Cas de l’´energie minimum

Dans cette section, la comparaison des deux m´ethodes pour le cas de la saturation en ´energie minimum est trait´ee. Dans [100], il est montr´e que les singuli`eres ne jouent aucun rˆole dans ce probl`eme, on consid`ere alors seulement des extr´emales r´eguli`eres.

Les r´esultats obtenus pour les deux m´ethodes sont encore une fois tr`es similaires, les r´esultats sont synth´etis´es dans le tableau (6.1). La partie sup´erieure du tableau compare les deux m´ethodes pour le jeu de param`etres (T₁ = 740ms, T₂ = 60ms) mais en faisant varier le temps de contrˆole d’un facteur K d´efini commet_f =Kt_min, avec t_f la dur´ee du contrˆole fix´ee ett_min le temps d´efinit dans la section

0 1 2 3

max(u)

0 5 10 15

t(max(u))

1 2 3 4 5

E

10 15 20

t

10 15 2010

20 30 40

t

× E

y

z

−1.5 −1 −0.5 0 0.5

−0.5 0 0.5

0 5 10

0 0.5 1 1.5

t

u

Fig. 6.2:(En haut `a gauche) Trajectoire saturante minimisant l’´energie pour une dur´ee tf = K×tmin pour K= 1.1,K= 1.5 etK= 2 respectivement en rouge, vert et bleu. Les trajectoires num´eriques sont en trait discontinu et les trajectoires g´eom´etriques en trait plein. (En bas `a gauche) Champs de contrˆole associ´e aux trajectoires du cadre du dessus. (En haut `a droite) ´Evolution du maximum du champ en fonction de la dur´ee du contrˆole en trait plein et ´evolution de la position du maximum en trait discontinu. (En bas `a droite) ´Evolution de l’´energie du contrˆole en fonction de la dur´ee en trait plein et ´evolution du produit ´energie temps de contrˆole.

(3.3). Les tests sont effectu´es pourK = 1.1, 1.5 et 2, les trajectoires obtenues sont visibles sur la figure (6.2) en haut `a gauche. Les trajectoires des deux m´ethodes sont tr`es similaires. Pour ce probl`eme, les trajectoires des deux m´ethodes sont lisses. Cela vient de l’absence de borne sur le champ. La partie basse du tableau (6.1) montre l’influence des param`etres dissipatifs. Les r´esultats restent une nouvelle fois comparables. La pr´ecision de la m´ethode g´eom´etrique est donn´ee deux fois : `a gauche il s’agit de la pr´ecision obtenue en r´esolvant les ´equations de Hamilton `a l’aide d’une m´ethode de type Runge-Kutta tandis que la valeur de droite correspond `a la propagation discr`ete `a l’aide du champ discr´etis´e sur un nombre de points plus faible. Avant de continuer notre ´etude sur les comparaisons des diff´erentes m´ethodes, il convient de d´etailler un peu le comportement de la solution en ´energie minimum. Sur la figure (6.2), on constate que lorsque le temps de contrˆole augmente, l’´energie diminue et tend vers une valeur fixe. Cette convergence se comprend par le fait que lorsque le temps de contrˆole augmente, la valeur du champ de contrˆole `a l’instant initial tend vers 0 et la solution tend donc vers un point fixe de la dynamique. Si le champ de contrˆole est quasi-nul `a l’´equilibre, il faut alors un temps infini pour quitter ce point.

