Outils num´eriques pour la mod´elisation d’´ecoulements industriels d’interaction s’exprime finalement :
I =Dr
1
σ2x ×arccos(p√ x)−µx
1−p2x 1
σ2y ×arccos(p√ y)−µy
1−p2y 1
σz2 × arccos(p√ z)−µz
1−p2z
(7.25)
avec les angles arccos(px), arccos(py) et arccos(pz) appartenant respectivement aux intervalles [−π2 +µx; +π2 +µx], [−π2 +µy; +π2 +µy] et [−π2 +µz; +π2 +µz].
Il faut noter que le calcul de la d´eriv´ee de la fonction de probabilit´e de distribution est r´ealis´e en prenant l’hypoth`ese que l’angle moyen et la variance sont fixes sur un pas de temps. Seul l’angle β varie au cours de ce calcul.
7.6 ´Ecoulement entre deux plans parall`eles infinis
Le pas de temps maximal est choisi comme il est pr´ecis´e dans la section7.3.1Dtmax= 10−3s.
7.6.1 Mod`ele sans interactions
L’´evolution de l’orientation d’une fibre seule plong´ee dans le canal est repr´esent´ee Fi- gure 7.12. Une zone non cisaill´ee au centre de canal de l’ordre de 14−15cm de largeur est pr´edite.
-0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Distance dans le canal (m)
Hauteur dans le canal (m)
theta = 1°
theta = 5°
theta = 20°
theta = 50°
theta = 89°
Figure 7.12– ´Evolution de l’orientation d’une fibre entre deux plans parall`eles distants de 20cm.
L’orientation dans cette zone est caract´eris´ee par un facteur d’orientation de 0,5. Dans les zones cisaill´ees de part et d’autre de cette zone centrale, de facteur d’orientation en ´etat permanent est de 1. Cet ´ecoulement est simul´e selon les deux mod`eles propos´es dans ce chapitre. Pour l’instant, le terme d’interactions n’est pas pris en compte. Les profils d’orientation en bout de canal sont donn´es sur laFigure7.13. Ils correspondent au coefficient a33de la matrice d’orientation pour la mod`ele continu, directement comparable au facteur d’orientation α3 du mod`ele multifibres.
Facteur d'orientation (-)
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20
Distance entre les parois (m) solution analytique modèle multifibres modèle continu
Figure 7.13– Profil du facteur d’orientation en bout de canal (pour z = 0,6m) trac´e pour les deux mod`eles de pr´ediction (continu et multifibres). Le terme d’interactions est ´egal `a z´ero.
Les r´esultats des deux m´ethodes sont tr`es proches, l’erreur moyenne au sens des moindres carr´es est de l’ordre de 3.10−4. Ces deux m´ethodes m`enent `a une bonne pr´ediction de l’´etat perma- nent d’orientation dans le canal. Une estimation du temps n´ecessaire pour atteindre 99% de
Outils num´eriques pour la mod´elisation d’´ecoulements industriels
l’orientation pour des fibres initialement isotropes `a l’entr´ee du canal peut ˆetre d´eduite des pro- fils d’orientation le long du canal, pour chacun des mod`eles. Cette estimation est trac´ee sur la Figure 7.14. Les temps n´ecessaires pour que l’orientation caract´eristique d’un r´egime perma- nent soit atteinte (`a 1% pr`es) sont de l’ordre de 2 secondes pour chacun des mod`eles. On note toutefois une l´eg`ere diff´erence entre les mod`eles pour une vitesse de cisaillement moyenne entre les deux plans de l’ordre de 0,1m/s. Les temps d’orientation du mod`ele tensoriel continu sont environ 15% plus ´elev´es que ceux du mod`ele multifibres.
Temps d'orientation à 99% (s)
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
0,170 0,175 0,180 0,185 0,190 0,195 0,200
Distance entre les deux plans (m) modèle tensoriel modèle tensoriel, CI=0,05 modèle multifibres modèle multifibres, CI=0,05
Figure 7.14 – Temps n´ecessaire pour atteindre 99% de l’orientation finale dans le canal, selon la dis- tance entre les deux plans. Comparaison des facteurs d’orientation (a33 et α3) selon les deux mod`eles num´eriques.
La prise en compte du terme d’interactions r´eduit le temps d’orientation pour chacun des mod`eles puisque ces interactions induisent une orientation premanente moins marqu´ee, donc atteinte plus rapidement par les fibres en ´ecoulement. Ce processus semble plus important dans le cas du mo- d`ele tensoriel sur la Figure7.14, du fait de l’influence plus marqu´ee des interactions au niveau de l’orientation permanente dans ce mod`ele.
