3. Contrˆ ole optimal en R´ esonance Magn´ etique Nucl´ eaire
3.3 Contrˆ ole en temps minimum
3.3.2 Contrˆ ole optimal g´eom´etrique
Dans ce probl`eme, on consid`ere une borne m sur le contrˆole, c’est-`a-dire que u ∈U = [−m, m].
Cette borne est tout-`a-fait justifiable puisqu’exp´erimentalement il n’est pas possible de produire un champ de contrˆole d’amplitude arbitrairement grande. Lorsque la condition de r´esonance est v´erifi´ee (ω−ω0 = 0) et en consid´erant un unique champ de contrˆole, en se pla¸cant dans le rep`ere tournant le syst`eme peut ˆetre r´eduit `a deux dimensions. Du fait de la sym´etrie de r´evolution autour de l’axe z, nous ne perdons aucune g´en´eralit´e dans le traitement du probl`eme. La dynamique restreinte `a un
plan s’´ecrit alors :
˙
y =−Γy−uz
˙
z =γ(1−z) +uy
. (3.29)
o`u on a suppos´eux = 0 et o`u on noteu=uy. Pour traiter le probl`eme, la dynamique est d´ecompos´ee sur les champs de vecteurs F0 = (−Γ, γ(1−z)) etF1 = (−z, y). La dynamique est alors donn´ee par :
˙
x=F0(x) +uF1(x) avecx= (y, z). On retrouve la forme de l’´equation (2.15). En utilisant le PMP, le pseudo-Hamiltonien de notre probl`eme de contrˆole optimal est donn´e par :
H=pF0(x) +upF1(x) +p0. (3.30)
Dans le probl`eme trait´e, le coˆutf0 est constant. En effet, on cherche `a minimiser le temps de contrˆole, c’est-`a-dire C =
Z T
0
dt donc f0 = 1. Comme le temps de contrˆole est libre, on a la contrainte suppl´ementaire H = 0. On peut s’affranchir de la constante p0 ≤ 0 en d´efinissant un nouvel ha- miltonien : ˜H =H−p0 ≥0 (Dans la suite, on oubliera le tilde). On peut alors ´ecrire les ´equations de
Hamilton d´ecrivant la dynamique du syst`eme dans l’espace des phases :
˙
x = ∂H
∂p =F0+uF1
˙
p =−∂H
∂x =−p∇xF0−up∇xF1
. (3.31)
A pr´esent, int´eressons-nous `a la condition de maximisation : u= arg max
v∈[−m,m](H(v)) (3.32)
Dans la section (2.4.1), nous avons vu que la condition de maximisation avec la contrainte d’une borne sur le contrˆole n´ecessitait l’introduction de la fonction de commutation Φ =pF1 ainsi que de sa d´eriv´ee Φ =˙ p[F0, F1]. Le crochet de Lie deF0 et deF1 s’´ecrit : [F0, F1] = (−γ−δγz,−δγy). Rappelons que le contrˆole peut alors prendre les valeurs suivantes :
u=msign Φ
si Φ = 0 : u=±m→ ∓m Φ = ˙Φ =...= 0 : u=us
. (3.33)
Afin de construire la synth`ese optimale du syst`eme, nous devons introduire les structures g´eom´etriques caract´eristiques du syst`eme. Commen¸cons par d´eterminer la position du lieu de colin´earit´e. D’apr`es la section (2.4.2), on a :
det(F0, F1) =
−Γy −z γ(1−z) y
=−Γy2+γz(1−z), (3.34)
o`uδ = Γ−γ. Il est repr´esent´e en vert sur la figure (3.9). Dans la section (2.4.2), le lieu singulier a ´et´e introduit dans le cas `a deux dimensions et d´efini comme :
det(F0,[F0, F1]) =
−z −γ−δγz y −δγy
=y(γ+ 2δγz). (3.35)
Il est donc constitu´e de deux droites, une verticale d’´equationy0 = 0 et l’autre horizontale d’´equation z0 =−γ/(2δγ). Elles sont repr´esent´ees en bleu sur la figure (3.9). Il faut remarquer que si Γ≥3γ/2
alors la ligne singuli`ere horizontale se situe en dehors de la boule de Bloch et il n’est donc pas possible de l’utiliser.
