Convergence et estimations d’erreurs

5.3. Probl`eme avec couches absorbantes parfaitement adapt´ees 115

Rappelons en effet que le champ ψ r´esulte de la r´egularisation de l’´equation de Galbrun (5.1) et ap- paraˆıt comme une cons´equence de la pr´esence d’une source `a l’origine de perturbations hydrodynamiques.

L’´ecoulement porteur ´etant uniforme, il est possible d’obtenir une expression analytique du sillage faisant intervenir certaines des donn´ees du probl`eme.

Nous allons consid´erer la fonctionψen aval la source. En posant : d₋= min

x₂∈[0,l]{x1∈R|(x1, x2)∈supp(rotf)} etd+= max

x₂∈[0,l]{x1∈R|(x1, x2)∈supp(rotf)}, nous pouvons d´efinir (cf. d´emonstration du th´eor`eme D.2 de l’annexe D) une fonctionψ<sup>∞</sup>, consistant en la somme de deux fonctions `a variables s´epar´ees :

ψ^∞(x₁, x₂) = (a(x₂) +x₁b(x₂))e^iMkx1, ∀(x₁, x₂)∈R×[0, l]

et co¨ıncidant avec ψen aval du support def :

ψ^∞(x1, x2) =ψ(x1, x2), ∀(x1, x2)∈]d+,+∞[×[0, l].

Tirant parti de la forme de ψ^∞, nous sommes capables de d´eterminer explicitement une fonction ζ, solution du probl`eme :

D²ζ

Dt² −∆ζ=ψ^∞ dans Ω, ζ= 0 sur∂Ω.

et que nous cherchons ´egalement sous la forme particuli`ere :

ζ(x1, x2) =e^iMkx1(A(x2) +x1B(x2)).

Nous sommes alors conduits `a la r´esolution des ´equations diff´erentielles suivantes :







−B⁰⁰(x2) + k²

M²B(x2) =b(x2), B(0) =B(l) = 0,

(5.26)







−A⁰⁰(x2) + k²

M²A(x2) = 2i k

M B(x2) +a(x2), A(0) =A(l) = 0.

(5.27) Nous pouvons montrer que le probl`eme (5.26) est bien pos´e dans l’espace H<sub>0</sub><sup>1</sup>([0, l]) et par cons´equent calculer la fonction B, qui permet alors de trouver A (par le mˆeme argument) et de d´eterminer ainsi la fonctionζ. Nous introduisons ensuite une fonction r´eguli`ere de troncatureχ∈C^∞(R) telle que :

χ(x1) =

1 six₁> d₊ 0 six₁< d₋ , et consid´erons le probl`eme :

D²ϕe_h

Dt² −∆ϕeh=geh dans Ω, (5.28)

ϕeh= 0 sur∂Ω, (5.29)

avec :

ge_h=g_h+ψ− D²

Dt²(χζ)−∆(χζ)

.

Le second membre de l’´equation (5.28) est alors `a support compact et contenu dans Ωb. Ce probl`eme est bien pos´e, en vertu de l’hypoth`ese faite sur le nombre d’ondek faite dans la sous-section 5.2.3.

De mani`ere analogue, nous d´efinissons la fonctionψ_α,λ^∞ , d’ant´ec´edent not´eζα,λ, telle que : ψ^∞_α,λ(x1, x2) =ψα,λ(x1, x2), ∀(x1, x2)∈]d+,+∞[×[0, l].

0 1

d₊

d₋ x₁

χ(x₁)

Fig.5.2 – La fonction de troncatureχ.

Les expressions analytiques deψ_α,λ^∞ etζα,λsont simplement obtenues en appliquant le changement de variable ayant lieu en pr´esence de couches absorbantes dans les expressions respectives des fonctions ψ^∞ et ζ. Le probl`eme d’´equation :

D²_α,λ

Dt² ϕe^L_h−∆_α,λϕe^L_h =ge_hdans Ω^L, (5.30) et de condition aux limites :

ϕe^L_h = 0 sur∂Ω^L, (5.31)

dont le second membre co¨ıncide avec celui de (5.28) sur Ωb, admet alors une unique solutionϕe^L_h, pour une longueur de couche assez grande.

