Pour les trois épisodes de cette période, nous choisissons les trois manuels suivants : - Mathématiques Terminales C et E, IREM Strasbourg, librairie Istra, 1983,
- Mathématiques Terminales C et E, collection Fractale, Bordas, 1992, - Mathématiques Terminale S, collection Dimathème, Didier, 1994.
Nous les notons respectivement M3, M4, M5.
Une évolution de l’organisation est frappante dans M4 et M5 : aux parties Cours et Exercices s’ajoutent des activités préparatoires, des travaux pratiques et des exercices commentés.
II.2.1. Étude du manuel M3
Le manuel s’organise en 18 chapitres.
1. Analyse combinatoire 2. Continuité et limites 3. Suites
4. Intégrale d’une fonction continue Étude : Calcul approché d’une intégrale 5. Fonction logarithme népérien
6. Fonctions continues sur un intervalle Étude : Exposants rationnels
7. Dérivation des fonctions
8. Théorème des accroissements finis 9. Fonction exponentielle
10. Fonctions puissances – Croissances comparées 11. Développements limités
12. Applications des développements limités 13. Exemples d’études de fonctions
14. Suites récurrentes 15. Équations différentielles 16. Calculs numériques
17. Applications du calcul intégral 18. Probabilités et dénombrements 19. Statistiques : séries doubles
Étude : Linéarisation par changements de variables a. Chapitre Intégrale d’une fonction continue a.1. Partie Cours
Le chapitre Intégrale d’une fonction continue débute par la notion intuitive d’aire. Il démontre ensuite que l’aire variable sous la courbe est dérivable et admet comme dérivée la fonction considérée : la notion de primitive et le lien entre deux primitives d’une même fonction sont ainsi introduites. L’existence de primitives des fonctions continues ainsi que l’existence unique de la primitive prenant une valeur donnée en un point a donné sont
également établies : cette dernière primitive est notée ∫x
a
dt t
f( ) . Ci-dessous le tableau des primitives usuelles du manuel (tableau 18) et le tableau de primitivation (tableau 19) :
f(x) F(x) I
a, a ∈ R ax R
x
2
1x2 R
2
1
x -
x
1 R*
xn, n ∈ Z – {-1, 0}
1 1
+
n xn+1 R, si n > 0
]0, +∞[ ou ]-∞, 0 [ si n < -1 x
1 2 x ]0, +∞[
cos x sin x R
sin x -cos x R
1 + tan2 x =
2 x cos
1 tan x
−π +π , 2 2 Tableau 18. Tableau des primitives usuelles du manuel M3 Mathématiques Terminales C, E, IREM Strasbourg, librairie Istra, 1983
Fonction Primitive Condition supplémentaire
f + g F + G
λf λF
F’Fn, n ∈ N*
1 1
+ n Fn+1
2
' F
F -
F
1 ∀x ∈ I, F(x) ≠ 0 )
(ax b f
x6 + = F’(ax + b)
a ≠ 0 x a1
6 F(ax + b) ax + b ∈ I Tableau 19. Tableau de primitivation du manuel M3
Mathématiques Terminales C, E, IREM Strasbourg, librairie Istra, 1983
Les trois dernières lignes du tableau 19 présentent les éléments technologiques du calcul de primitive.
Le théorème du lien entre l’aire variable sous la courbe et la primitive permet au manuel de définir l’intégrale d’une fonction continue par la formule de Newton – Leibniz comme une généralisation de l’aire. Les propriétés suivantes de l’intégrale sont présentées : linéarité, positivité, relation de Chasles, inégalité de la moyenne. Cette dernière est interprétée en terme d’aire.
Pour les méthodes d’intégration, ce manuel présente l’intégration par parties, le changement de variable affine et la primitivation. En particulier, une remarque du manuel indique que l’« on peut aussi utiliser l’interprétation géométrique pour calculer certaines intégrales. Ainsi, en reprenant l’exercice 1 du §1.2. on trouve :
1 2
1 1
2 π
=
−
−∫ t dt ». Le chapitre se termine par des exemples de fonctions définies par une intégrale. Ceci exprime que l’intégrale est un outil pour générer de nouvelles fonctions.
a.2. Partie Exercices Le manuel propose :
T1. 19 calculs de primitive et 7 calculs de primitive prenant une valeur donnée en un point donné,
T2. 17 calculs d’intégrale, T5. 11 calculs d’aire, T11. 3 inégalités intégrales, - 3 calculs de valeur moyenne,
Ainsi, le type de tâches T1 apparaît sous la forme « calculer les primitives d’une fonction ». Pour le types de tâches T2 : calculer ∫b
a f(x)dx, il apparaît une nouvelle technique : on interprète l’intégrale comme une aire et on calcule cette aire par les formules élémentaires connues.
b. Étude de calcul approché d’une intégrale
Les méthodes suivantes sont mises en œuvre : méthode des rectangles, méthode des trapèzes, et méthode des tangentes. Ainsi, le type de tâches T3 : « calculer approximativement b∫
a f(x)dx » est présent pour la première fois avec trois techniques : méthode des rectangles, méthode des trapèzes, et méthode des tangentes.
c. Étude du chapitre Applications de l’intégrale
Les applications de l’intégrale dans ce manuel sont les mêmes que celles du manuel M1.
II.2.2. Étude du manuel M4
Le type de tâches T1 « calculer les primitives d’une fonction » est identique à celui du manuel M3.
Pour le type de tâches T2 « calculer b∫
a f(x)dx », l’usage de l’interprétation géométrique au service de calcul d’intégrale est absent.
Le type de tâche T3 « calculer approximativement b∫
a f(x)dx » est présent avec trois techniques : méthode des rectangles, méthode des trapèzes, et méthode du point milieu remplaçant la méthode des tangentes dans M3. L’utilisation de calculatrice programmée pour T3 est également présentée.
Le type de tâches T5 « calculer l’aire d’une surface plane » est identique à celui de M1.
Le type de tâches T11 « démontrer une inégalité intégrale » est similaire à celui du manuel M1.
Les types de tâches absents par rapport aux types de tâches de référence : T4. Calculer la longueur d’un arc (dans un plan ou dans l’espace) T6. Calculer l’aire d’une surface de révolution
T8. Calculer le centre de gravité d’une plaque homogène T9. Calculer le moment d’inertie d’une plaque homogène T10. Calculer le travail d’une force variable
II.2.3. Étude du manuel M5
Conformément au programme, toutes les propriétés de l’intégrale sont interprétées en terme d’aire dans la mesure du possible.
Les types de tâches présents dans ce manuel T1, T3, T11 sont identiques à ceux du manuel M4. Les types de tâches absents sont les mêmes que ceux de M4.
Nous observons les évolutions suivantes concernant respectivement les types de tâches T2 et T5 :
- L’interprétation géométrique au service de calcul d’intégrale réapparaît :
Exercice 27 (page 188). Après avoir donné la nature de la courbe C représentant la fonction f : 1 x2
x6 − dans un repère orthonormal (O, →i, ), interpréter géométriquement →j ∫1 −x dx
0
1 2 ,
puis calculer cette intégrale.
Solution (du manuel). C est le demi-cercle de centre O et de rayon 1situé dans le demi-plan d’équation y ≥ 0. Donc
dx
∫ −x
1 0
1 2 =
2 1π.
- Tous les domaines dont on doit calculer l’aire sont algébriquement donnés (exercices 22, 23, 24, 25, 26, 28, page 188) sous la forme :
≤
≤
≤
≤
) ( )
(x y g x f
b x a
Le calcul d’aire dans ces cas ne nécessite que les connaissances du thème « intégrale ».