Description de l’application
Cette application concerne la propagation de modes acoustiques et hydrodynamiques `a l’int´erieur d’un conduit rigide bidimensionnel infini en pr´esence d’un ´ecoulement uniforme de fluide homog`ene et en l’absence de force ext´erieure, probl`eme pour lequel la solution analytique est connue12.
La configuration trait´ee est la suivante : nous consid´erons une portion de longueur ´egale `a 2 d’un conduit `a parois rigides de hauteur constantel= 1, repr´esent´ee par le domaine Ω =]0,2[×]0,1[. Nous d´esignons par Σ = ]0,2[× {0} ∪]0,2[× {1}la fronti`ere de Ω correspondant aux parois rigides du conduit et par Σ−={0} ×]0,1[
et Σ+ = {2} ×]0,1[ les fronti`eres “artificielles” du probl`eme. Les conditions aux limites du probl`eme sont d’une part une condition de paroi rigide sur Σ, se traduisant par la nullit´e du d´eplacement normal `a la paroi :
u·n= 0 sur Σ,
et d’autre part une condition de d´eplacement normal impos´e sur Σ− et Σ+, le mode propag´e ´etant donn´e par une formule analytique. La r´egularisation de l’´equation n´ecessite par ailleurs une condition aux limites suppl´ementaire sur le rotationnel du d´eplacement :
rotu=ψsur∂Ω,
o`u ψ d´esigne le rotationnel du d´eplacement pour le mode impos´e, ´egalement connu analytiquement. Nous supposons enfin que le nombre de MachM de l’´ecoulement porteur est positif ou nul.
11En effet, cette structure de stockage est particuli`ere, car adapt´ee au fait que la matrice du syst`eme lin´eaire issu de la discr´etisation par ´el´ements finis du probl`eme est, par nature, creuse.
12Nous renvoyons le lecteur `a l’annexe C pour le calcul de modes dans un conduit rigide en pr´esence d’un ´ecoulement uniforme.
2.6. R´esultats num´eriques 47
Fig.2.2 – Maillage non structur´e du domaine Ω.
Le maillage utilis´e, non structur´e, est constitu´e de 1928 triangles et repr´esent´e sur la figure 2.2. Les
´
el´ements finis employ´es sont des ´el´ements de Lagrange de type P1. Tous les r´esultats pr´esent´es ont ´et´e obtenus avec le code m´elina13. Notons qu’en vertu du th´eor`eme 2.2, il existe une infinit´e d´enombrable de fr´equences singuli`eres pour lesquelles il n’y a pas unicit´e de la solution. Ceci se traduit pour le probl`eme approch´e par une pollution fr´equente des r´esultats num´eriques par des solutions du probl`eme homog`ene, qualifi´ees de“modes de cavit´e”, au voisinage des fr´equences singuli`eres. L’utilisation d’´el´ements finis d’ordre plus ´elev´e, comme par exemple les ´el´ements de typeP2, ou d’un maillage plus fin permet de r´esoudre cet inconv´enient. Les effets de la r´egularisation restent n´eanmoins clairement visibles sur les r´esultats qui suivent, ceux-ci ´etant `a l’occasion l´eg`erement parasit´es par des modes de cavit´e.
Modes acoustiques
Le fluide ´etant homog`ene et l’´ecoulement uniforme, nous consid´erons tout d’abord les modes ditsacous- tiques, qui sont par d´efinition des solutions `a variables s´epar´ees irrotationnelles de l’´equation de Galbrun ; nous avons par cons´equent ψ= 0 pour ces simulations. Le nombre de Mach ´etant suppos´e positif, on dira qu’un mode acoustique est aval (resp.amont) s’il se propage dans le sens du vecteure1(resp.−e1).
Nous traitons tout d’abord le probl`eme sans ´ecoulement. La propagation d’un mode aval plan (mode d’indice n= 0) est present´ee sur la figure 2.3. Nous avons choisi de repr´esenter les parties r´eelles des deux composantes du champ de d´eplacement.
erreur relative en normeL2(Ω)2 erreur relative en normeH1(Ω)2
s= 0 2,7446 10−1 2,5877
s= 1 1,6339 10−2 2,0712 10−2
Tab.2.1 – Erreurs relatives en normesL2(Ω)2etH1(Ω)2pour la propagation d’un mode aval d’indicen= 0, k= 5,4 etM = 0.