Nous d´efinissons ensuite l’approximation du potentielϕh comme ´etant : ϕ^L_h =ϕe^L_h +χζα,λ.

et appliquons la d´emarche suivie dans le chapitre pr´ec´edent, qui consiste `a ramener les deux probl`emes (5.28)-(5.29) et (5.30)-(5.31) `a des probl`emes ´equivalents, pos´es sur le domaine Ω_b. Nous obtenons ainsi respectivement le probl`eme :

D²ϕeh

Dt² −∆ϕeh=geh dans Ωb, ϕeh= 0 sur∂Ω∩∂Ωb,

∂ϕe_h

∂n =−T_h±ϕe_hsur Σ_±, o`u les op´erateurs Dirichlet-NeumannT_h± sont d´efinis par :

T_h±: H^1/2(Σ_±) → H^−1/2(Σ_±) φ 7→ ∓

+∞

X

n=1

iβ_n^± (φ,Sn)_L2(Σ±)Sn(x2), avec :

Sn(x2) = r2

h sinnπx2

l

, n∈N^∗, (5.32)

pour le champϕe_h, tandis queϕe^L_h v´erifie : D²ϕe^L_h

Dt² −∆ϕe^L_h =geh dans Ωb, ϕe^L_h = 0 sur∂Ω∩∂Ω_b,

∂ϕe^L_h

∂n =−T_h^L_±ϕe^L_h sur Σ_±, avec :

T_h^L_±: H^1/2(Σ±) → H^−1/2(Σ±) φ 7→ ∓

+∞

X

n=1

iν_n^±(L) (φ,S_n)_L2(Σ±)S_n(x₂),

5.3. Probl`eme avec couches absorbantes parfaitement adapt´ees 117

les coefficients ν_n^±(L),n∈N^∗, ´etant cette fois-ci d´efinis par (4.33).

Les r´esultats du chapitre 4, ainsi que l’argument de r´egularit´e utilis´e dans la preuve du th´eor`eme 5.7, nous am`enent alors l’estimation suivante :

kϕeh−ϕe^L_hk_H2(Ω_b)≤Che^−η|α|L kϕehk_H2(Ω_b), (5.33) o`u C_h est une constante positive, d´ependant de ket M, et η est donn´ee par (4.40). ´Etant donn´e queζ et ζ_α,λ co¨ıncident sur Ω_b, nous avons finalement montr´e la convergence deϕ^L_h versϕ_h dans Ω_b.

Estimation d’erreur

Nous posonsue^L =∇ϕ^L_a +rotϕ^L_h et remarquons queue^L n’est pas ´egal `a u<sup>L</sup>. En effet, ces champs sont les solutions respectives de deux probl`emes qui font intervenir la mˆeme ´equation aux d´eriv´ees partielles sur le domaine Ω^L, mais diff`erent par leurs conditions aux limites. Ainsi, le champue^L v´erifie :

ue^L·n=−rotα,λ(χζα,λ)·nsur∂Ω^L, rotα,λue^L=−∆α,λ ϕe^L_h−χζα,λ

=−∆α,λϕe^L_h+ψα,λ sur∂Ω^L, qui ne sont clairement pas les conditions aux limites du probl`eme (5.20).

L’estimation deku−u^Lk_H1(Ωb)²va donc se faire en deux temps, le champue^Ljouant le rˆole d’“interm´ediai- re” dans la d´emonstration de convergence de la m´ethode. En vertu de l’in´egalit´e triangulaire, nous avons :

ku−u^Lk²_H1(Ω_b)²≤ ku−ue^Lk²_H1(Ω_b)²+kue^L−u^Lk²_H1(Ω_b)².

Admettons⁵ par ailleurs que le champϕh peut s’´ecrireϕh=ϕeh+χζ, et donc queu=∇ϕa+rot(ϕeh+χζ).

Nous pouvons alors d´eduire de (5.25) et de (5.33) l’estimation :

ku−ue^Lk_H1(Ω_b)² = k∇(ϕa−ϕ^L_a) +rot(ϕeh−ϕe^L_h)k_H1(Ω_b)²

≤

kϕa−ϕ^L_ak²_H2(Ω)+kϕeh−ϕe^L_hk²_H2(Ωb)

^1/2

≤ C e^−η|α|L

kϕak²_H2(Ω_b)+kϕe_hk²_H2(Ω_b)

^1/2 .

