Comme pr´ec´edemment, le d´eplacement lagrangien ξ, solution de l’´equation de Galbrun, est recherch´e sous la forme d’une fonction `a variables s´epar´ees :
ξ(x, t) =w(x2)ei(βx1−ωt),
o`uωd´esigne la pulsation. Le champw, suppos´e appartenir `aL2([y−, y+])2 v´erifie alors l’´equation suivante : D2w
Dt2 −∇(divw) =0, avec D
Dt = i(M−β−k) siy−< x2< yΓ et D
Dt = i(M+β−k) siyΓ< x2< y+.
Nous supposons de plus que le d´eplacement lagrangien est irrotationnel hors de la nappe de vorticit´e. Il d´erive donc d’un potentiel de la forme :
φ(x1, x2, t) =ϕ(x2)ei(βx1−ωt), et par suite :
ξ(x, t) =∇φ(x, t) =
iβ ϕ(x2) ϕ0(x2)
ei(βx1−ωt).
Le probl`eme pos´e est compl´et´e par des conditions aux limites de parois rigides, qui s’´ecrivent :
ϕ0(y+) = 0 etϕ0(y−) = 0. (C.12)
et des conditions de transmission sur l’interface Γ, qui sont d’une part la continuit´e du d´eplacement normal, ce qui se traduit par :
[ϕ0]Γ= 0, (C.13)
o`u [ϕ0]Γ d´esigne le saut de la fonction ϕ0 au travers de Γ, et d’autre part la continuit´e de la pression, c’est-`a-dire de la divergence du d´eplacement, soit encore :
[∆φ]Γ = 0.
Le potentiel φv´erifiant dans l’´ecoulement l’´equation : D2φ
Dt2 −∆φ= 0, (C.14)
nous avons [∆φ]Γ = D2φ
Dt2
Γ
= 0 et finalement :
(M β−k)2ϕ
Γ= 0. (C.15)
Posant ensuiteν+(respectivementν−) comme ´etant la racine carr´ee de la quantit´e complexe (M+β−k)2−β2 (resp. (M−β−k)2−β2) selon la d´etermination (C.10), nous nous servons des conditions (C.12) pour r´esoudre l’´equation (C.14). Nous trouvons :
ϕ±(x2) =A±cos(ν±(x2−y±)),
o`u A+ et A− sont des coefficients complexes constants, d´etermin´es au moyen des relations de dispersion tir´ees des conditions de transmissions (C.13) et (C.15) :
A+ν+sin(ν+(yΓ−y+)) =A−ν−sin(ν−(yΓ−y−)) A+(β2+ν+2) cos(ν+(yΓ−y+)) =A−(β2+ν−2) cos(ν−(yΓ−y−))
Les valeurs de β correspondant `a des modes sont ensuite obtenues en trouvant dans le plan complexe les z´eros du d´eterminant de ce syst`eme d’´equations, via la m´ethode de Newton-Raphson par exemple.
Annexe D
Etude de solutions particuli` ´ eres d’une
´ equation de transport
Cette annexe est consacr´ee `a l’´etude de solutions de l’´equation de transport du second ordre v´erifi´ee par le rotationnel du d´eplacement lagrangien dans un ´ecoulement porteur uniforme subsonique, ´etablie notamment dans les chapitres 2 et 5. Le domaine consid´er´e, d´esign´e par Ω, est un guide droit dirig´e selon le vecteure1, bi- ou tridimensionnel et de section born´ee not´eeΩ. Nous traiterons deux cas distincts, l’un pour lequel lee domaine est born´e dans la directionx1, ce qui correspond aux probl`emes ´etudi´es en dimension trois dans le chapitre 2 et en dimension deux dans l’annexe E, l’autre en domaine non born´e, cas trait´e dans le chapitre 5 et pour lequel le principe d’absorption limite est utilis´e. Nous souhaitons en particulier obtenir des estimations de la norme de ces solutions en fonction de celles des donn´ees du probl`eme.
Rappelons qu’en dimension deux, le rotationnel du champ de d´eplacement est un scalaire not´e ψ et l’´equation de transport s’´ecrit :
−k2ψ−2ikM ∂ψ
∂x1
+M2 ∂2ψ
∂x12 =g, ∀x2∈Ω,e (D.1)
aveckle nombre d’onde (k >0),M est le nombre de Mach (0< M <1) et o`ug, la source de perturbation hydrodynamique1, est une fonction de l’espaceL2(Ω) `a support compact. En dimension trois, le rotationnel du d´eplacement est un vecteur not´eψ v´erifiant l’´equation vectorielle :
−k2ψ−2ikM ∂ψ
∂x1 +M2 ∂2ψ
∂x12 =g, ∀(x2, x3)∈Ω,e
o`ug(=rotf) est `a support compact et appartient `aL2(Ω)3. Nous ne traiterons ici que le probl`eme bidimen- sionnel, l’extension au cas tridimensionnel des r´esultats ´etablis ne pr´esentant aucune difficult´e suppl´ementaire mais davantage de calculs. Par cons´equent, dans la suite de l’annexe, nous avonsΩ = [0, l], o`e ulest la hauteur du guide.
D.1 Quelques pr´ eliminaires
D.1.1 Solution de l’´ equation homog` ene
Nous d´eterminons tout d’abord la solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle homog`ene :
−k2ψ−2ikM ∂ψ
∂x1
+M2 ∂2ψ
∂x12 = 0 dans Ω.
