d’´el´ements finis nodaux, puisque V est un sous-espace de H1(Ω)3. Notons cependant que, `a la diff´erence des m´ethodes de p´enalisation habituelles, la valeur du param`etres n’a pas `a ˆetre grande pour obtenir une solution num´erique correcte. Pour cette raison, on parle parfois dep´enalisation exacte du probl`eme.
Enfin, si seule la r´egularisation du probl`eme est envisag´ee pour sa r´esolution, c’est qu’une approche utilisant des ´el´ements finis mixtes ne semble pas r´ealisable. D’une part, les diff´erents ´el´ements finis d´ej`a introduits par Raviart et Thomas [137] ou N´ed´elec ne sont pas en mesure de discr´etiser les op´erateurs associ´es aux termes de convection de l’´equation et d’´eventuels ´el´ements ad hoc restent par cons´equent `a d´evelopper. D’autre part, la d´emonstration de convergence d’une ´eventuelle m´ethode de ce type resterait une question ouverte, alors que nous disposons pour la r´egularisation du cadre et des outils pour les probl`emes relevant de la th´eorie de Riesz-Fredholm.
2.3.3 Equivalence ´
Il reste `a ´etablir l’´equivalence entre la formulation variationelle (2.26) et le probl`eme r´egularis´e fort (2.23)
`
a (2.25), qui est une question non r´esolue en dimension trois8. Formellement, la preuve consiste `a appliquer l’op´erateur rotationnel `a l’´equation de Galbrun r´egularis´ee (2.23), puis `a utiliser (2.22) pour obtenir l’´equation v´erifi´ee par la quantit´erotu−ψ. En lui adjoignant la condition aux limites (2.25), nous trouvons un probl`eme type, dont le champrotu−ψest solution, qui est de la forme : trouverw tel que :
−k2w−2ikM ∂w
∂x1
+M2 ∂2w
∂x12 +srot(rotw) =0dans Ω, (2.28)
divw= 0 dans Ω, (2.29)
w∧n=0sur∂Ω. (2.30)
Il faut ensuite montrer, dans un cadre fonctionnel appropri´e, que le probl`eme (2.28) `a (2.30) a pour unique solution la solution nulle, sauf pour des valeurs exceptionnelles du param`etre de r´egularisations.
Sur le plan technique, pour arriver au probl`eme ci-dessus et d´efinir le cadre fonctionnel ad´equat, il faut consid´erer dans la formulation variationnelle (2.26) des fonctions testv qui sont des rotationnels de champs test et effectuer des int´egrations par parties conduisant `a une relation d’orthogonalit´e dans L2(Ω)3. Les difficult´es pour prouver ce r´esultat proviennent, et c’est la diff´erence avec le cas bidimensionnel, du caract`ere vectoriel de rotu en dimension trois. Plus particuli`erement, l’´etude du probl`eme vectoriel compos´e des
´
equations (2.28) `a (2.30) `a laquelle nous sommes confront´es est comparable `a celle du probl`eme de Galbrun non r´egularis´e de d´epart :trouver utel que :
−k2u−2ikM ∂u
∂x1
+M2 ∂2u
∂x12 −∇(divu) =0dans Ω, rotu=0dans Ω,
u·n= 0 sur∂Ω,
alors qu’en dimension deux, le probl`eme obtenu porte sur un champ scalaire.
2.4. Convergence et estimations d’erreur 43
o`u Vh est un sous-espace de dimension finie de l’espace V et o`u les formes respectivement sesquilin´eaire ah(·,·) et antilin´eaire lh(·) sont issues des approximations des formesa(·,·) etl(·) ; le param`etre positifh, caract´erisant la discr´etisation, est quand `a lui destin´e `a tendre vers 0. On dit que la m´ethode de Galerkin converge d`es lors que :
h→0limku−uhkV = 0,
o`u ud´esigne la solution du probl`eme continu. Nous voulons dans cette section ´etablir des conditions suffi- santes de convergence de la m´ethode. Cependant, avant mˆeme de tenter d’estimerku−uhkV, la question se pose de savoir si les probl`emes approch´es du type de (2.31), d´ependant du param`etreh, sont bien pos´es.
Pour ce faire, nous introduisons la notion de stabilit´e d’une famille de formes sesquilin´eaires approch´ees.
D´efinition 2.3 On dit que les formes sesquilin´eaires ah(·,·), d´ependantes du param`etre h, forment une famille stable s’il existe une constante γ >0, ind´ependante deh, telle que :
sup
wh∈Vh
ah(vh,wh) kwhkV
≥γkvhkV, ∀vh∈Vh.
Lemme 2.4 Si les formes sesquilin´eairesah(·,·)forment une famille stable, alors les probl`emes approch´es (2.31) sont bien pos´es.
D´emonstration. Supposons le param`etre h fix´e. Soient uh et u0h deux solutions de (2.31). Nous avons alors :
ah(uh−u0h,wh) = 0, ∀wh∈Vh,
d’o`u kuh−u0hkV = 0 en vertu de l’hypoth`ese de stabilit´e des formes ah(·,·). Nous avons donc montr´e l’unicit´e de la solution du probl`eme (2.31). Son existence s’en d´eduit, l’espace Vh ´etant de dimension finie.
Le r´esultat suivant, connu sous le nom de second lemme de Strang, va maintenant justifier pleinement l’int´erˆet de la d´efinition 2.3.