Il nous reste maintenant `a estimer la diff´erenceue<sup>L</sup>−u<sup>L</sup>pour prouver la convergence de la m´ethode. Comme nous l’avons remarqu´e plus haut, celle-ci v´erifie l’´equation aux d´eriv´ees partielles homog`ene suivante :

D²_α,λ

Dt² (ue^L−u^L)−∇α,λ(divα,λ(ue^L−u^L)) +rotα,λ(rotα,λ(ue^L−u^L)) =0dans Ω^L, (5.34) ainsi que les conditions aux limites :

(ue^L−u^L)·n=−rotα,λ(χζα,λ)·nsur∂Ω^L, (5.35) rot_α,λ(ue^L−u^L) =−∆_α,λϕe^L_h sur∂Ω^L. (5.36) Pour une longueur de couches assez grande, nous savons que ce probl`eme est bien pos´e et nous avons par cons´equent (cf. remarques 5.21) :

kue^L−u^LkH¹(Ω_b)²≤C

krotα,λζα,λ·nk_H1/2(^ΣL±) +k∆α,λϕe^L_hk_H−1/2(^ΣL±)

. (5.37)

5Ce r´esultat n’est pas imm´ediat. En effet, si les champsϕhet (ϕeh+χζ) v´erifient la mˆeme ´equation, leurs caract´erisations diff`erenta priori: nous avons en effet montr´e dans le th´eor`eme 5.8 queϕh´etait nul en amont de la source, alors que (ϕeh+χζ) est la somme de la solution sortante d’un probl`eme de propagation et d’une fonction nulle en amont de la source. La validit´e de la d´ecomposition se prouve au moyen du principe d’absorption limite, en raisonnant sur le probl`eme en potentiel hydrodynamique ϕ_hprovenant du probl`eme (5.4)-(5.5) mis sous forme r´egularis´ee. Dans la premi`ere partie de ce chapitre, nous avons d´elib´er´ement choisi de ne pas introduire de rel`evement du sillage afin de ne pas alourdir la d´emarche sans n´ecessit´e apparente (cf. remarque 5.9).

Estimations des termes en bout de couche

L’estimation du terme dans lequelζ_α,λ apparaˆıt est explicite et utilise l’expression analytique de cette fonction. Nous obtenons ainsi dans la couche Ω^L₊ :

ζα,λ(x1, x2) =eⁱ

_k

Mx₊+(_M^k−λ)^x1−x_α⁺

A(x2) +

x++(x1−x+) α

B(x2)

, d’o`u :

(rotα,λζα,λ·n)_|

ΣL +

=eⁱ

k

Mx++_{M(1−M2 )}^{k L}_α

A⁰(x2) +

x++L α

B⁰(x2)

. Par ailleurs, nous avons :

krotα,λζα,λ·nk_H1/2(Σ^L₊) ≤ krotα,λζα,λ·nk_H1(Σ^L₊)

≤ e

ksin(θ) M(1−M2 ) L

|α|

kA⁰k_H1(Σ^L₊)+

x++L α

kB⁰k_H1(Σ^L₊)

avec θ = arg(α). Les fonctions A(x2) et B(x2) ´etant solutions de deux probl`emes bien pos´es, celles-ci d´ependent continˆument des donn´ees de ces probl`emes :

kA⁰k_H1(Σ^L₊)=kAk_H2([0,l])≤CA kak_L2([0,l])+kbk_L2([0,l])

, et

kB⁰k_H1(Σ^L₊)=kBk_H2([0,l])≤CBkbk_L2([0,l]). En rappelant ensuite les d´efinitions :

a(x2) = Z d+

d−

z e^−iMkz∆gh(z, x2) dz,

b(x2) = Z d+

d−

e^−iMkz∆gh(z, x2) dz,

et en s’inspirant de la d´emonstration du th´eor`eme D.2, nous obtenons les majorations suivantes : kak_L2([0,l])≤Cakghk_H2(Ωb),

kbk_L2([0,l])≤Cbkghk_H2(Ω_b). Nous en d´eduisons :

krotα,λζα,λ·nk_H1/2(Σ^L₊)≤C e

ksin(θ) M(1−M2 ) L

|α| kghkH²(Ω_b). Une majoration du second terme nous est ensuite donn´ee par le

Lemme 5.18 Supposons que les hypoth`eses (5.16) et (5.17) soient v´erifi´ees. Il existe alors des constantes positivesC etη telles que, si la longueurL des couches est assez grande, nous avons :

k∆α,λϕe^L_hk_H−1/2(Σ^L_±)≤C e^−η2|α|L kϕe_hkH¹(Ω_b).