En l’absence de r´egularisation, les r´esultats se trouvent pollu´es par des solutions `a rotationnel non nul, dont le module est parfois beaucoup plus ´elev´e que celui du mode propag´e (figure 2.3(a)). Ce dernier est par contre obtenu de mani`ere satisfaisante pour une valeur du coefficient de r´egularisation s ´egale `a 1 (figure 2.3(b)). Indiquons que, dans le cas d’un mode plan, la composante selon la direction e2 de la solution est identiquement nulle. Si cela n’apparaˆıt pas de mani`ere ´evidente sur la figure 2.3(b), les valeurs prises par la solution calcul´ee avec r´egularisation sont n´eanmoins extrˆemement petites, ce parasitage num´erique ´etant tr`es probablement dˆu `a la pr´esence d’un mode de cavit´e. La figure 2.4 illustre la propagation d’un mode d’indice n = 1, ´egalement en l’absence d’´ecoulement. Les conclusions sur les effets de la r´egularisation dans ce cas restent identiques `a celles d´ej`a formul´ees. Nous constatons enfin que la pr´esence d’un ´ecoulement n’am´eliore pas la stabilit´e de la m´ethode d’´el´ements finis pour le probl`eme non r´egularis´e, que la propagation se fasse dans le sens de l’´ecoulement (figure 2.5) ou dans le sens oppos´e (mode amont, figure 2.6).
13Ce code, d´evelopp´e par Daniel Martin (IRMAR, universit´e de Rennes 1) en collaboration avec les chercheurs du groupe laboratoire POems `a l’ENSTA, est disponible `a l’adresse suivante :http://perso.univ-rennes1.fr/daniel.martin/melina/
www/homepage.html.
(a) calcul sans r´egularisation.
(b) calcul avec r´egularisation (s= 1).
Fig. 2.3 – Isovaleurs des composantes de la partie r´eelle du champ de d´eplacementu pour la propagation d’un mode aval d’indicen= 0, k= 5,4 etM = 0 (`a gauche composanteu1, `a droite composanteu2).
erreur relative en normeL2(Ω)2 erreur relative en normeH1(Ω)2
s= 0 9,295 10−1 6,868
s= 1 4,9969 10−2 5,2882 10−2
Tab.2.2 – Erreurs relatives en normesL2(Ω)2etH1(Ω)2pour la propagation d’un mode aval d’indicen= 1, k= 7,7 etM = 0.
(a) calcul sans r´egularisation.
(b) calcul avec r´egularisation (s= 1).
Fig. 2.4 – Isovaleurs des composantes de la partie r´eelle du champ de d´eplacementu pour la propagation d’un mode aval d’indicen= 1, k= 7,7 etM = 0 (`a gauche composanteu1, `a droite composanteu2).
2.6. R´esultats num´eriques 49
(a) calcul sans r´egularisation.
(b) calcul avec r´egularisation (s= 1).
Fig. 2.5 – Isovaleurs des composantes de la partie r´eelle du champ de d´eplacementu pour la propagation d’un mode aval d’indicen= 1, k= 4,6 etM = 0,3 (`a gauche composante u1, `a droite composanteu2).
erreur relative en normeL2(Ω)2 erreur relative en normeH1(Ω)2
s= 0 1,369 10−1 1,0845
s= 1 4,961 10−3 1,1727 10−2
Tab.2.3 – Erreurs relatives en normesL2(Ω)2etH1(Ω)2pour la propagation d’un mode aval d’indicen= 1, k= 4,6 etM = 0,3.
(a) calcul sans r´egularisation.
(b) calcul avec r´egularisation (s= 1).
