Discussion

Dans la section pr´ec´edente, nous avons pu construire une solution g´eom´etrique bas´ee sur le mod`ele semi-classique. Cela a permis d’acc´eder `a la dur´ee caract´eristique du contrˆole. Ensuite, un algorithme monotone a ´et´e utilis´e pour construire une solution permettant d’atteindre l’´etat cible plus fid`element.

Les temps caract´eristiques dans une exp´erience sur les gaz d’atomes froids sont de l’ordre de la millise- conde, et la possibilit´e de mise en forme du champ est assez large. Compar´e au temps caract´eristique de la dynamique, le contrˆole peut commuter rapidement, cela signifie que les contrˆoles obtenus sont exp´erimentalement r´ealistes. Couramment, le param`etre Ω est compris dans l’intervalle [0,2π×2KHz]

etχ≈2π×0.13Hz. A ce stade, en prenantN = 300, on trouve pourω= 100, Ω = 2π×1.95KHz (voir l’´equation (5.9)). Maintenant, il faut se poser la question de l’influence de la dissipation. Dans ce type d’exp´erience, il existe plusieurs sources de d´ecoh´erence et de dissipation qui ont un effet extrˆemement n´efaste sur le syst`eme. La principale source de d´ecoh´erence est due `a la perte d’atomes du pi`ege [96] et au bruit de phase [97]. Ce dernier a pour origine des fluctuations dans les ´energies des deux modes de la jonction Josephson Bosonique. Une perspective int´eressante de cette ´etude serait la prise en compte de ces effets de dissipation dans le mod`ele afin de trouver une s´equence de contrˆole plus proche des exp´eriences pour pouvoir envisager une impl´ementation r´eelle. Il faut dissocier la dissipation due `a la d´ecoh´erence not´ee τ<sub>dec</sub> de celle due `a la dissipation τ_diss, qui provient de la relaxation des com- posantes de la superposition. Ces deux temps sont g´en´eralement bien distincts. La d´ecoh´erence peut ˆetre d´ecompos´ee en trois parties. La premi`ere correspond aux pertes `a un corps li´ees `a la dispersion due aux impuret´es. Ces pertes ont un temps caract´eristique τ<sub>dec</sub><sup>−1</sup> ∝ N. Ensuite, il y a les pertes `a deux corps avec un temps caract´eristique τ_dec⁻¹ ∝N² due `a la collision atome-atome. Le dernier effet

0 10 20

ω

0 0.2 0.4

|<ψ(T)|cat 1>|2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

10⁴

F Q

−1 0 1

ω

0 0.5 1

|<ψ(T)|cat 1>|2

0 1 2 3 4 5

10⁴

t/Tc

F Q

−1 0 1

0 0.5 1

0 2 4 6 8 10

10⁴

−1 0 1

0 0.5 1

0 2 4 6 8 10

10⁴

t/Tc

Fig. 5.9:(En haut) ´Evolution du champ de contrˆole ω obtenu `a l’aide d’un algorithme monotone initialis´e par la solution g´eom´etrique. La figure du dessous repr´esente l’´evolution de la projection sur l’´etat cible pendant la s´equence de contrˆole. (En dessous) ´Evolution de l’information de Fisher en fonction du temps. Pour les trois autres figures, de gauche `a droite et de haut en bas, les temps de contrˆoles sont t=tmin, 5tmin, 10tmin et `a nouveau 10tmin. La cible utilis´ee est|ψci=|chat1ipour les trois premiers cas, c’est-`a-dire une superposition d’´etats telle que tous les atomes soient `a la fois dans le puits de droite et dans le puits de gauche. Pour le dernier cas, l’´etat cible est|ψci=|chat2i.

