5.2 Le cas dissipatif
5.2.3 Convergence vers un probl` eme limite
Nous devons `a pr´esent faire tendre le param`etrevers z´ero. Nous nous attendons ´evidemment `a avoir :
→0limkukH1(Ω)2 = +∞,
et la solution du probl`eme limite sera donc cherch´ee dans l’espace Hloc1 (Ω)2. Nous sommes ainsi conduits `a tout d’abord ramener le probl`eme en domaine born´e. Pour ce faire, nous introduisons deux probl`emes scalaires associ´es, utilisant l’hypoth`ese (5.3) sur la forme du second membre f pour effectuer une d´ecomposition de Helmholtz de la solutionudu probl`eme r´egularis´e dissipatif.
5.2. Le cas dissipatif 103
Passage en potentiels
Nous consid´erons les probl`emes suivants : trouverϕa∈H1(Ω) tel que
−k2ϕa−2ikM ∂ϕa
∂x1 +M2∂2ϕa
∂x12 −∆ϕa=ga dans Ω,
∂ϕa
∂n = 0 sur∂Ω,
(5.8)
et :trouver ϕh∈L2(Ω) tel que
−k2ϕh−2ikM ∂ϕh
∂x1
+M2∂2ϕh
∂x12 =gh dans Ω. (5.9)
Ceux-ci sont bien pos´es, un probl`eme analogue `a (5.8) ´etant en effet trait´e dans [33] (th´eor`eme 1) et le probl`eme (5.9) ´etant ´etudi´e dans l’annexe D. En utilisant la r´egularit´e du second membre ga et de la g´eom´etrie du domaine Ω, nous obtenons que l’unique solutionϕa de (5.8) appartient `aH2(Ω). De la mˆeme fa¸con, la r´egularit´e du termegh implique que le champ ϕh, solution de (5.9) identiquement nulle en amont du support degh, est dans l’espace H2(Ω).
Il apparaˆıt alors clairement que u = ∇ϕa +rotϕh est l’unique solution de (5.4)-(5.5), en vertu de l’unicit´e de la solution du probl`eme (5.7), puisque l’on a :
D2u
Dt2 −∇(divu) =∇ D2ϕa
Dt2 −∆ϕa
+rot
D2ϕh Dt2
, avec DDt =−ik+M ∂x∂
1 la d´eriv´ee particulaire dans l’´ecoulement porteur uniforme et en r´egime harmonique, et que :
u·n=∂ϕa
∂n +rotϕh·n= 0 sur∂Ω.
La fonction gh ´etant `a support compact, le champ ϕh est en effet nul sur le bord ∂Ω, impliquant que (rotϕh·n)|
∂Ω= 0.
Nous allons maintenant passer `a la limite dans les probl`emes (5.8) et (5.9), utilisant `a l’occasion plusieurs r´esultats th´eoriques ´etablis dans la r´ef´erence [33] pour des probl`emes scalaires de mˆeme type.
Limite et convergence du probl`eme en potentiel acoustique
Afin de pouvoir faire tendrevers 0 dans le probl`eme (5.8), nous ramenons ce dernier `a un domaine born´e Ωb, d´elimit´e par les fronti`eres verticales Σ±, respectivement plac´ees en x1=x±, et contenant le support de ga, au moyen d’op´erateurs Dirichlet-NeumannTa± d´efinis comme suit :
Ta
±: H1/2(Σ±) → H−1/2(Σ±) φ 7→ ∓
+∞
X
n=0
iβn± (φ,Cn)L2(Σ±)Cn(x2), avec :
βn±=
−kM± q
k2−n2l2π2(1−M2)
1−M2 , ∀n∈N,
la d´etermination choisie pour la racine carr´ee d’un nombre complexe ´etant :
√z=p
|z|eiarg(z)2 , 0≤arg(z)<2π, (5.10)
et o`u :
C0(x2) = r1
l et Cn(x2) = r2
l cosnπx2 l
, ∀n∈N∗. (5.11)
Nous consid´erons alors la formulation ´equivalente de (5.8) suivante :trouver ϕa∈H1(Ωb)tel que
−k2ϕa−2ikM ∂ϕa
∂x1
+M2∂2ϕa
∂x12 −∆ϕa=ga dans Ωb,
∂ϕa
∂n = 0 sur ∂Ω∩∂Ωb,
∂ϕa
∂n =−Ta
±ϕa sur Σ±,
dans laquelle nous pouvons maintenant passer formellement `a la limite et d´efinir ainsi un probl`eme pour = 0. Posant lim
→0βn±=βn±, nous remarquons tout d’abord que le choix (5.10) conduit `a :
βn±=
−kM±q
k2−n2l2π2(1−M2)
1−M2 sik≥ nπ
l
p1−M2,
−kM±i qn2π2
l2 (1−M2)−k2
1−M2 sik < nπ l
p1−M2. Le probl`eme limite s’´ecrit alors :trouverϕa∈H1(Ωb) tel que
−k2ϕa−2ikM ∂ϕa
∂x1
+M2∂2ϕa
∂x12 −∆ϕa =ga dans Ωb,
∂ϕa
∂n = 0 sur ∂Ω∩∂Ωb,
∂ϕa
∂n =−Ta±ϕa sur Σ±,
(5.12)
la d´efinition des op´erateurs de Dirichlet-NeumannTa±´etant : Ta±: H1/2(Σ±) → H−1/2(Σ±)
φ 7→ ∓
+∞
X
n=0
iβ±n (φ,Cn)L2(Σ±)Cn(x2), Nous avons le
Th´eor`eme 5.6 Le probl`eme (5.12) est bien pos´e sauf si k =kn, ∀n ∈ N, o`u kn =p
1−M2nπ
l est une
“fr´equence” singuli`ere du probl`eme.