7.6.2 Influence des propri´et´es rh´eologiques du mat´eriau
Les propri´et´es rh´eologiques du mat´eriau sont maintenant modifi´ees pour observer l’impact du comportement macroscopique sur le profil de l’´ecoulement. Pour cela, nous caract´erisons le comportement rh´eologique d’un fluide par le nombre de BinghamBmd´eduit de ses param`etres de seuil et de viscosit´e plastique. Il s’´ecrit :
Bm= τcL
µpV (7.26)
o`u L est une longueur caract´eristique de l’´ecoulement, et V sa vitesse. Ce nombre adimen- sionnel est utilis´e pour caract´eriser le rapport entre les contraintes ´elastiques et les contraintes visqueuses. Dimensionnellement, on s’attend `a ce que plus les contraintes ´elastiques sont impor- tantes, plus les zones mortes sont importantes au niveau de l’´ecoulement et plus l’orientation macroscopique est faible. Dans notre ´ecoulement 2D, la longueur caract´eristique est la distance
7.6 ´Ecoulement entre deux plans parall`eles infinis
entre les deux plansL= 0,2met le calcul de l’ordre de grandeur de la vitesse s’effectue par l’ap- proximation d’un champ de vitesse caract´eristique d’un ´ecoulement de PoiseuilleVmoy= 23Vmax. Le nombre de Bingham de l’´ecoulement pr´esent´e pr´ec´edemment est de l’ordre de Bm= 4,32.
Les param`etres de seuil et de viscosit´e sont alors vari´es pour observer l’impact des propri´et´es rh´eologiques sur le profil de l’´ecoulement. Ces param`etres sont donn´es dans laTable 7.1 :
Bingham Bm1 Bm2 Bm3
Seuil (Pa) 300 100 50 Viscosit´e (Pa.s) 10 10 10 Bingham 4,32 1,44 0,72
Table 7.1 – Nombres de Bingham repr´esentatifs du comportement rh´eologique des mat´eriaux dont l’´ecoulement est simul´e entre deux plans parall`eles infinis.
La Figure7.15 r´eunit les profils d’´ecoulement entre les deux plans parall`eles au bout du canal (z= 0,6m).
Facteur d'orientation (-)
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20
Distance entre les deux plans (m)
Bm=4,32 Bm=1,44 Bm=0,72
solution analytique (Bm=3,42) solution analytique (Bm=1,44) solution analytique (Bm=0,72)
Figure 7.15 – Profils du facteur d’orientation en bout de canal pour mat´eriaux caract´eris´es par leur nombre de Bingham. Simulations r´ealis´ees par le mod`ele continu. Un coefficient d’interactionsCI = 0,005 a ´et´e utilis´e.
Un nombre de Bingham d´ecroissant n’influence pas le facteur d’orientation dans les zones ci- saill´ees mais modifie la pr´ediction de la zone isotrope, ainsi que l’orientation dans cette zone.
Cette zone isotrope est conditionn´ee par la contrainte seuil du mat´eriau. D`es que le crit`ere de Von Mises n’est plus respect´e, le mat´eriau suit une loi de comportement ´elastique en fonction du module de cisaillementG du mat´eriau, choisi tel que :
τc=Gγcrit (7.27)
Outils num´eriques pour la mod´elisation d’´ecoulements industriels
o`uγcritest la d´eformation critique au del`a de laquelle le comportement ´elastique du mat´eriau est d´epass´e. Pour chaque nombre de Bingham, cette d´eformation critique est fix´ee `a γcrit = 10−2, valeur classique des mat´eriaux cimentaires. Le module de cisaillement du mat´eriau est modifi´e avec le seuil pour chaque simulation. Un module Gfaible entraine alors des d´eformations ´elas- tiques dans la zone isotrope, et donc une ´evolution de l’orientation des fibres. On peut penser qu’une valeur artificiellement forte de ce module tend vers la solution analytique d’une orienta- tion maximale aux parois et isotrope dans la zone centrale, avec un gradient d’orientation tr`es fort `a l’interface entre les deux zones.
De plus, la largeur de la zone isotrope centrale num´eriquement obtenue par rapport `a sa pr´e- diction analytique peut ˆetre expliqu´e par le caract`ere diffusif des interactions. Le profile de l’´ecoulement est plus doux plus le seuil est faible, et l’effet des interactions domine le processus d’orientation dans la zone proche de l’isotropie centrale.
7.6.3 Influence du terme d’interactions
Les interactions sont ajout´ees `a chacun des deux mod`eles. Le coefficient d’interactionsCI est vari´e sur la plage des coefficients de la litt´erature (entre 10−3 et 0,2). Les profils d’orientation sont trac´es sur laFigure 7.14.
Facteur d'orientation (-)
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20
Distance entre les parois (m)
solution analytique 4 fibres 4 fibres CI=0,001 4 fibres CI=0,005 4 fibres CI=0,05 4 fibres CI=0,1 tenseur tenseur CI=0,001 tenseur CI=0,005 tenseur CI=0,05 tenseur CI=0,1 tenseur CI=0,2
Figure 7.16– Profils du facteur d’orientation en bout de canal pour diff´erents coefficients d’interactions, trac´es pour les deux mod`eles de pr´ediction (continu et semi-discret).
