Application

par :

H+=ρ0

−ω²I−2iωv0

∂

∂x1

+v02 ∂²

∂x12 −s∆

.

Il est alors facile de montrer que l’op´erateurH+ est auto-adjoint et surjectif, sauf pour des valeurs excep- tionnelles du param`etre s. Nous d´eduisons de sa surjectivit´e que, pour toutgde L<sup>2</sup>(Ω), il existe un unique φ+ appartenant `aH¹(Ω+) v´erifiant :

H+φ+=g_|Ω+.

Nous utilisons ensuite cette solution pour poser le probl`eme suivant sur le domaine Ω− au moyen de la condition de transmission [φ]Γ= 0 contenue dans D:

ρ₀ −ω²φ−s∆φ

=g_|Ω

− dans Ω₋, φ= 0 sur∂Ω−\Γ,

φ=φ+|Γ sur Γ.

Ce dernier probl`eme est bien pos´e dans H¹(Ω−), ce qui nous permet de conclure de (3.19) que rotu =ψ dans Ω+∪Ω.

D´emonstration du lemme 3.6. Nous raisonnons par l’absurde. Si l’´enonc´e du lemme ´etait faux, il existerait une suite (ϕ_n)_n∈NdeH¹(Ω), telle que :

kϕnk_H1(Ω)= 1 et Z

Ω

|∇ϕn|²+n|ϕn|² dx−

Z

Γ

|ϕn|² dσ≤ 1

n, ∀n∈N.

L’injection deH¹(Ω) dansL²(Ω) ´etant compacte, nous pouvons extraire de cette suite une sous-suite conver- gente, encore not´ee (ϕn)n∈N, qui v´erifie :

Z

Ω

|∇ϕn|²+n|ϕn|²

dx≤ 1 n+

Z

Γ

|ϕn|²dσ, ∀n∈N. (3.20) Ceci implique que (ϕn)_n∈Nconverge fortement vers 0 dansL²(Ω) et faiblement vers une limiteϕdansH¹(Ω).

Par convergence forte de (ϕn)_n∈N dansL²(Ω),ϕest nulle et doncϕn −→

n→+∞0 dansL²(Γ) fortement. Nous d´eduisons alors de l’in´egalit´e (3.20) que :

n→+∞lim Z

Ω

|∇ϕn|² dx= 0, et que ϕn −→

n→+∞0 dansH¹(Ω) fortement. Ceci est impossible, puisque l’on a par hypoth`ese kϕnk_H1(Ω)= 1 pour tout entier naturel n.

3.2. ´Ecoulement cisaill´e discontinu 69

valeur pour le param`etresΓ, ceci peut ´evidemment avoir des cons´equences n´egatives sur le conditionnement de la matrice obtenue `a l’issue de la discr´etisation du probl`eme par la m´ethode des ´el´ements finis.

Ces deux aspects pratiques semblent donc ˆetre, `a premi`ere vue, autant de freins `a l’´elaboration d’un traitement `a la fois g´en´eral et robuste d’´ecoulements porteurs discontinus par une m´ethode de r´egularisation.

Nous avons par ailleurs observ´ea posteriori que, si la formulation variationnelle augment´ee “en volume”

(c’est-`a-dire celle obtenue par ajout d’un terme int´egral d´efini sur le domaine Ω+∪Ω−) ´etait bien indispensable pour le calcul de r´esultats corrects, l’apport du terme int´egral surfacique n’avait pas d’effet appr´eciable.

Bien que des ´etudes num´eriques approfondies compl´ementaires restent n´ecessaires pour s’assurer de cette constatation, les r´esultats pr´eliminaires qui suivent ont ´et´e obtenus sans ce terme de surface suppl´ementaire.

Configuration

Nous simulons num´eriquement la propagation de modes guid´es `a l’int´erieur d’un conduit rigide bidimen- sionnel infini et en pr´esence d’un ´ecoulement uniforme par morceaux d’un fluide homog`ene, l’interface ´etant situ´ee `a mi-hauteur du guide. Comme pour les simulations du chapitre pr´ec´edent, nous consid´erons une portion de longueur ´egale `a 2 d’un conduit de hauteurl constante et ´egale `a 1. Le maillage non structur´e est compos´e de 1968 triangles et nous utilisons des ´el´ements de LagrangeP₂.