Cette derni`ere a la forme suivante :
ψh(x1, x2) = (a(x2) +b(x2)x1)eiMkx1, (D.2)
1Le terme source de l’´equation (D.1) est ainsi qualifi´e car il provient de la partie rotationnelle,i.e.,g= rotf, de la source de perturbationf dans l’´equation de Galbrun.
143
les fonctions aet b de la variablex2´etant d´etermin´ees au moyen de conditions suppl´ementaires2 impos´ees au champψpour fermer le probl`eme.
D.1.2 Fonctions de Green
L’obtention d’une solution particuli`ere de (D.1) passe par le calcul d’une fonction de Green de l’´equation.
Nous renvoyons `a Stakgold [143] pour un expos´e du formalisme de r´esolution. Nous d´eterminons ci-dessous deux fonctions de Green, correspondant chacune `a un jeu de conditions aux limites envisag´e pour l’´equation.
Fonction de Green causale
Cette fonction, not´eeG, d´epend uniquement de la variablex1et v´erifie :
−k2G−2ikM ∂G
∂x1
+M2 ∂2G
∂x12 =δdans Ω, avecδla masse de Dirac, ainsi que, en vertu de la causalit´e3 :
G(x1) = 0 six1<0.
Elle est aussi continue en 0 et sa d´eriv´ee pr´esente un saut en ce point : 1
M2[G0(0)] = 1.
Nous obtenons alors ais´ement que :
G(x1) = x1
M2H(x1)eiMkx1, (D.3)
o`uH d´esigne la fonction de Heaviside4.
Fonction de Green pour le probl`eme de Dirichlet
Pour le traitement d’un probl`eme pos´e dans un domaine born´e Ω = [x−, x+]×[0, l], nous pouvons calculer la fonction de Green v´erifiant des conditions aux limites de Dirichlet homog`enes sur les fronti`eres artificielles du domaine. Notons que la fonction n’est alors plus d´efinie intrins`equement, mais relativement au domaine consid´er´e, d’o`u une forme analytique plus compliqu´ee.
Soitz appartenant `a [x−, x+]. Pour tout point x1 de cet intervalle, nous notonsG(x1, z) la fonction de Green v´erifiant l’´equation :
−k2G(x1, z)−2ikM ∂G
∂x1
(x1, z) +M2 ∂2G
∂x12(x1, z) =δ(x1−z),
o`uδ(x1−z) d´esigne la masse de Dirac au point z, avec les conditions aux limites homog`enes suivantes : G(x−, z) = 0 etG(x+, z) = 0. (D.4) De plus, cette fonction est continue en x1=z:
[G(z, z)] = 0, ∀z∈[x−, x+], (D.5)
et sa d´eriv´ee ∂G
∂x1(x1, z) est discontinue enx1=z: M2
∂G
∂x1
(z, z)
= 1, ∀z∈[x−, x+]. (D.6)
2C’est-`a-dire des conditions aux limites si le domaine Ω est born´e, des conditions `a l’infini sinon.
3La causalit´e est ici exprim´ee par rapport `a la variable d’espacex1. Le probl`eme ´etant pos´e en r´egime harmonique, il est naturel de la relier `a la causalit´e en temps du probl`eme transitoire.
4Nous rappelons que la fonction de Heaviside est la fonction indicatrice des r´eels positifs.
D.1. Quelques pr´eliminaires 145
Comme pr´ec´edemment, la fonctionGest cherch´ee sous la forme :
G(x1, z) =
a−+b−(x1−z)
eiMk(x1−z) six1≤z, a++b+(x1−z)
eiMk(x1−z) six1> z,
o`u a−, a+, b− et b+ sont des constantes `a d´eterminer. En utilisant la condition de saut (D.5), nous avons a− =a+=a. La condition (D.6) donne quant `a elle :
b+=b−+ 1 M2. Posonsb−=b,b+=b+M−2, la fonction de Green s’´ecrit :
G(x1, z) =
(a+b(x1−z))eiMk(x1−z) six1≤z, a+ b+M−2
(x1−z)
eiMk(x1−z) six1> z.
Nous utilisons `a pr´esent les conditions aux limites (D.4) : En x1=x− : nous avonsG(x−, z) = 0 avecz≥x−, soit :
(a+b(x−−z))eiMk(x−−z)= 0, d’o`u a=−b(x−−z).
En x1=x+ : nous avonsG(x+, z) = 0 avecz≤x+, soit : a+ b+M−2
(x+−z)
eiMk(x+−z)= 0, d’o`u b(x2) =− (x+−z)
M2(x+−x−). Nous trouvons finalement :
G(x1, z) =
(x+−z)
M2(x+−x−)(x−−x1)eiMk(x1−z) six1≤z, (x+−x1)
M2(x+−x−)(x−−z)eiMk(x1−z) six1> z.
(D.7)
D.1.3 Solution g´ en´ erale de l’´ equation diff´ erentielle
La solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle (D.1) est donn´ee par la somme d’une solution particuli`ere de l’´equation, obtenue par convolution de la fonction de Green causaleG, obtenue en (D.3), avec la fonction z7→g(z, x2) issue du second membre,i.e.,
G∗g(·, x2)(x1) = Z
R
G(x1−z)g(z, x2) dz,
et de la solution g´en´erale de l’´equation homog`ene. Notons que le produit de convolution ci-dessus est d´efini presque partout. La solution g´en´erale de (D.1) s’´ecrit alors :
ψ(x1, x2) = Z x1
−∞
x1−z
M2 e−iMkzg(z, x2) dz+a(x2) +b(x2)x1
eiMkx1,∀(x1, x2)∈Ω. (D.8)