Etude du probl` ´ eme variationnel

Nous ´etablissons une formulation variationnelle du probl`eme (5.20), pos´e sur le domaine born´e Ω<sup>L</sup>. Apr`es des int´egrations par parties et l’utilisation des conditions aux limites ainsi que des conditions de saut suivantes :

u^L(x1, x2)

Σ± =0et

α(x1)∂u^L

∂x₁(x1, x2) + iλ(x1)u^L(x1, x2)

Σ±

=0,

nous aboutissons au probl`eme variationnel :trouver u^L∈H¹(Ω^L)²∩H0(div; Ω^L)tel que, ∀v ∈H¹(Ω^L)²∩ H0(div; Ω^L),

a_ΩL(u^L,v) +b_ΩL(u^L,v) =l_ΩL(v), (5.21)

4Celle-ci sera l’objet du lemme 5.14.

avec

a_ΩL(u,v) = Z

Ω^L

u·v+ 1

α (divα,λudiv_α,−λv+ rotα,λurot_α,−λv)−αM² ∂u

∂x1

· ∂v

∂x1

dx, b_ΩL(u,v) =

Z

Ω^L

1

α −k²+ 2kM λ−M²λ²−α

u·v+ iM²λ−2ikM ∂u

∂x1

·v−iM²λu· ∂v

∂x1

dx, l_ΩL(v) =

Z

Ω^L

1

α(f·v+ψα,λrotα,−λv) dx− Z

Σ^L₋∪Σ^L₊

M²ψα,λv2(n·e1) dσ.

Nous allons montrer que ce probl`eme variationnel est associ´e `a une perturbation compacte d’un isomor- phisme.

Th´eor`eme 5.13 Si le nombre complexe αsatisfait aux conditions (5.17) dans les couches absorbantes, le probl`eme variationnel (5.21) rel`eve de l’alternative de Fredholm.

D´emonstration. De mani`ere classique, nous commen¸cons par montrer que la forme sesquilin´eairea<sub>Ω</sub>L(·,·) d´efinit, pour les valeurs deαenvisag´ees, un op´erateur qui est la somme d’un isomorphisme et d’un op´erateur compact surH<sup>1</sup>(Ω<sup>L</sup>)<sup>2</sup>∩H0(div; Ω<sup>L</sup>). Nous ´ecrivons pour cela cette forme de la mani`ere suivante :

a_ΩL(u,v) =a⁰_ΩL(u,v) +λ a¹_ΩL(u,v) +λ²a²_ΩL(u,v), o`u :

a⁰_ΩL(u,v) = Z

Ω^L

u·v+ 1

α(div_α,0udiv_α,0v+ rot_α,0urot_α,0v)−αM² ∂u

∂x1

· ∂v

∂x1

dx, a¹_ΩL(u,v) =

Z

Ω^L

i

α(u1 divα,0v−v1divα,0u+u2rotα,0v−v2rotα,0u) dx, et a²_ΩL(u,v) =

Z

Ω^L

1

αu·vdx.

La forme sesquilin´eairea⁰_ΩL(·,·) est alors coercive surH¹(Ω^L)²∩H₀(div; Ω^L). En effet, en vertu du Lemme 5.14 Pour tous u,v appartenant `aH¹(Ω^L)²∩H0(div; Ω^L), nous avons :

Z

Ω^L

(rot_α,0urot_α,0v+ div_α,0udiv_α,0v) dx= Z

Ω^L

∇_α,0u:∇_α,0vdx.

et des hypoth`eses (5.17) formul´ees sur α, nous avons : Re a⁰_ΩL(u,u)

= Z

Ω^L

|u|²+ Re(α)(1−M²)

∂u

∂x1

2

+ Re 1

α

∂u

∂x2

2!

dx≥CkukH¹(Ω)², pour toutudeH¹(Ω^L)²∩H₀(div; Ω^L), avecC= min 1,Re(α)(1−M²),Re _α¹

.