Fig. 5.10:(De gauche `a droite) Distribution P(θ, ϕ) de l’´etat initial, de l’´etat obtenu apr`es utilisation de la s´equence de contrˆole g´eom´etrique et de l’´etat obtenu apr`es utilisation de la s´equence de contrˆole quantique.

est la dissipation `a trois corps [98] avec un temps caract´eristiqueτ<sub>dec</sub><sup>−1</sup> ∝N<sup>3</sup>. Le temps caract´eristique de formation de notre ´etat est de l’ordre de 1/N tandis que la dissipation est en 1/N<sup>2</sup> et 1/N<sup>3</sup>, cela signifie qu’en pratique le nombre d’atomes dans la cavit´e doit ˆetre limit´e afin d’´eviter une dissipa- tion trop forte. Typiquement la dissipation τ<sub>diss</sub> est de l’ordre de 0.1s pour χ = 2π×0.13Hz, alors que pour N = 300, on trouve Tmin = 0.0289s < 0.1s. N´eanmoins, la d´ecoh´erence reste tr`es rapide : τ_dec ∝τ_diss/300∝0.33ms ce qui est donc cent fois inf´erieur au temps de contrˆole. Pour pouvoir utiliser notre protocole, il est n´ecessaire de diminuer l’influence de la dissipation d’un facteur 100 ou bien de trouver un nouveau protocole tenant compte de la dissipation [99] afin de limiter son influence durant la g´en´eration de la superposition macroscopique.

Comparaison du contrˆ ole optimal

g´ eom´ etrique avec d’autres m´ ethodes de contrˆ ole

6.1 Comparaison des m´ ethodes de contrˆ ole optimal g´ eom´ etrique et num´ erique

Cette section s’int´eresse `a la comparaison des m´ethodes de contrˆole optimal g´eom´etrique et num´eri- que. Il est n´ecessaire de bien faire la distinction entre ce que l’on va appeler par la suite g´eom´etrique et num´erique. Num´erique signifie ici que l’on va utiliser un algorithme num´erique it´eratif qui va conver- ger vers une extr´emale du probl`eme tandis que g´eom´etrique signifie qu’une analyse g´eom´etrique du probl`eme a ´et´e faite pr´ealablement afin de d´eterminer la structure de l’ensemble des extr´emales du probl`eme. Dans ce dernier cas, il suffit alors de chercher un moment initial p(0) tel que l’extr´emale associ´ee v´erifie les contraintes aux bords et la structure d´eriv´ee de l’analyse g´eom´etrique. Le probl`eme de la saturation sera utilis´e comme cas d’´etude en temps minimum puis en ´energie minimum.

Le syst`eme physique consid´er´e pour la comparaison est le syst`eme correspondant `a un spin 1/2 dissipatif, comme dans le chapitre 2. Le contrˆole est suppos´e r´esonant avec la fr´equence de transition entre les deux niveaux et par sym´etrie de rotation autour de z, on peut se ramener `a un syst`eme `a deux dimensions. La dynamique s’´ecrit alors :





˙

y =−Γy+uz

˙

z =γ(1−z)−uy

. (6.1)

L’algorithme num´erique utilis´e pour effectuer la comparaison est l’algorithme GRAPE d´efini dans la section (2.5.2). Le premier exemple de comparaison sera le cas de la saturation de l’aimantation en temps minimum puis nous ´etudierons la saturation du spin en ´energie minimum [100].

6.1.1 Cas du temps minimum

Le probl`eme de la saturation en temps minimum par les m´ethodes g´eom´etriques a d´ej`a ´et´e ´etudi´e dans la section (3.3). Le r´esultat est un contrˆole ayant une structure bang singuli`ere bang singuli`ere, not´ee BSBS. Pour les algorithmes num´eriques, le traitement du probl`eme consiste `a utiliser la fonc- tionnelle de coˆut :

ΦT = 1−p

y²+z². (6.2)

L’algorithme GRAPE cherche `a maximiser le coˆut en un temps fixet<sub>f</sub>. Maximiser ce coˆut revient `a saturer le spin, c’est-`a-dire que l’aimantation doit atteindre le point de coordonn´ees (y= 0, z= 0) qui correspond au centre de la boule de Bloch. Un premier test consiste simplement `a utiliser l’algorithme GRAPE en fixantt_f =t_min. Sur la figure (6.1) du milieu, on peut voir la comparaison de la trajectoire optimale obtenue par la m´ethode g´eom´etrique en trait plein et la trajectoire obtenue par GRAPE en trait discontinu. Sur cette figure, les trajectoires des syst`emes avec les param`etres (T₁ = 740ms, T₂ = 60ms) et (T1 = 740ms, T2 = 246ms) sont trac´ees respectivement `a gauche et `a droite de la boule de Bloch. Les trajectoires obtenues par les deux m´ethodes sont tr`es similaires, on constate que la solution GRAPE est liss´ee. L’algorithme ne prenant pas en compte sp´ecifiquement le lieu singulier, il ne peut pas exhiber de singuli`ere. Cependant, la trajectoire GRAPE est tr`es proche de la ligne singuli`ere (qui est pour rappel la projection du lieu singulier de l’espace des phases (x, p) sur l’espace physique x).

