Ecoulement industriel d’un b´´ eton de fibres
a un effet stabilisateur sur ces fibres une fois orient´ees dans le plan parall`ele, en induisant une importante r´eduction de leur vitesse angulaire [178],[180],[181],[182].
2222LLLL ffff
l f
Figure 5.8 – Orientation pr´ef´erentielle des fibres dans un plan parall`ele `a la paroi (illustration sur un gel `a cheveux contenant des fibres d’acier de longueur 10mm et de diam`etre 0,2mm).
Dans ce plan parall`ele, des r´esultats exp´erimentaux de Moseset al.[178] mettent en avant deux orientations privil´egi´ees des fibres. Une grande partie des fibres s’aligne avec la direction de l’´ecoulement alors qu’un nombre non n´egligeable d’entre elles se place orthogonalement `a la direction de l’´ecoulement (cf. Figure 5.9). Cette distinction est de plus en plus nette plus le plan d’observation est proche de la paroi (∼1mm). Le nombre de ces fibres orthogonales croˆıt lorsque leur longueur ou leur concentration diminue.
x y
écoulement
Figure 5.9 – Orientations privil´egi´ees des fibres par rapport `a l’´ecoulement. Le plan (x,y) est le plan de la paroi. Les fibres s’orientent majoritairement dans le direction de l’´ecoulement, mais un nombre significatif de fibres se place perpendiculairement (illustration sur un gel `a cheveux contenant des fibres d’acier de longueur 10mmet de diam`etre 0,2mm).
Ces fibres suivent un mouvement complexe de rotation autour de leur axe propre en mˆeme temps qu’un glissement le long de la paroi, appel´e ph´enom`ene de ”rolling” [183]. Ce comportement est observ´e pour de faibles concentrations et de faibles ´elancements, i.e. dans le cas de r´egimes dilu´es, `a cause des interactions entre fibres rendant la position perpendiculaire `a l’´ecoulement instable [178].
5.5 Effets de paroi
Moseset al.d´eduisent de l’´equilibre des moments appliqu´es `a la fibre par l’´ecoulement et modifi´es par la pr´esence de la paroi, un taux de cisaillement effectif prenant en compte l’influence de la pr´esence du mur dans les pr´edictions th´eoriques d’orientation. Ce taux de cisaillement effectif d´ecroit logarithmiquement avec la distance `a la paroi.
5.5.3 Influence locale d’une paroi sur un ´ecoulement isotrope
Pour quantifier l’influence d’une paroi sur l’orientation des fibres situ´ees `a moins d’une demi- longueur de la paroi `a une ´echelle locale, et plus encore `a l’´echelle macroscopique d’une structure enti`ere, de nombreux auteurs utilisent le facteur d’orientation d´ecrit pr´ec´edemment, qui permet de manipuler simplement la notion spatiale d’orientation par rapport `a une direction choisie [104],[64],[144],[145],[147],[148],[149],[150],[151],[152],[13],[174],[184].
La condition de distribution ´equiprobable n’est alors plus respect´ee, et une contrainte g´eom´e- trique doit ˆetre introduite dans le calcul du facteur d’orientation (5.4). Dupont et Vandewalle [149] prennent en compte cette restriction g´eom´etrique dans leur calcul du facteur d’orientation.
Dans une premi`ere ´etape, ils expriment le facteur d’orientation par rapport `a la direction pa- rall`ele `a la paroi. Ensuite, ce facteur est int´egr´e sur le plan orthogonal `a cette paroi, entre la paroi et la demie longueur de fibre. L’int´egration num´erique du facteur d’orientation dans ce plan renvoie la valeur du facteur d’orientation moyen sur le plan perpendiculaire `a la paroi et influenc´e par la pr´esence de la paroi α⊥w = 0,6 [149]. Ce calcul peut alors ˆetre adapt´e au plan parall`ele `a la paroi. De mˆeme que pour le calcul de α⊥w, le facteur d’orientation est d’abord
´evalu´e selon la direction perpendiculaire `a la paroi, en fonction de la distancey entre le centre de gravit´e de la fibre et la paroi :
α⊥= Rπ/2
arccos2y
lf
l2f
2πsinβcosβdβ
πlfy = y
lf (5.17)
Ensuite, ce facteur est int´egr´e sur tous les plans parall`eles `a la paroi, entre y = 0 et y = lf/2 pour donner une orientation moyenne sur cette distance :
αkw = 2 lf
Z lf2
0
y lf = 1
4 (5.18)
Le d´etail des calculs est donn´e en Annexe D.