D’autre part, les formesa¹_ΩL(·,·) eta²_ΩL(·,·) d´efinissent toutes deux, au moyen du th´eor`eme de repr´esenta- tion de Riesz, un op´erateur compact sur H¹(Ω^L)²∩H₀(div; Ω^L), par injection compacte de H¹(Ω^L) dans L²(Ω^L). Ce mˆeme argument est ensuite utilis´e pour montrer que l’op´erateur born´e surH¹(Ω^L)², d´efini par la forme sesquilin´eaireb_ΩL(·,·) est compact.

Il est enfin clair que les formesa_ΩL(·,·) etb_ΩL(·,·), ainsi que la forme antilin´eairel_ΩL(·), sont continues sur l’espaceH¹(Ω^L)², ce qui ach`eve la preuve.

D´emonstration du lemme 5.14. Le r´esultat est tout d’abord prouv´e pour des champs appartenant `a H<sup>2</sup>(Ω<sup>L</sup>)<sup>2</sup>, son extension `a des champs de r´egularit´eH¹se justifiant par un argument de densit´e.

Supposons que uet v appartiennent `a H²(Ω^L)²∩H0(div; Ω^L). Nous avons alors : Z

Ω^L

1

α(rotα,0urotα,0v+ divα,0udivα,0v) dx = Z

Ω^L

1

α (rotα,0(rotα,0u)−∇α,0(divα,0u))·vdx +

Z

∂Ω^L

(rotα,0u)

v2n1− 1 αv1n2

dσ.

5.3. Probl`eme avec couches absorbantes parfaitement adapt´ees 111

Nous v´erifions ensuite ais´ement l’´egalit´e :

rotα,0(rotα,0u)−∇α,0(divα,0u) =−∆α,0u, ainsi que :

Z

Ω^L

(−∆_α,0u·v) dx= Z

Ω^L

∇_α,0u:∇_α,0vdx+ Z

∂Ω^L

∂u

∂x₁ ·vn₁+ 1 α

∂u

∂x₂ ·vn₂

dσ.

En remarquant que pour des fonctions vectoriellesuetvdont les composantes normales au bord s’annulent, nous avons :

Z

∂Ω^L

(rotα,0u)

v2n1− 1 αv1n2

dσ−

Z

∂Ω^L

∂u

∂x1

·vn1+ 1 α

∂u

∂x2

·vn2

dσ= 0, nous trouvons finalement :

Z

Ω^L

1

α(rotα,0urotα,0v+ divα,0udivα,0v) dx= Z

Ω^L

1

α∇α,0u:∇α,0vdx, ∀u,v∈H²(Ω^L)²∩H0(div; Ω^L).

Cette derni`ere identit´e s’´etend ensuite `a des champsu etv dansH¹(Ω^L)²grˆace `a la densit´e deH<sup>2</sup>(Ω<sup>L</sup>)<sup>2</sup>∩ H0(div; Ω<sup>L</sup>) dansH<sup>1</sup>(Ω<sup>L</sup>)<sup>2</sup>∩H0(div; Ω<sup>L</sup>) (nous renvoyons `a [52] pour une d´emonstration de ce r´esultat).

Les param`etres α et λ ´etant fix´es, nous prouvons ensuite l’´equivalence entre le probl`eme variationnel (5.21) et le probl`eme suivant :

D²_α,λ

Dt² u^L−∇α,λ(divα,λu^L) =f dans Ω^L, rotα,λu^L=ψα,λ sur Ω^L,

u^L·n= 0 sur∂Ω^L.

(5.22)

Th´eor`eme 5.15 Si la longueur des couches est assez grande, la solution du probl`eme (5.21) v´erifie le probl`eme (5.22).