Fig. 2.6 – Isovaleurs des composantes de la partie r´eelle du champ de d´eplacementu pour la propagation d’un mode amont d’indice n= 1,k= 4,6 etM = 0,3 (`a gauche composanteu1, `a droite composanteu2).
erreur relative en normeL2(Ω)2 erreur relative en normeH1(Ω)2
s= 0 6,4466 10−1 3,5609
s= 1 5,555 10−2 4,1484 10−2
Tab. 2.4 – Erreurs relatives en normes L2(Ω)2 et H1(Ω)2 pour la propagation d’un mode amont d’indice n= 1,k= 4,6 etM = 0,3.
Mode hydrodynamique
Nous proc´edons ensuite `a la propagation d’un mode `a rotationnel non nul, dit hydrodynamique. Ce type de mode est `a divergence nulle et se propage `a la vitesse de l’´ecoulement porteur. Les modes hydrodynamiques forment un continuum puisque, pour toute fonctionϕde l’espaceH01([0, l]), o`uld´esigne la hauteur du conduit (ici ´egale `a 1), le champ
u(x1, x2) =
iM
k ϕ0(x2)e1+ϕ(x2)e2
eiMkx1 est celui d’un mode hydrodynamique14. Leur rotationnel, not´eψ, est alors :
ψ(x1, x2) = i k
M ϕ(x2) +M
k ϕ00(x2)
eiMkx1. Pour les simulations pr´esent´ees sur la figure 2.7, nous avons choisiϕ(x2) = sinπ
lx2
. La solution est donc donn´ee par :
u(x1, x2) =
iM k
π l cosπ
lx2
e1+ sinπ lx2
e2
eiMkx1.
Nous constatons une nouvelle fois la n´ecessit´e de r´egulariser l’´equation pour la r´esoudre au moyen d’une m´ethode d’´el´ements finis nodaux.
(a) calcul sans r´egularisation.
(b) calcul avec r´egularisation (s= 1).
Fig. 2.7 – Isovaleurs des composantes de la partie r´eelle du champ de d´eplacementu pour la propagation d’un mode hydrodynamique,k= 2 etM = 0,3 (`a gauche composanteu1, `a droite composanteu2).
14Nous renvoyons une nouvelle fois le lecteur `a l’annexe C pour le calcul de cette expression analytique.
2.6. R´esultats num´eriques 51
erreur relative en normeL2(Ω)2 erreur relative en normeH1(Ω)2
s= 0 7,2725 10−1 2,7778
s= 1 9,547 10−3 2,0791 10−2
Tab.2.5 – Erreurs relatives en normesL2(Ω)2 etH1(Ω)2pour la propagation d’un mode hydrodynamique, k= 2 etM = 0,3.
Illustration de l’effet convectif de l’´ecoulement
Nous terminons cette partie consacr´ee aux r´esultats num´eriques par une illustration de l’effet convectif de l’´ecoulement uniforme sur la propagation des ondes acoustiques. Nous avons utilis´e des ´el´ements de Lagrange de type P2 pour ces simulations, afin d’´eviter les probl`emes de pollution num´erique importante caus´ee par des modes de cavit´e lorsque le nombre de Mach est proche de un.
La propagation d’un mode aval d’indicen= 2, pour une fr´equence fix´ee et pour diverses valeurs du nombre de MachM est pr´esent´ee sur les figures 2.8 `a 2.10 ; nous observons l’allongement caract´eristique de la longueur d’onde du mode lorsque la vitesse du fluide augmente.
Fig. 2.8 – Isovaleurs des composantes de la partie r´eelle du champ de d´eplacement u, calcul´e avec r´egularisation (s = 1), pour la propagation d’un mode aval d’indice n = 2, k = 6,8 etM = 0 (`a gauche composante u1, `a droite composanteu2).
Fig. 2.9 – Isovaleurs des composantes de la partie r´eelle du champ de d´eplacement u, calcul´e avec r´egularisation (s = 1), pour la propagation d’un mode aval d’indice n = 2, k = 6,8 et M = 0,3 (`a gauche composanteu1, `a droite composanteu2).
Fig. 2.10 – Isovaleurs des composantes de la partie r´eelle du champ de d´eplacement u, calcul´e avec r´egularisation (s = 1), pour la propagation d’un mode aval d’indice n = 2, k = 6,8 et M = 0,9 (`a gauche composanteu1, `a droite composanteu2).