Sur la figure (6.1a), la solution g´eom´etrique, qui utilise une m´ethode de tir arrive `a 5.34×10<sup>−16</sup> du centre de la boule tandis que la solution GRAPE se rapproche `a 2.25×10⁻¹³. Pour le cas de la figure (6.1b), la solution g´eom´etrique se rapproche `a 9.88×10⁻¹⁵ du centre tandis que GRAPE se rapproche

`

a 6.13×10⁻⁸ de celui-ci.

Une seconde approche possible est l’utilisation de l’algorithme GRAPE pour balayer un ensemble de temps de contrˆole diff´erents, la figure (6.1) du haut est alors obtenue. Sur celle-ci, on observe l’´evolution du logarithme d´ecimal de Φ_t en fonction det. On constate une variation abrupte du coˆut au voisinage du temps minimum. Le temps minimum obtenu num´eriquement est de 204.3ms contre 203.7ms pour le temps minimum g´eom´etrique. Cette valeur num´erique est d´efinie comme l’abscisse de la droite o`u intervient la variation abrupte de l’´evolution de Φt(la ligne pointill´ee).

Il convient d’apporter quelques pr´ecisions permettant de mieux comparer les avantages de chacune des m´ethodes. Le syst`eme hamiltonien est r´esolu `a l’aide d’une m´ethode de type Runge-Kutta d’ordre 4-5. Cela permet ensuite d’obtenir la forme du champ de contrˆole. Il faut se rappeler que malgr´e la possibilit´e de mise en forme de champ tr`es abrupte, il n’est pas possible de discr´etiser le champ de contrˆole en dessous d’une certaine limite. En d’autre termes, on doit utiliser un nombre de points

0 2 4 6 8

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2 0

t_f Log 10(Φ t)

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5 0 0.5 1

z

y

0 2 4 6 8

−5 0 5 10

u

(a)

0 5 10 15

−10

−5 0 5

u (b)

t

Fig. 6.1:(Haut) ´Evolution du coˆut terminal Φt en fonction de la dur´ee du contrˆole tf. (En bas `a gauche) Trajectoires num´erique et g´eom´etrique associ´ees aux deux jeux de param`etres (T1, T2) choisis. (En Bas

`a droite) A gauche de la boule de Bloch les trajectoires du syst`eme (T1 = 740ms, T2 = 60ms) et `a droite de la boule de Bloch les trajectoires du syst`eme (T1 = 740ms, T2 = 246ms). La trajectoire en trait plein correspond `a la solution g´eom´etrique et en pointill´e `a la solution num´erique. (En bas `a Droite) Contrˆole associ´e aux trajectoires. La partie sup´erieure correspond aux trajectoires de gauche et la partie inf´erieure aux trajectoires de droite.

finis afin de d´ecrire le champ. La propagation de la dynamique `a l’aide des ´equations de Hamilton est r´ealis´ee sur une grille de 500000 points. Ensuite, pour reproduire les r´esultats exp´erimentaux, on discr´etise le champ sur un nombre de points plus petit. En pratique, le champ est discr´etis´e avec un pas de l’ordre de la µs. Dans notre cas, on discr´etise le champ `a l’aide de 5000 points. Pour finir, on effectue une propagation en consid´erant le champ constant sur un pas de temps `a l’aide de la solution exacte obtenue en posantu(t) =u. Sous forme matricielle, cette solution s’´ecrit :