Nous venons de montrer o`u est localis´ee la projection sur l’espace des positions du lieu singulier (d´efini dans l’espace des phases). En d’autres termes, les lignes singuli`eres sont la projection de l’espace singulier sur l’espace des positions, c’est-`a-dire la projection de l’espace singulier sur la boule de Bloch.
Cela signifie que si la trajectoire de l’aimantation intersecte une ligne singuli`ere, cela ne suffit pas `a dire que le point d’intersection appartient au lieu singulier de l’espace des phases, c’est-`a-dire queF0et [F0, F1] peuvent ˆetre parall`eles sans pour autant quep soit orthogonal `a ces deux vecteurs. Le champ singulier est calcul´e `a partir de l’´equation (2.20) et on trouve :
us=−p[F0,[F0, F1]]
p[F1,[F0, F1]]
= −yγ(Γ−2γ)−2yz(γ2−Γ2)
2δγ(y2−z2)−γz . (3.36)
Cette expression se simplifie suivant que l’on consid`ere le contrˆole singulier permettant de se d´eplacer sur la singuli`ere verticale ou horizontale. On obtient :
uvs = 0
uhs = γ(γ−2Γ) 2δγ
1 y
, (3.37)
o`u les indicesh etv d´esignent respectivement les singuli`eres horizontale et verticale. Sur la singuli`ere verticale, on remarque que le contrˆole singulier consiste `a laisser agir la dissipation longitudinale.
Sur la singuli`ere horizontale, le contrˆole hyperboliqueuhs permet de compenser en partie l’effet de la dissipation pour se d´eplacer horizontalement. Nous reviendrons sur ces diff´erents points au moment de trouver une interpr´etation physique des singuli`eres.
Les diff´erents objets n´ecessaires `a la construction de la synth`ese ´etant en place, nous pouvons d´ecrire sa construction. La premi`ere ´etape consiste `a construire l’ensemble accessible, c’est-`a-dire d´eterminer le sous-ensemble de la boule de Bloch que l’on peut atteindre depuis le point d’´equilibre thermodynamique (0,1) `a l’aide de contrˆole respectant la contrainteu∈[−m, m]. En effet l’action de la dissipation est de ramener l’aimantation `a l’´equilibre thermodynamique, cette action non-unitaire de l’environnement sur l’aimantation n’autorise pas `a atteindre n’importe quel point de la boule de Bloch. Cette construction se fait num´eriquement de mani`ere simple. Il suffit de r´ealiser un tir avec un bang d’amplitude ±m pour atteindre le point appartenant `a l’axe z oppos´e au pˆole nord. La zone d’accessibilit´e est d´efinie par l’ensemble des points pouvant ˆetre atteints par le contrˆole. Elle est
y
z
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fig. 3.9:Repr´esentation des diff´erentes structures g´eom´etriques. En rouge on a repr´esent´e le bord de l’ensemble accessible, en bleu les lignes singuli`eres et en vert le lieu de colin´earit´e. Depuis le point d’´equilibre (0,1), `a cause de l’action non-unitaire de la dissipation, avec une borne sur le contrˆole, il ne sera pas possible d’atteindre n’importe quel point de la boule Bloch et seul un sous ensemble de la boule de Bloch est accessible.
repr´esent´ee en rouge sur la figure (3.9).
Ensuite, il faut d´eterminer si les singuli`eres sont lentes ou rapides. Pour cela, on utilise la forme horloge d´efinie dans la section (2.4.2). La singuli`ere horizontale est localement optimale tandis que la singuli`ere verticale est localement optimale seulement siz≥z0.