Nous renvoyons le lecteur `a la d´emonstration du th´eor`eme 4.1 du chapitre pr´ec´edent pour une preuve de ce r´esultat (ou encore la sous-section 4.2 de [33], le probl`eme (5.12) ´etant un cas particulier du probl`eme trait´e dans cette r´ef´erence). Nous sommes `a pr´esent en mesure d’´enoncer un r´esultat de convergence pour le probl`eme (5.8).
Th´eor`eme 5.7 Sik6=kn,∀n∈N, la solutionϕa du probl`eme (5.8) converge versϕa dansH2(Ωb)lorsque tend vers 0, o`uϕa est la solution du probl`eme (5.12).
D´emonstration. Le th´eor`eme 4 de [33] nous donne la convergence deϕa versϕa dansH1(Ωb). Nous avons alors que :
(1−M2)∂2ϕa
∂x12 +∂2ϕa
∂x22 −→
→0(1−M2)∂2ϕa
∂x12 +∂2ϕa
∂x22 dansL2(Ωb).
Le domaine ´etant convexe, nous en d´eduisons (cf. [79]) la convergence dans l’espaceH2(Ωb) annonc´ee dans le th´eor`eme.
5.2. Le cas dissipatif 105
Limite et convergence du probl`eme en potentiel hydrodynamique
La solution du probl`eme (5.9) est explicitement donn´ee par le produit de convolution ϕh(x1, x2) = G∗gh(., x2)(x1), o`u le noyauG d´esigne la fonction de Green causale de l’´equation (5.6), donn´ee par2 :
G(x1) = x1
M2eikMx1H(x1),
o`uH est la fonction de Heaviside. Introduisons la limite formelleGdeG lorsquetend vers 0 : G(x1) = x1
M2eiMkx1H(x1).
Nous remarquons que cette fonction est localement de carr´e int´egrable. Nous pouvons montrer que G
converge versGdansL2loc(Ω). Soit alorsϕhla solution du probl`eme limite, v´erifiant l’´equation :
−k2ϕh−2ikM ∂ϕh
∂x1
+M2∂2ϕh
∂x12 =gh dans Ω, (5.13)
et donn´ee parϕh(x1, x2) =G∗gh(., x2)(x1). Nous avons :
|ϕh−ϕh|=|(G−G)∗gh(., x2)|, puis, par utilisation de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz :
kϕh−ϕhkL2(Ωb)≤ Z x+
x−
|G(z)−G(z)|2dz
!1/2
kghkL2(Ω).
Nous en d´eduisons queϕh converge versϕh dansL2(Ωb), en utilisant la convergence deGversGdans L2loc(Ω) lorsquetend vers 0. En nous basant sur la remarque D.3 de l’annexe D, nous ´etablissons finalement le
Th´eor`eme 5.8 La solutionϕh du probl`eme (5.9) converge vers la fonction ϕh dansH2(Ωb)lorsquetend vers 0.
Remarque 5.9 Nous attirons l’attention sur le fait que nous avons d´elib´er´ement choisi, pour des raisons de simplicit´e, de traiter le probl`eme sur le potentiel hydrodynamique ϕh provenant de l’´equation (5.1) et non de l’´equation de Galbrun mise sous forme r´egularis´ee. Cette autre caract´erisation possible du champ ϕh nous sera n´eanmoins n´ecessaire pour prouver rigoureusement la convergence du probl`eme avec couches parfaitement adapt´ees. Nous renvoyons `a la r´ef´erence [14] pour les d´etails du passage `a la limite pour cette seconde approche.
Convergence
Nous concluons en d´eduisant des th´eor`emes 5.7 et 5.8 le
Th´eor`eme 5.10 Sik n’est pas une “fr´equence” singuli`ere, la solutionu du probl`eme dissipatif (5.4)-(5.5) converge vers u =∇ϕa +rotϕh dans H1(Ωb)2 lorsque tend vers 0, le champ u v´erifiant les ´equations (5.1)-(5.2) dans le domaine Ωb.
L’utilisation du principe d’absorption limite nous a donc permis de caract´eriser l’unique solution de (5.1)-(5.2) repr´esentant le r´egime p´eriodique ´etabli. Nous l’appellerons la solution sortante du probl`eme.
Nous sommes par ailleurs capables de d´eduire les conditions de rayonnement la caract´erisant et fermant le syst`eme d’´equations donn´e en d´ebut de chapitre. Ainsi, la condition obtenue par l’interm´ediaire du potentiel acoustiqueϕa porte sur le champ divu, c’est-`a-dire sur la perturbation de pression, pour laquelle nous re- trouvons une d´ecomposition sur les modes guid´es du conduit. Le probl`eme pour le potentiel hydrodynamique ϕhfournit une condition sur rotuindiquant qu’il n’y a pas de perturbation hydrodynamique en amont de la sourcef, la technique d’absorption limite r´eintroduisant dans le probl`eme la notion de causalit´e perdue lors du passage en r´egime harmonique. Il devient alors possible de montrer l’unicit´e de la solution du probl`eme, ceci n’´etant cependant pas ici notre propos.
Nous supposerons d´esormais quek6=kn,∀n∈N.
2Le lecteur est renvoy´e `a l’annexe D pour les d´etails du calcul de la fonction de GreenG.