X(t) =e^A(u)t(X(0) +A⁻¹(u)B), (6.3) avec une dynamique gouvern´ee par une ´equation de la forme ˙X =A(u)X+B. Cette discr´etisation en un nombre fini de points est probl´ematique d’un point de vue de pratique. La solution g´eom´etrique est constitu´ee de quatre arcs, or le pas de temps va ˆetre commun aux quatre intervalles. G´en´eriquement, le pas de temps ne sera pas un diviseur commun pour les quatre segments, il s’en suit une perte de pr´ecision sur les trois temps de commutation. Pour passer `a 5000 points, une moyenne du champ de contrˆole est r´ealis´ee sur chaque intervalle, la distance par rapport au centre de la boule de Bloch de la solution g´eom´etrique passe alors `a 1.15×10⁻³ et 5.70×10⁻³ pour chaque cas. Notons qu’il est bien sˆur possible de trouver un nombre de points plus ad´equat de sorte que la discr´etisation ait un effet moins n´efaste. Par exemple, en choisissant 5839 points la distance passe `a 2.24×10<sup>−4</sup> pour le premier cas. Pour cet exemple, la m´ethode purement num´erique poss`ede un avantage. L’optimisation ´etant d´ej`a effectu´ee sur un nombre de points fix´e (pour le tir l’int´egration est faite `a l’aide d’une m´ethode d’int´egration `a pas variable), elle permet de trouver une solution qui exp´erimentalement sera plus pr´ecise et directement adapt´ee aux nombres de points exp´erimentaux du spectrom`etre. Ceci conclut la comparaison entre les m´ethodes g´eom´etrique et num´erique dans le cas de la saturation en temps minimum.

6.1.2 Cas de l’´energie minimum

Dans cette section, la comparaison des deux m´ethodes pour le cas de la saturation en ´energie minimum est trait´ee. Dans [100], il est montr´e que les singuli`eres ne jouent aucun rˆole dans ce probl`eme, on consid`ere alors seulement des extr´emales r´eguli`eres.

Les r´esultats obtenus pour les deux m´ethodes sont encore une fois tr`es similaires, les r´esultats sont synth´etis´es dans le tableau (6.1). La partie sup´erieure du tableau compare les deux m´ethodes pour le jeu de param`etres (T₁ = 740ms, T₂ = 60ms) mais en faisant varier le temps de contrˆole d’un facteur K d´efini commet_f =Kt_min, avec t_f la dur´ee du contrˆole fix´ee ett_min le temps d´efinit dans la section

0 1 2 3

max(u)

0 5 10 15

t(max(u))

1 2 3 4 5

E

10 15 20

t

f

10 15 2010

20 30 40

t

f

× E

y

z

−1.5 −1 −0.5 0 0.5

−0.5 0 0.5

0 5 10

0 0.5 1 1.5

t

u

Fig. 6.2:(En haut `a gauche) Trajectoire saturante minimisant l’´energie pour une dur´ee tf = K×tmin pour K= 1.1,K= 1.5 etK= 2 respectivement en rouge, vert et bleu. Les trajectoires num´eriques sont en trait discontinu et les trajectoires g´eom´etriques en trait plein. (En bas `a gauche) Champs de contrˆole associ´e aux trajectoires du cadre du dessus. (En haut `a droite) ´Evolution du maximum du champ en fonction de la dur´ee du contrˆole en trait plein et ´evolution de la position du maximum en trait discontinu. (En bas `a droite) ´Evolution de l’´energie du contrˆole en fonction de la dur´ee en trait plein et ´evolution du produit ´energie temps de contrˆole.

(3.3). Les tests sont effectu´es pourK = 1.1, 1.5 et 2, les trajectoires obtenues sont visibles sur la figure (6.2) en haut `a gauche. Les trajectoires des deux m´ethodes sont tr`es similaires. Pour ce probl`eme, les trajectoires des deux m´ethodes sont lisses. Cela vient de l’absence de borne sur le champ. La partie basse du tableau (6.1) montre l’influence des param`etres dissipatifs. Les r´esultats restent une nouvelle fois comparables. La pr´ecision de la m´ethode g´eom´etrique est donn´ee deux fois : `a gauche il s’agit de la pr´ecision obtenue en r´esolvant les ´equations de Hamilton `a l’aide d’une m´ethode de type Runge-Kutta tandis que la valeur de droite correspond `a la propagation discr`ete `a l’aide du champ discr´etis´e sur un nombre de points plus faible. Avant de continuer notre ´etude sur les comparaisons des diff´erentes m´ethodes, il convient de d´etailler un peu le comportement de la solution en ´energie minimum. Sur la figure (6.2), on constate que lorsque le temps de contrˆole augmente, l’´energie diminue et tend vers une valeur fixe. Cette convergence se comprend par le fait que lorsque le temps de contrˆole augmente, la valeur du champ de contrˆole `a l’instant initial tend vers 0 et la solution tend donc vers un point fixe de la dynamique. Si le champ de contrˆole est quasi-nul `a l’´equilibre, il faut alors un temps infini pour quitter ce point.

