_i +α d

du_i| hψ_c|ψ_k(T)i |². (2.46) Le param`etre αest choisi suffisamment petit pour que le coˆut s’accroisse<sup>10</sup>. Il suffit alors de choisir la meilleure valeur deα pour acc´el´erer la convergence de l’algorithme. Diff´erentes variantes peuvent ˆetre d´evelopp´ees et diff`ererons dans la m´ethode de line-search choisie. Les m´ethodes dites de line-search dans le contexte des m´ethodes de gradient, d´esignent la fa¸con de d´eterminer la meilleure valeur deα pour acc´el´erer la convergence. Ces m´ethodes peuvent ˆetre du type gradients conjugu´es ou BFGS. Des versions au second ordre permettent d’utiliser la hessienne afin d’avoir une m´ethode de line-search plus efficace et surtout plus pr´ecise [38]. Notons que cette approche r´esout des probl`emes de contrˆole optimal de type Mayer-Lagrange.

La seconde version de GRAPE est bas´ee sur le PMP [39]. Elle consiste `a d´eriver le pseudo- Hamiltonien H<sub>p</sub> par rapport `a u_i et utilise cette d´eriv´ee pour mettre `a jour `a chaque it´eration le champ afin de converger vers la cible et vers la condition de maximisation ∂H_p

∂u_i = 0. On d´efinit alors

10. L’espace dans lequel notre fonction est maximis´ee estR^N avecN le nombre de champs de contrˆole. Ce type de m´ethode est qualifi´ee de direct car elle ne s’appuie pas sur un principe d’optimisation tel que le PMP.

l’Hamiltonien suivant pour un probl`eme de type Mayer :

H_p = Im(hχ|H(t)|ψi), (2.47)

o`u l’on introduit l’´etat adjoint χ. On peut v´erifier que cela correspond bien `a l’Hamiltonien de Pon- tryagin. Pour cela, on note ˙X = F(X, u) l’´equation de Schr¨odinger sous forme complexe (la forme standard) et ˙x = f(x, u) l’´equation de Schr¨odinger ´ecrite sous forme r´eelle, c’est-`a-dire que l’on a X∈Cⁿetx∈R²ⁿ. Il faut alors v´erifier queHp(x, p)≡Hp(X, P). On ´ecrit|ψi=|ψri+ i|ψii avecret id´enotant la partie r´eelle et imaginaire. Faisant de mˆeme pour |χi et pour l’Hamiltonien quantique,

`

a partir de l’Hamiltonien de Pontryagin ; on trouve :

Hp =hχr|Hr|ψii+hχr|Hr|ψii − hχi|Hr|ψri+hχi|Hi|ψii (2.48) Il faut v´erifier maintenant qu’en d´ecomposant la dynamique en partie r´eelle et imaginaire et ensuite en appliquant le PMP sur ce syst`eme, on trouve bien la mˆeme chose. En utilisant la mˆeme d´ecomposition que pr´ec´edemment on trouve la dynamique :



ψ˙_r ψ˙_i



=



 H_i H_r

−H_r H_i







ψ_r ψ_i



. (2.49)

En appliquant le PMP `a l’aide de cette ´equation, on peut v´erifier que l’Hamiltonien de Pontryagin est le mˆeme.

On peut `a l’aide des ´equations de Hamilton retrouver sa dynamique. Celles-ci conduisent au fait que l’´etat adjoint |χ(t)i voit sa dynamique gouvern´ee elle aussi par l’´equation de Schr¨odinger. Les conditions de transversalit´e permettent de connaitre la valeur finale de l’´etat adjoint. Ensuite la condi- tion de maximisation est utilis´ee pour d´eterminer le gradient qui servira `a mettre `a jour le contrˆole.

L’algorithme se formule alors de la fa¸con suivante : 1. initialisation deu₀

2. Propagation(|ψ₀i, u₀, t₀, t_f) et Propagation(|χ₀i, u₀, t_f, t₀) 3. d´etermination deα

4. mise `a jour de u<sub>0</sub> =f(|ψ<sub>0</sub>i,|χ<sub>0</sub>i) 5. mise `a jour de k:k←k+ 1

6. Propagation(|ψ_ki, u_k, t₀, t_f) et Propagation(|χ_ki, u_k, t_f, t₀) 7. d´etermination deα

8. mise `a jour de u_k =f(|ψ_ki,|χ_ki)

9. siJ_k−J_k−1 ≤alors arrˆet de l’algorithme sinon ´etape 5

Ayant initialis´e l’algorithme par un champ d’essai, l’´etat adjoint et l’´etat du syst`eme sont propag´es respectivement en arri`ere et en avant. Le premier `a partir de la cible |ψ<sub>c</sub>i et le second `a partir de l’´etat initial|ψ₀i. Connaissant ces ´evolutions, le champ est mis `a jour comme pr´ec´edemment. Ensuite, la m´ethode de line-search permet de rechercher la valeur optimale deα. On recalcule `a chaque ´etape les propagations avant et arri`ere de l’´etat du syst`eme|ψ(t)iet de l’´etat adjoint|χ(t)i avec le nouveau contrˆole. L’algorithme s’arrˆete quand un crit`ere de convergence est respect´e. Par exemple si |J_k+1− J_k| ≤avec >0 un seuil donn´e.

2.6 Comparaison des algorithmes de type monotones et de type