D´emonstration. Nous allons exprimer le champϕe^L_hau moyen d’un d´eveloppement en s´erie sur les fronti`eres Σ<sub>±</sub>, conform´ement `a l’approche suivie dans le chapitre 4. Ainsi, pour toutx1≥x+, nous ´ecrivons :

ϕe^L_h(x1, x2) =

+∞

X

n=1

ϕe^L_h(x+,·),Sn

L²(Σ+)

A⁺_n e^{iγn+(x1−x+)}+A⁻_n e^{iγn−(x1−x+)}

Sn(x2), ∀x2∈[0, l], o`u nous avons pos´e :

γ_n^±=β_n^±−λ

α , (5.38)

5.3. Probl`eme avec couches absorbantes parfaitement adapt´ees 119

et

A^±_n =∓ e^iγ∓nL

e^iγn+L−e^iγn−L, (5.39)

les fonctions Sn,n∈N^∗, ´etant d´efinies par (5.32). Par ailleurs, l’op´erateur laplacien s’´ecrit dans les couches absorbantes :

∆α,λϕe^L_h =α²∂²ϕe^L_h

∂x₁² + 2iαλ∂ϕe^L_h

∂x₁ −λ²ϕe^L_h+∂²ϕe^L_h

∂x₂².

En utilisant la condition aux limites (5.31), qui se traduit ici par A⁺_ne^iγn+L+A⁻_ne^iγn−L = 0, et (5.38), nous obtenons alors, en x1=x++L et pour toutx2 dans [0, l] :

∆α,λϕe^L_h(x++L, x2) =−

+∞

X

n=1

A⁺_nβ⁺_n²e^iγ+nL+A⁻_nβ⁻²e^iγn−L

ϕe^L_h(x+,·),Sn

L²(Σ₊)Sn(x2), Soit encore, en introduisant la relation (5.39) dans cette derni`ere ´egalit´e :

∆_α,λϕe^L_h(x₊+L, x₂) =

+∞

X

n=1

β_n⁺²−β_n⁻² e^iγ+nL

e^{i(γn+−γn−)L}−1 ϕe^L_h(x₊,·),S_n

L²(Σ₊)S_n(x₂), soit encore :

∆α,λϕe^L_h(x++L, x2) =

+∞

X

n=1

−4kM 1−M²

r

k²−(1−M²)n²π² l²

! e^iγn+L

e^{i(γn+−γ−n)L}−1 ϕe^L_h(x+,·),Sn

L²(Σ+)Sn(x2).

Sachant que :

k∆ϕe^L_hk²_H−1/2(Σ^L₊)=

+∞

X

n=1

√ 1 1 +n²

∆ϕe^L_h(x+,·),Sn

L²(Σ₊)

2

, nous arrivons `a :

k∆ϕe^L_hk²_H−1/2(Σ^L₊)≤C₀

+∞

X

n=1

k²−(1−M²)ⁿ²_l2^π2

√ 1 +n²

e^iγn+L e^{i(γn+−γn−)L}−1

2

ϕe^L_h(x₊,·),S_n

L²(Σ+)

2

,

en posant C0= 16k²M² (1−M²)².

Afin de pouvoir majorer cette quantit´e en faisant apparaˆıtre la norme deϕe^L_h dansL²(Σ^L₊), il nous faut

`

a pr´esent distinguer le cas pour lequel l’entier n est l’indice d’un mode propagatif du cas o`u il d´esigne l’indice d’un mode ´evanescent. Nous rappelons `a cette occasion quelques notations utilis´ees dans le chapitre pr´ec´edent. Nous d´esignons parK₀ le r´eel positif :

K0= kl π√

1−M²,

et par N0sa partie enti`ere. Si 1≤n≤N0, le mode est propagatif et nous avons :

e^iγ+nL

≤e^{−Im(γN+0)L}, ainsi que :

2k 1−M²

s

1−N₀² K02 ≤

r

k²−(1−M²)n²π²

l² ≤ 2k 1−M²

s 1− n²

K02 ≤ 2k 1−M². Pour une longueur de couche assez grande, nous en d´eduisons que :

e^{i(γn+−γn−)L}−1

≥1−e

2k 1−M2

r 1−_K^N02

02 sin(θ)_|α|^L

≥1 2.