M´ethode GRAPE GM

K 1.1

Energie´ 3.1876 3.1272

Distance 5.37×10⁻¹² 1.85×10⁻¹²|1.04×10⁻⁸

K 1.5

Energie´ 1.8967 1.8963

Distance 1.51×10⁻¹² 4.99×10⁻¹³|2.90×10⁻⁸

K 2

Energie´ 1.8789 1.8781

Distance 3.24×10⁻¹² 8.18×10⁻¹³|5.43×10⁻⁸

δγ 0.4742

Energie´ 1.8780 1.8798

Distance 4.22×10⁻¹¹ 1.34×10⁻¹⁴|1.36×10⁻⁶

δγ 0.2373

Energie´ 1.3034 1.3031

Distance 1.16×10⁻¹¹ 6.05×10⁻¹⁴|4.11×10⁻⁷

δγ 0

Energie´ 0.5879 0.5881

Distance 4.75×10⁻¹¹ 3.68×10⁻¹⁴|1.21×10⁻⁷

Tab. 6.1:(Haut) Comparaison des m´ethodes g´eom´etrique (colonne GM) et num´erique (colonne GRAPE) pour diff´erentes dur´ees de contrˆoleK=tf/tmin= 1.1, 1.5 et 2. (Bas) Comparaison des deux m´ethodes pour diff´erentes valeurs deδγavecK= 10 fix´e. Le param`etreδγest d´efini parδγ= 2π/ωmax(T1−T2)/T1T2. La longueurD=p

y²+z² est la distance par rapport au centre de la boule de Bloch.

A l’inverse lorsque le temps de contrˆole diminue et tend vers la valeur du temps minimum alors

l’´energie du contrˆole explose et tend vers l’infini. Ce comportement se comprend dans le cas du traite- ment du temps minimum avec une borne infinie sur le contrˆole [101]. Lorsque l’on fait ´evoluer la valeur de la borne vers l’infini, l’´energie des bangs peut ˆetre n´eglig´ee car le produit dur´ee fois bornes,t×m, pour se d´eplacer vers la singuli`ere est constant<sup>1</sup>. Il faut donc s’int´eresser `a la singuli`ere horizontale.

L’´energie de la singuli`ere verticale est nulle car le contrˆole singulier associ´e est ´egalement nul. L’´energie n´ecessaire pour se d´eplacer le long de la singuli`ere horizontale peut ˆetre exprim´ee comme suit :

E= Z t1

t0

dtu_s(t)² = Z 0

−√

1−z²₀

dy

˙

y u_s(y)², (6.4)

avec

u_s= T₂−2T₁ 2T₁(T₁−T₂)

1

y, (6.5)

le contrˆole singulier le long de la singuli`ere horizontale. t₀ ett₁ sont respectivement les temps initial et final le long de cette trajectoire. En l’absence de borne, le point d’admissibilit´e tend versy = 0. Or autour de cette valeur, ˙y=−Γy−u²_sz₀ est de l’ordre de −u_sz₀ caru_s ´evolue comme 1/y. L’int´egrant de l’´energie ´evolue alors lui aussi en 1/yet l’´energie a donc une divergence logarithmique quandy→0.

Un minimum d’´energie apparait pour un temps fini, ce minimum est de l’ordre de la limite quand le temps tend vers l’infini. Il faut ´egalement remarquer que lorsque le temps de contrˆole tend vers l’infini, la forme du champ de contrˆole est conserv´ee et seulement d´eplac´ee vers la droite. Ce comportement est d´eduit de la figure (6.2). En bas `a droite, la courbe en trait plein repr´esente l’´evolution du maximum du contrˆole en fonction du temps de contrˆole tandis que la courbe en trait discontinu repr´esente l’´evolution de la position du maximum. On constate que le maximum se d´eplace vers les temps grands en augmentant le temps de contrˆole pendant que la valeur du maximum diminue. Pour finir, il convient de remarquer que pour choisir une valeur du temps de contrˆole, on peut trouver un compromis entre l’´energie E et le temps de contrˆole t<sub>f</sub>. Le produit t<sub>f</sub> ×E pr´esente un minimum pour une dur´ee de contrˆole finie. L’ensemble des figures montrant l’´evolution du probl`eme en ´energie en fonction de la dur´ee du contrˆole sont r´ealis´ees `a l’aide d’une m´ethode d’homotopie (cf section (2.4.4)) sur le param`etre K.