Les modes propag´es sont irrotationnels dans le volume Ω+∪Ω₋, la vorticit´e ´etant concentr´ee sur l’interface Γ, et de la forme :

ξ(x1, x2, t) =u(x1, x2)e^−iωt=

iβ ϕ(x₂) ϕ⁰(x₂)

e^{i(βx1−ωt)}, ∀(x1, x2)∈Ω+∪Ω−,

o`u le nombre complexeβ d´esigne le nombre d’onde axial du mode choisi, le lecteur ´etant renvoy´e `a la section C.2 de l’annexe C pour l’expression analytique de la fonction ϕ. Il n’existe pas d’expression analytique des constantes de propagation β et les valeurs utilis´ees pour ces exp´eriences ont ´et´e obtenues `a l’aide d’une m´ethode de Newton-Raphson.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−60

−40

−20 0 20 40 60

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◦ Im(β)

Re(β)

Fig.3.2 – Nombres d’ondes axiaux dans le plan complexe, obtenus par une m´ethode de Newton-Raphson, pour le cas k= 4,M₋= 0,1 etM₊= 0,5.

La figure 3.2 repr´esente les constantes d´etermin´ees par cette m´ethode pour une valeur de k ´egale `a 4 et des nombres de Mach valant respectivement M<sub>−</sub> = 0,1 dans la couche de fluide inf´erieure et M+ = 0,5 dans la couche sup´erieure. Les nombres d’onde situ´es sur l’axe r´eel correspondent `a des modes propapatifs, tandis que les deux “branches” de constantes de parties imaginaires non nulles sont associ´ees `a des modes

´

evanescents. Ces deux types de modes sont analogues `a ceux existant lorsque l’´ecoulement porteur est globalement uniforme (voir par exemple la figure 4.3 pour ce cas de figure). Nous observons ici de plus

Fig. 3.3 – Lignes de niveau de la partie r´eelle des composantes du champ de d´eplacementu, calcul´e avec r´egularisation volumique (s = 1), pour la propagation d’un mode, β ≈ −6,9719, k = 4, M₋ = 0,1 et M+= 0,5 (`a gauche composante u1, `a droite composanteu2).

Fig. 3.4 – Lignes de niveau de la partie r´eelle des composantes du champ de d´eplacementu, calcul´e avec r´egularisation volumique (s= 1), pour la propagation d’un mode,β≈ −3,9163,k= 4, k= 4, M₋= 0,1 et M+= 0,5 (`a gauche composante u1, `a droite composanteu2).

deux valeurs du nombre d’onde axial correspondant `a des modes dits “hydrodynamiques”. Une analyse du probl`eme en r´egime transitoire montre que les solutions qui leur sont associ´ees se propagent vers l’aval.

Autrement dit, le mode hydrodynamique dont le nombre axialβa une partie imaginaire strictement positive est exponentiellement croissant dans la direction aval et est par cons´equent qualifi´e d’instable. Notons pour terminer cette description que ces deux modes sont confin´es au voisinage de l’interface.

R´esultats num´eriques

Les figures 3.3 `a 3.8 pr´esentent la propagation des modes propagatifs et hydrodynamiques pour le cas k= 4,M<sub>−</sub>= 0,1 etM<sub>+</sub>= 0,5. Les modes impos´es sont retrouv´es num´eriquement avec moins d’un pour cent d’erreur, sauf dans le cas des deux modes hydrodynamiques (figures 3.7 et 3.8) pour lesquels nous constatons, apparement, la pr´esence de modes parasites. Nous observons, pour chacun des modes, la discontinuit´e et la continuit´e des composantes du d´eplacement respectivement tangentielle et normale `a l’interface Γ.

Fig. 3.5 – Lignes de niveau de la partie r´eelle des composantes du champ de d´eplacementu, calcul´e avec r´egularisation volumique (s= 1), pour la propagation d’un mode,β ≈1,6153,k= 4,M₋= 0,1 etM₊= 0,5 (`a gauche composante u1, `a droite composanteu2).

3.2. ´Ecoulement cisaill´e discontinu 71

Fig. 3.6 – Lignes de niveau de la partie r´eelle des composantes du champ de d´eplacementu, calcul´e avec r´egularisation volumique (s= 1), pour la propagation d’un mode,β ≈3,0959,k= 4,M₋= 0,1 etM₊= 0,5 (`a gauche composante u<sub>1</sub>, `a droite composanteu₂).

Fig. 3.7 – Lignes de niveau de la partie r´eelle des composantes du champ de d´eplacementu, calcul´e avec r´egularisation volumique (s= 1), pour la propagation d’un mode,β ≈9,4467 + 6,0596i, k= 4,M₋ = 0,1 et M₊ = 0,5 (`a gauche composanteu<sub>1</sub>, `a droite composanteu₂).

Fig. 3.8 – Lignes de niveau de la partie r´eelle des composantes du champ de d´eplacementu, calcul´e avec r´egularisation volumique (s= 1), pour la propagation d’un mode,β ≈9,4467−6,0596i, k= 4,M₋ = 0,1 et M+ = 0,5 (`a gauche composanteu1, `a droite composanteu2).