Th´eor`eme 2.5 Consid´erons une famille de probl`emes discrets du type de (2.31) pour lesquels les formes sesquilin´eairesah(·,·) forment une famille stable. Il existe alors une constante C, ind´ependante de h, telle que :
ku−uhkV ≤C
inf
vh∈Vh
ku−vhkV + sup
wh∈Vh
|a(vh,wh)−ah(vh,wh)|
kwhkV
+ sup
wh∈Vh
|l(wh)−lh(wh)|
kwhkV
. D´emonstration. Nous avons tout d’abord :
ku−uhkV ≤ ku−vhkV +kuh−vhkV, ∀vh∈Vh, et par cons´equent :
ku−uhkV ≤ inf
vh∈Vh
(ku−vhkV +kuh−vhkV). (2.32) La famille des formes sesquilin´eairesah(·,·) ´etant stable, nous avons par ailleurs :
γkuh−vhkV ≤ sup
wh∈Vh
|ah(uh−vh,wh)|
kwhkV ≤ sup
wh∈Vh
|a(u,wh)−ah(vh,wh) +lh(wh)−l(wh)|
kwhkV ,
puisque a(u,wh) =l(wh) etah(uh,wh) =lh(wh) pour toutwh deVh. Nous en d´eduisons : γkuh−vhkV ≤ sup
wh∈Vh
|a(u−vh,wh)|
kwhkV
+ sup
wh∈Vh
|a(vh,wh)−ah(vh,wh) +| kwhkV
+ sup
wh∈Vh
|l(wh)−lh(wh)|
kwhkV
. L’in´egalit´e du th´eor`eme r´esulte alors de cette derni`ere in´egalit´e, de (2.32) et de la continuit´e de la forme a(·,·).
Nous devons par cons´equent prouver la stabilit´e de la famille de formes sesquilin´eairesah(·,·) associ´ees
`
a l’approximation du probl`eme (2.26). Pour les probl`emes trait´es dans ce m´emoire, la forme sesquilin´eaire intervenant dans la formulation variationnelle d´efinit un op´erateur qui n’est ´eloign´e d’un op´erateur coercif que d’une perturbation compacte. Le th´eor`eme suivant, qui s’inspire d’un r´esultat d’Aubin sur l’approximation d’une somme d’un isomorphisme et d’un op´erateur compact (theor`eme 1-5 du chapitre 3 de [9]), permet alors de conclure.
Th´eor`eme 2.6 Sia(·,·)est une forme sesquilin´eaire surV de la forme : a(·,·) =b(·,·) +c(·,·),
o`u la formeb(·,·)est coercive surV et o`u la formec(·,·)d´efinit un op´erateur compact deV dansV par le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz. Si la famille de sous-espaces Vh deV est telle que :
lim
h→0 inf
vh∈Vh
kv−vhkV = 0, ∀v∈V, (2.33)
et qu’il existe une fonction C(h), qui tend vers0 avec h, v´erifiant :
|a(vh,wh)−ah(vh,wh)| ≤C(h)kvhkVkwhkV, ∀vh,wh∈Vh, (2.34) alors la famille d’approximations ah(·,·) est stable d`es que le param`etrehest suffisament petit.
D´emonstration. Nous prouvons ce r´esultat par l’absurde. Supposons qu’il existe une suite de sous- espaces (Vh(n))n∈N,h(n) tendant vers 0 quand l’entierntend vers +∞, et une suite de fonctions (vh(n))n∈N, vh(n)∈Vh(n), telles que :
i) kvh(n)kV = 1,∀n∈N, ii) sup
wh(n)∈Vh(n)
|ah(n)(vh(n),wh(n))|
kwh(n)kV
< 1
n,∀n∈N.
Nous avons alors, pour toute fonction wdeV et tout entier naturel n:
|a(vh(n),w)| ≤ |a(vh(n),w−wh(n))|+|(a−ah(n))(vh(n),wh(n))|+|ah(n)(vh(n),wh(n))|
≤ kAkL(V,V)kw−wh(n)kV +C(h(n))kwh(n)k+kwh(n)kV sup
sh(n)∈Vh(n)
|ah(n) vh(n),sh(n)
| ksh(n)kV
, o`uAd´esigne l’op´erateur deV dansV associ´e `a la formea(·,·). Choisissons alors un r´eelεstrictement positif.
D’apr`es l’hypoth`ese (2.33) de l’´enonc´e, nous avons :
∃N ∈N, ∀n∈N,
n≥N ⇒ inf
wh(n)∈Vh(n)kw−wh(n)kV ≤ ε
3kAkL(V,V), ∀w∈V
. Nous en d´eduisons qu’il est possible de d´eterminer une suite de fonctions (wh(n))n∈Nv´erifant :
∀n∈N,
n≥N ⇒ kAkL(V,V)kw−wh(n)kV ≤ ε 3
. Par ailleurs, d’apr`es ii), il suffit que l’entiernsoit suffisament grand pour que l’on ait :
sup
wh(n)∈Vh(n)
|ah(n)(vh(n),wh(n))|
kwh(n)kV
≤ ε 3. Enfin, en vertu de (2.34) et pour nassez grand, nous avons :
C(h(n))kwh(n)kV ≤ ε 3, et, par cons´equent,
|a(vh(n),w)| ≤ε, ∀w∈V,