Pour les deux mod`eles, l’augmentation du coefficient d’interactions CI entraine une r´eduction du degr´e d’orientation caract´eristique du r´egime permanent dans les zones cisaill´ees. Le temps n´ecessaire pour atteindre cette orientation r´eduite est alors plus rapide (cf. Figure 7.14). En revanche, aucun effet n’est observ´e dans la zone isotrope centrale. Ce comportement ´etait pr´evi- sible du fait des faibles d´eformations dans cette zone pour un module de cisaillement assez ´elev´e (G= 30000P a).
La comparaison des deux mod`ele montre que, malgr´e des profils d’orientation similaires, le mo- d`ele multifibres sous-estime les interactions des fibres entre elles lors de l’´ecoulement par rapport
7.6 ´Ecoulement entre deux plans parall`eles infinis
`
a l’approche tensorielle.
Quoi qu’il en soit, ce terme doit permettre l’ajustement des r´esultats num´eriques sur les r´esul- tats exp´erimentaux. Or, les valeurs du facteur d’orientation exp´erimentalement mesur´ees par comptage de fibres sur des sections d’un canal `a surface libre (cf. chapitre5) sont de l’ordre de 0,7-0,8 aux parois. Nous n’avons pu r´eussir `a obtenir de telles valeurs avec le mod`ele multifibres.
En effet, au del`a du coefficient d’interactions de 0,1, de fortes perturbations de l’orientation sont apparues dans les zones cisaill´ees du canal. Par contre, le mod`ele continu permet d’obtenir des facteurs d’orientation aux parois du canal de l’ordre de 0,7 pour un coefficient d’orientation de CI = 0,1−0,2. Si on compare ce facteur aux r´esultats de la litt´erature, on s’aper¸coit que cette valeur de coefficient d’interactions correspond `a des encombrements tr`es ´elev´es (cf. chapitre 5 section5.6.6). Nous avons propos´e au chapitre4 un crit`ere de formulation des mat´eriaux fibr´es tel que l’encombrement dˆu aux inclusions dans les mat´eriaux cimentaires ne d´epasse pas 0,8. Or si on se r´ef`ere aux coefficients de Folgar et Tucker [167] sur laFigure 7.17, un encombrement des fibresφf/φf m de 0,8 implique un coefficient d’interactions de l’ordre de 0,02, ce qui est un ordre de grandeur en dessous du coefficient n´ecessaire dans nos simulations.
Coefficient d'interactions
y = 0,0031e2,5504x
0,001 0,01 0,1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Encombrement Folgar et Tucker Sepehr et al.
Phan Thien et al.
~0,024
0,8
fm f φ φ /
Figure 7.17– Coefficient d’interactions issus de la litt´erature [167],[213],[214]. Le point blanc correspond
`
a l’extrapolation de ce coefficient pour un encombrement de 0,8.
Une estimation du nombre de calculs pour chacun des mod`eles m`ene pour chaque pas de temps
`
a (149 additions/soustractions + 132 multiplications/divisions + 1 racine) calculs pour le mo- d`ele continu, et (244 additions/soustractions + 240 multiplications/divisions + 21 racines + 28 arccosinus) calculs pour le mod`ele multifibres (sans compter l’appel `a une proc´edure de Jacobi dans chacun des mod`eles pour le calcul du param`etre d’interactionsDrd´efini au5section5.6.6).
Cette estimation pr´edit un temps de calcul plus important dans avec le mod`ele multifibres. Nous avons effectivement constat´e cette diff´erence de temps, inf´erieure `a 20minutes sur un calcul de 2heures. Nous recommendons donc le mod`ele continu. Il faut cependant garder `a l’esprit que les coefficients d’interactions n´ecessaires pour simuler l’orientation d’une population de fibres dans une structure r´eelle sont bien sup´erieurs `a ceux couramment utilis´es dans la litt´erature pour des
Outils num´eriques pour la mod´elisation d’´ecoulements industriels
encombrements similaires. Les facteurs d’orientation de l’ordre de 0,7 mesur´es sur structures r´eelles ne sont donc pas uniquement dus aux interactions entre les fibres. Il faut alors tenir compte du comportement macroscopique du mat´eriau en ´ecoulement. En effet, les coefficients d’interaction de la litt´erature sont mesur´es sur des fluides Newtoniens. Or, les mat´eriaux dont nous simulons l’´ecoulement pr´esentent un seuil d’´ecoulement qui peut modifier l’´evolution de l’orientation des fibres.
Nous avons d`es le d´ebut de cette ´etude appliqu´e un mod`ele d’´evolution de l’orientation issu de la m´ecanique des milieux Newtoniens `a des mat´eriaux cimentaires pr´esentant un seuil d’´ecou- lement. Nous avons alors constat´e que cette hypoth`ese forte permettait d’obtenir de bonnes pr´edictions de l’´etat d’orientation dans les zones cisaill´ees du mat´eriau. Mais cette hypoth`ese a des limites. Elle est en effet valable au niveau macroscopique mais ne prend pas en compte l’effet du seuil `a l’´echelle de la fibre.