D´emonstration. Nous consid´erons dans le probl`eme variationnel (5.21) des champs test de la forme v =rot_α,−λφ, avecφ∈H³(Ω^L)∩H₀¹(Ω^L). Nous obtenons :

Z

Ω^L

1 α

−k²+ 2kM λ−M²λ²

u^L+α iM²λ−2ikM∂u^L

∂x1

·rotα,−λφdx

− Z

Ω^L

M²

iλu^L+α∂u^L

∂x1

· ∂

∂x1

rotα,−λφ

+ rotα,λu^L

∆α,−λφ

dx

= Z

Ω^L

1

α f·rot_α,−λφ−ψ_α,λ∆_α,−λφ dx+

Z

Σ^L₋∪Σ^L₊

αM²ψ_α,λ ∂φ

∂x1

(n·e₁) dσ, soit, apr`es des int´egrations par parties :

Z

Ω^L

1

α rot_α,λu^L D²_α,−λ

Dt² φ−∆_α,−λφ

!

dx = R

Ω^L 1

α (rot_α,λf)φ−ψ_α,λ∆_α,−λφ dx +

Z

Σ^L₋∪Σ^L₊

αM²ψα,λ

∂φ

∂x1

(n·e1) dσ.

Sachant que ψα,λ v´erifie l’´equation :

D²_α,λψα,λ

Dt² = rotα,λf dans Ω^L,

nous arrivons finalement `a : Z

Ω^L

1

α rotα,λu^L−ψα,λ D²_α,−λ

Dt² φ−∆_α,−λφ

!

dx= 0.

Par un r´esultat de densit´e, ce r´esultat est ´egalement vrai pour toute fonctionφdeH²(Ω^L)∩H₀¹(Ω^L).

En vertu du th´eor`eme 4.4, l’op´erateur ^D

2 α,−λ

Dt² −∆_α,−λ est surjectif si la longueurLde la couche est assez grande. Dans ce cas, nous en d´eduisons que rot_α,λu^L=ψ_α,λ dans Ω^Let la remont´ee vers le probl`eme (5.22) est ensuite triviale.

Nous d´eduisons de ce dernier th´eor`eme qu’une solution u<sup>L</sup> du probl`eme (5.21) v´erifie le probl`eme r´egularis´e (5.20). Nous achevons notre ´etude de ce probl`eme variationnel par le r´esultat d’unicit´e suivant.

Th´eor`eme 5.16 Supposons que les hypoth`eses (5.17) soient v´erifi´ees et que le choix (5.16) soit fait pour le coefficient λ. Il existe alors une constanteL1 strictement positive telle que le probl`eme (5.21) admet une solution unique si L≥L1.

D´emonstration. Ce probl`eme relevant de l’alternative de Fredholm, il suffit de prouver l’unicit´e de sa solution pour en d´eduire l’existence. Ainsi, consid´erons deux solutions du probl`eme (5.21) et notons w la diff´erence entre ces derni`eres. Le probl`eme v´erifi´e par west constitu´e de l’´equation suivante :

D²_α,λ

Dt² w−∇α,λ(divα,λw) +rotα,λ(rotα,λw) =0dans Ω^L, (5.23) et des conditions aux limites :

w·n= 0 sur∂Ω^L, rotα,λw= 0 sur∂Ω^L,

cette derni`ere condition aux limites ´etant entendue en un sens faible (i.e.dansH<sup>−1/2</sup>(∂Ω)). Nous adoptons une d´emarche classique, qui diff`ere ici uniquement par la pr´esence des op´erateurs modifi´es par le changement de variable dans les couches absorbantes parfaitement adapt´ees. En prenant formellement le rotationnel de l’´equation (5.23), nous obtenons :

D²_α,λ

Dt² (rot_α,λw)−∆_α,λ(rot_α,λw) = 0 dans Ω^L, rot_α,λw= 0 sur∂Ω^L.

Le domaine Ω^L ´etant convexe, nous d´eduisons que rotα,λw appartient `a H<sup>1</sup>(Ω<sup>L</sup>). Or, nous avons vu au chapitre pr´ec´edent que le probl`eme ci-dessus admet une unique solution si la longueur de couche L est assez grande et si le nombre d’onde k n’est pas reli´e `a une fr´equence de coupure. Nous en d´eduisons que rotα,λw= 0 dans Ω^L.