Si n > N0, le mode est ´evanescent. Il vient alors :

e^iγn+L

≤e^{−Im(γN+0 +1)L}e^{−Im(γ+n−γN+0 +1)L} et

2k 1−M²

s

(N₀+ 1)² K02 −1≤

r

(1−M²)n²π²

l² −k²≤ 2k 1−M²

s n²

K02 −1≤ 2k 1−M²

n K0

, d’o`u :

e^{i(γ+n−γn−)L}−1

≥1−e⁻

2k 1−M2

r

(N0 +1)2

K02 −1 cos(θ)_|α|^L

≥ 1 2,

pour une longueur de coucheLassez grande. Enfin, si|α| ≤1, nous avons, compte tenu de (5.17) : e^{−Im(γn+−γ+N0 +1)L}≤e^{−Im(β+n−β+N0 +1)L}.

En posant comme dans le chapitre 4 : η= 2k

1−M² min



−sin(θ) s

1−N02

K02,cos(θ) s

(N0+ 1)² K02 −1



, (5.40)

nous obtenons finalement : k∆α,λϕe^L_hk²_H−1/2(ΣL

+) ≤ C1e^−η|α|L

N₀

X

n=1

√ 1 1 +n²

ϕe^L_h(x+,·),Sn

L²(Σ₊)

2

+

+∞

X

n=N₀+1

n²

√1 +n²e^{−Im(βn+−βN+0 +1)L}

ϕe^L_h(x+,·),Sn

L²(Σ₊)

2! ,

avecC1= 4 max

C0k²,C₀π² l²

, d’o`u, pour une longueur de couche assez grande : k∆α,λϕe<sup>L</sup><sub>h</sub>k<sub>H</sub>−1/2(Σ<sup>L</sup><sub>+</sub>)≤C2e<sup>−η2|α|L</sup> kϕe<sup>L</sup><sub>h</sub>kL<sup>2</sup>(Σ<sub>+</sub>). Cette derni`ere estimation conduit, par utilisation d’un th´eor`eme de trace, `a :

k∆_α,λϕe^L_hk_H−1/2(Σ^L₊)≤C₃e^−η2|α|L kϕe^L_hk_H1(Ω_b).

et nous nous servons alors de la convergence deϕe^L_h versϕe_hdansH¹(Ω_b), d´eduite de (5.33). Il reste `a proc´eder de mani`ere identique dans la couche Ω^L₋ pour obtenir le r´esultat annonc´e.

Remarque 5.19 Comme l’indique l’´enonc´e du lemme 5.18, ce dernier r´esultat d´epend de la valeur du coefficientλ. `A la diff´erence du th´eor`eme 4.4, il faut en effet s’assurer ici que tous les modes propagatifs sont d´ecroissants dans les couches absorbantes, d’o`u la n´ecessit´e de l’hypoth`ese (5.16) lorsque des modes amont inverses sont pr´esents.

Conclusion

Nous terminons cette section consacr´ee `a la convergence de la m´ethode en ´enon¸cant le

Th´eor`eme 5.20 Supposons que les hypoth`eses (5.16) et (5.17) soient v´erifi´ees. Il existe une constante L₁ > 0 telle que, pour tout L ≥ L₁, la restriction au domaine Ω_b de la solution u^L du probl`eme (5.20) converge vers la restriction `aΩb de la solution u du probl`eme (5.1)-(5.2) d´efinie par absorption limite. De plus, il existe une constante C, d´ependante de k,M eth, telle que :

ku−u^Lk_H1(Ω_b)² ≤C

e^−η|α|L

kϕak²_H2(Ωb)+kϕehk²_H2(Ωb)

1/2

+e⁻

ksin(θ) M(1−M2 ) L

|α|kghk_H2(Ω_b)

, o`u la constante η est d´efinie par (5.40).

No documento analyse mathématique et numérique de l’équation de Galbrun (páginas 121-128)