1. Dans la limite o`u la valeur de la borne devient grande par rapport aux termes dissipatifs, ces derniers peuvent ˆetre n´eglig´es. L’action du contrˆole est unitaire et n’engendre que des rotations. Or l’´evolution de x est d´ecrite par x(t) =x0exp (tuB) avecB=

0 −1

1 0

. On peut alors faire le changementθ=tu. Pour effectuer une rotation deθ, il suffit de consid´erer un temps de contrˆole inversement proportionnel `a la valeur de la borne et l’´energie du contrˆole ne d´epend alors que de l’angle et plus du temps de contrˆole.

6.1.3 Conclusion

Chacune des deux m´ethodes pr´esentent des avantages ind´eniables. Les m´ethodes num´eriques telles que GRAPE ont l’avantage d’utiliser un contrˆole constant par morceaux, ce qui d´ecrit mieux la si- tuation exp´erimentale dans un syst`eme en RMN. De plus, on peut utiliser une propagation exacte entre deux pas de temps. La m´ethode num´erique aura donc l’avantage de construire une solution qui adaptera le champ en fonction de la taille de la discr´etisation. L’inconv´enient est que la solu- tion d´epend alors de la discr´etisation choisie. Ceci n’est pas possible pour la premi`ere approche, le probl`eme g´eom´etrique n’´etant pas d´efini comme constant par morceaux. N´eanmoins, il a l’avantage de pouvoir s’adapter facilement `a des m´ethodes d’homotopie. En effet, ayant r´esolu un probl`eme de contrˆole g´eom´etrique par une m´ethode de tir, il est ensuite ais´e de trouver la solution d’autres probl`emes `a l’aide des m´ethodes d’homotopies, qui permettent de trouver d’autres solutions en faisant varier continˆument les param`etres du syst`eme. Notons que ces deux m´ethodes sont compl´ementaires, les m´ethodes g´eom´etriques permettent de bien comprendre la forme de la solution, au contraire des m´ethodes num´eriques qui fonctionnent un peu comme des boˆıtes noires et trouvent des formes de contrˆole qui peuvent ˆetre compliqu´ees. Ces derni`eres ont tout de mˆeme l’avantage de fonctionner pour des syst`emes de grandes dimensions tandis que les m´ethodes g´eom´etriques sont restreintes `a des syst`emes de plus basses dimensions. La compl´ementarit´e des deux approches est illustr´ee par le couplage que l’on peut r´ealiser entre les deux m´ethodes. Ce couplage pourrait ˆetre envisag´e de deux fa¸cons. Tout d’abord les m´ethodes num´eriques pourraient permettre de se rapprocher au plus pr`es d’une extr´emale, puis utilisant la solution num´erique pour initialiser le tir, on pourrait imaginer trou- ver la solution de syst`emes de plus grandes dimensions. Cette id´ee est utilis´ee en m´ecanique spatiale o`u en g´en´eral un coˆut r´egularisant le probl`eme est utilis´e pour approximer la solution optimale et d´etecter les temps de commutation du contrˆole, puis un tir est effectu´e pour d´eterminer pr´ecis´ement ces temps. Il faut remarquer que dans ce manuscrit nous avons d´ej`a abord´e `a deux reprises l’id´ee inverse. Celle-ci consiste `a utiliser un mod`ele simplifi´e pour d´eterminer une solution simple `a partir de la m´ethode g´eom´etrique. Cette derni`ere sert alors `a initialiser la m´ethode num´erique pour l’appliquer au mod`ele complet (voir sections (3.4) et (5.3)).

6.2 Comparaison avec le contrˆ ole local

L’objectif de cette section est de comparer les r´esultats du probl`eme de saturation de l’aimantation en temps minimum de la m´ethode g´eom´etrique et de la m´ethode de contrˆole local g´en´eralis´e. Il faut pr´eciser que dans la litt´erature, on peut trouver la d´enomination de contrˆole local ou contrˆole de

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