Ce facteurαkw = 0,25 est alors repr´esentatif d’une faible orientation moyenne perpendiculaire- ment `a la paroi sur l’ensemble des plans influenc´es par cette paroi et qui lui sont parall`eles.
5.5.4 Influence d’une paroi `a l’´echelle de la structure
D`es lors que les facteurs d’orientationα⊥w etαkw ont ´et´e exprim´es dans la zone proche des parois, il est facile d’´etendre leur influence `a l’´echelle de toute une structure, `a travers l’estimation d’un facteur d’orientation moyen calcul´e sur une section enti`ere de la structure ´etudi´ee. On prend ici l’hypoth`ese d’une orientation isotrope dans le reste de l’´ecoulement. L’orientation des fibres est ainsi uniquement due aux limites g´eom´etriques du coffrage. Nous consid´erons la section de largeur caract´eristique e d’une structure `a laquelle des fibres de longueur lf ont ´et´e ajout´ees.
Ecoulement industriel d’un b´´ eton de fibres
Dans les deux zones proches des parois s’´etendant sur une demi-longueur de fibre, les fibres sont fortement parall`eles aux parois et le facteur d’orientation moyen dans ces zones est de 0,6. Sur la distance e−2×lf/2 au centre de la section, les fibres sont orient´ees de mani`ere isotrope et le facteur d’orientation est donc ´egal `a 0,5. L’orientation moyenne sur cette section est alors
´
evalu´ee sur toute la section par :
¯
α⊥ = 1
e(0,5×(e−lf) + 0,6×lf)
= 1
2 + lf
10e (5.19)
Le mˆeme calcul peut alors ˆetre transpos´e `a un plan parall`ele `a la paroi, d’une longueur carac- t´eristique L, la mˆeme que celle de la section de la structure, pour pouvoir comparer les deux r´esultats. Dans ce cas, la facteur moyen d’orientation sur ce plan est ´egal `a :
¯
αk = 1
e(0,5×(e−lf) + 0,25×lf)
= 1
2 − lf
4e (5.20)
La longueur des fibres commun´ement utilis´ees en g´enie civil est de l’ordre de 10mm, et la taille caract´eristique minimale de la section d’un ´el´ement structurel est de l’ordre de 10cm.
Le ratio lf/e est donc de l’ordre de 10−1, et on peut s’attendre `a ce que les variations du facteur d’orientation moyen dues aux effets de paroi soient limit´ees `a quelques %. Bien que, de ce point de vue, la pr´esence des parois ne semble pas influencer dans une large mesure les propri´et´es macroscopiques du mat´eriau, il ne faut pas oublier que, dans les zones proches des parois, ces variations sont localement plus fortes, et que ces zones sont d´eterminantes au niveau des propri´et´es m´ecaniques de la structure en terme de fissuration [149]. De plus, cette influence moyenne des parois sur l’orientation macroscopique des fibres dans la structure peut prendre de bien plus larges proportions dans le cas d’´el´ements structurels fins, par exemple dans le cas du coulage de dalles. Dans ce dernier cas, des ratioslf/eproches de l’unit´e peuvent ˆetre envisag´es.
5.5.5 Effet des parois sur la concentration
La pr´esence des parois repousse vers le centre du moule les fibres ne leur ´etant pas parfaite- ment parall`eles, ce qui a pour effet de r´eduire la concentration en fibres dans la zone d’influence de ces parois. Stroeven [185] a exprim´e un facteur de r´eductionξde la concentration dans la zone proche des parois, d´efini comme le ratio entre la concentration des fibres dans les zones proches des parois et la concentration dans le reste du mat´eriau (suppos´ee homog`ene), en fonction de la distance relative du centre de la fibre `a la paroiy/lf (o`u y est la distance du centre de la fibre
`
a la paroi).
ξ =y/lf−y/lfln(y/lf) (5.21)
D’apr`es l’expression de Stroeven, on peut directement observer sur la figure Figure5.10 cette r´eduction de la concentration en fibres au voisinage d’une paroi. Cet effet est cependant n´eglig´e dans notre travail.