M´ethode GRAPE GM

K 1.1

Energie´ 3.1876 3.1272

Distance 5.37×10⁻¹² 1.85×10⁻¹²|1.04×10⁻⁸

K 1.5

Energie´ 1.8967 1.8963

Distance 1.51×10⁻¹² 4.99×10⁻¹³|2.90×10⁻⁸

K 2

Energie´ 1.8789 1.8781

Distance 3.24×10⁻¹² 8.18×10⁻¹³|5.43×10⁻⁸

δγ 0.4742

Energie´ 1.8780 1.8798

Distance 4.22×10⁻¹¹ 1.34×10⁻¹⁴|1.36×10⁻⁶

δγ 0.2373

Energie´ 1.3034 1.3031

Distance 1.16×10⁻¹¹ 6.05×10⁻¹⁴|4.11×10⁻⁷

δγ 0

Energie´ 0.5879 0.5881

Distance 4.75×10⁻¹¹ 3.68×10⁻¹⁴|1.21×10⁻⁷

Tab. 6.1:(Haut) Comparaison des m´ethodes g´eom´etrique (colonne GM) et num´erique (colonne GRAPE) pour diff´erentes dur´ees de contrˆoleK=tf/tmin= 1.1, 1.5 et 2. (Bas) Comparaison des deux m´ethodes pour diff´erentes valeurs deδγavecK= 10 fix´e. Le param`etreδγest d´efini parδγ= 2π/ωmax(T1−T2)/T1T2. La longueurD=p

y²+z² est la distance par rapport au centre de la boule de Bloch.

A l’inverse lorsque le temps de contrˆole diminue et tend vers la valeur du temps minimum alors

l’´energie du contrˆole explose et tend vers l’infini. Ce comportement se comprend dans le cas du traite- ment du temps minimum avec une borne infinie sur le contrˆole [101]. Lorsque l’on fait ´evoluer la valeur de la borne vers l’infini, l’´energie des bangs peut ˆetre n´eglig´ee car le produit dur´ee fois bornes,t×m, pour se d´eplacer vers la singuli`ere est constant<sup>1</sup>. Il faut donc s’int´eresser `a la singuli`ere horizontale.

L’´energie de la singuli`ere verticale est nulle car le contrˆole singulier associ´e est ´egalement nul. L’´energie n´ecessaire pour se d´eplacer le long de la singuli`ere horizontale peut ˆetre exprim´ee comme suit :

E= Z t1

t0

dtu_s(t)² = Z 0

−√

1−z²₀

dy

˙

y u_s(y)², (6.4)

avec

u_s= T₂−2T₁ 2T₁(T₁−T₂)

1

y, (6.5)

le contrˆole singulier le long de la singuli`ere horizontale. t₀ ett₁ sont respectivement les temps initial et final le long de cette trajectoire. En l’absence de borne, le point d’admissibilit´e tend versy = 0. Or autour de cette valeur, ˙y=−Γy−u²_sz₀ est de l’ordre de −u_sz₀ caru_s ´evolue comme 1/y. L’int´egrant de l’´energie ´evolue alors lui aussi en 1/yet l’´energie a donc une divergence logarithmique quandy→0.

Un minimum d’´energie apparait pour un temps fini, ce minimum est de l’ordre de la limite quand le temps tend vers l’infini. Il faut ´egalement remarquer que lorsque le temps de contrˆole tend vers l’infini, la forme du champ de contrˆole est conserv´ee et seulement d´eplac´ee vers la droite. Ce comportement est d´eduit de la figure (6.2). En bas `a droite, la courbe en trait plein repr´esente l’´evolution du maximum du contrˆole en fonction du temps de contrˆole tandis que la courbe en trait discontinu repr´esente l’´evolution de la position du maximum. On constate que le maximum se d´eplace vers les temps grands en augmentant le temps de contrˆole pendant que la valeur du maximum diminue. Pour finir, il convient de remarquer que pour choisir une valeur du temps de contrˆole, on peut trouver un compromis entre l’´energie E et le temps de contrˆole t<sub>f</sub>. Le produit t<sub>f</sub> ×E pr´esente un minimum pour une dur´ee de contrˆole finie. L’ensemble des figures montrant l’´evolution du probl`eme en ´energie en fonction de la dur´ee du contrˆole sont r´ealis´ees `a l’aide d’une m´ethode d’homotopie (cf section (2.4.4)) sur le param`etre K.

1. Dans la limite o`u la valeur de la borne devient grande par rapport aux termes dissipatifs, ces derniers peuvent ˆetre n´eglig´es. L’action du contrˆole est unitaire et n’engendre que des rotations. Or l’´evolution de x est d´ecrite par x(t) =x0exp (tuB) avecB=

0 −1

1 0

. On peut alors faire le changementθ=tu. Pour effectuer une rotation deθ, il suffit de consid´erer un temps de contrˆole inversement proportionnel `a la valeur de la borne et l’´energie du contrˆole ne d´epend alors que de l’angle et plus du temps de contrˆole.