Nous effectuons ensuite le changement de fonction ˇw=we^iλx1, d’o`u rotα,0wˇ =e^iλx1rotα,λw et utilisons le

Th´eor`eme 5.17 Une fonction v deL²(Ω^L)² satisfait :

rotα,0v= 0 dansΩ^L

si et seulement si il existe une fonction φ, d´efinie de mani`ere unique dans l’espace quotientH¹(Ω^L)/R, telle que :

v=∇α,0φ

5.3. Probl`eme avec couches absorbantes parfaitement adapt´ees 113

Ceci nous permet de d´eduire que le champ ˇwd´erive d’un potentielφqui est solution de :

∇α,λ

D²_α,λ

Dt² φ−∆α,λφ

!

=0dans Ω^L,

∇α,λφ·n= 0 sur ∂Ω^L. D’o`u :

D²_α,λ

Dt² φ−∆α,λφ= cte dans Ω^L,

∇α,λφ·n= 0 sur ∂Ω^L.

Par unicit´e de la solution de ce dernier probl`eme pourLassez grand, nous en d´eduisons queφest constante sur Ω<sup>L</sup>, d’o`u w=0.

D´emonstration du th´eor`eme 5.17. Cette preuve suit en tout point celle du th´eor`eme 2.9 de [71].

Nous commen¸cons par montrer que v = ∇α,0φ pour une fonction φ appartenant `a l’espace L²_loc(Ω^L).

Le domaine Ω^L ´etant un ouvert born´e, simplement connexe et `a fronti`ere lipschitzienne, il existe une suite croissante (Ωm)_m≥1 d’ouverts tels que :

Ω_m⊂Ω^L et Ω^L= ∪

m≥1Ω_m.

Nous r´egularisons ensuite v de sorte que sa restriction `a Ω<sub>m</sub> reste irrotationnelle. Ceci nous permettra d’appliquer le th´eor`eme de Stokes, dans une version adapt´ee aux op´erateurs diff´erentiels modifi´es par la transformation _∂x^∂

1 →α_∂x^∂

1, `a cette fonction r´eguli`ere. Pour toutε >0, soitρ_ε∈D(R²) la suite r´egularisante nulle pour kxk_R2 > εet satisfaisant :

ρ_ε(x)≥0∀x∈R², Z

R²

ρ_ε(x) dx= 1 et lim

ε→0ρ_ε=δdansD⁰(R²), o`uδest la masse de Dirac.

Soitvele prolongement dev par 0 en dehors de Ω^L. Nous avons : ρ_ε∗ev∈D(R²)², lim

ε→0ρ_ε∗ev=ev dansL²(R²)²et rot_α,λ(ρ_ε∗ev) =ρ_ε∗rot_α,λev. (5.24) Par ailleurs, siεest suffisamment petit,

x∈Ω∪m

B(x;ε)⊂Ω^L,

o`uB(x;ε) d´esigne la boule de centrexet de rayon ε. Alorsrotα,0(ρε∗ev) = 0 dans Ωm et le th´eor`eme de Stokes nous indique qu’il existe une fonction r´eguli`ereφε(au moins dansH¹(Ωm)) telle que :

ρ_ε∗ue =∇_α,0φ_εdans Ω_m. De plus, (5.24) implique qu’il existeφm∈H¹(Ωm) telle que :

ε→0limφε=φmdansH¹(Ωm)/R et

v =∇α,0φ_mdans Ω_m.

Puisque ∇α,0φm = ∇α,0φm+1 dans Ωm, φm−φm+1 est constante dans Ωm. Ainsi, φm est unique `a une constante additive pr`es, cette constante pouvant ˆetre choisie de mani`ere `a ce que :

φ_m=φ_m+1 dans Ω_m, ∀m≥1.

Il existe alors φ∈L²_loc(Ω^L) telle que :

v=∇α,0φdans Ω^L.

Nous utilisons ensuite le corollaire 2.2 de [71] pour montrer que φ appartient `a L<sup>2</sup>(Ω<sup>L</sup>). De mani`ere

´

evidente, φest une fonction de H¹(Ω^L), d´efinie de mani`ere unique dansH¹(Ω^L)/R.

No documento analyse mathématique et numérique de l’équation de Galbrun (páginas 116-121)