7.5 M´ ethode multi fibres
7.5.5 Interactions entre fibres
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Leurs valeurs confirment une r´epartition proche de l’isotropie.
αx,3f ibres= 0,333, αy,3f ibres= 0,333, αz,3f ibres= 0,333 αx,7f ibres= 0,333, αy,7f ibres= 0,333, αz,7f ibres= 0,333 αx,11f ibres = 0,318, αy,11f ibres= 0,318, αz,11f ibres= 0,364
αx,13f ibres = 0,333, αy,13f ibres= 0,333, αz,13f ibres= 0,333 (7.14)
7.5 M´ethode multi fibres
Cet angle moyen est consid´er´e dans l’intervalle [−π/2; +π/2] par rapport `a la direction ´etudi´ee pour que le calcul de l’angle moyen soit repr´esentatif de l’inclinaison moyenne des fibres par rapport `a cette direction.
La probabilit´e de distribution des fibres s’´ecrit, par rapport `a un axe avec lequel la fibre forme un angleβ et sur l’intervalle [−∞; +∞] :
ψ(β) = 1 σ√
2πe−
(β−µ)2
2σ2 (7.19)
o`uµ est l’angle moyen des vecteursp avec la direction ´etudi´ee, etσ2 la variance.
Cette fonction de distribution doit alors v´erifier les deux propri´et´es7.17 et7.18. Or, d’une part une distribution gaussienne ne v´erifie pas la condition deπ-p´eriodicit´e, d’autre part la probabilit´e unitaire n’est par d´efinition obtenue que sur tout le domaine [−∞; +∞] :
Z +∞
−∞
ψ(β)dβ= 1 (7.20)
Nous construisons donc une fonction de probabilit´e Ψ des fibres par morceaux, `a partir de la gaussienne de r´ef´erence tronqu´ee sur l’intervalle [−π/2 +µ;π/2 +µ]. La fonction de probabilit´e de distribution des fibres Ψ est alors la somme des distributions gaussiennes tronqu´ees d´efinies sur chaque intervalle [−π2(2k−1) +µ;π2(2k+ 1) +µ], o`ukest un entier r´eel. Ces gaussiennes sont multipli´ees `a des fonctions portesPµ,k d´efinies `a partir des fonctions de Heaviside H correspon- dant `a chaque intervalle. On obtient alors une fonction de distribution des fibres,π−p´eriodique, d´efinie pour une moyenne µet une varianceσ2 :
Ψ(β) =X
k∈Z
1 σ√
2π exp
−(β−(µ+kπ))2 σ2
×Pµ,k(β) (7.21)
o`u
Pµ,k(β) = h
H
β+µ+π
2(2k+ 1)
−H
β+µ+π
2(2k−1) i
(7.22) La fonction Ψ(β) est continue par morceaux sur chaque intervalle [−π2(2k−1) +µ;π2(2k+ 1) +µ].
On peut alors montrer sa continuit´e sur l’ensemble des r´eels en montrant que la valeur de la gaussienne `a droite d’un intervalle est ´egale `a celle de la gaussienne `a gauche de l’intervalle suivant :
Ψ(µ+π
2(2k+ 1)) = Ψ(µ+π
2(2k0−1)) (7.23)
avec k0 =k+ 1. En effet chacun des termes calcul´es s´epar´ement est ´egal `a 1
σ√
2πexp
−(π/2)2
σ2
. La fonction Ψ est donc π−p´eriodique et uniform´ement continue sur IR. Elle est uniform´ement d´erivable sur chaque morceau. Toutefois, la condition de probabilit´e unitaire n’est pas v´erifi´ee sur chaque morceau. On peut cependant montrer qu’elle y est approch´ee. On s’int´eresse au morceau [−π/2 +µ;π/2 +µ]. On cherche alors `a ´evaluer l’erreur commise sur la condition7.17 dans cet intervalle. Pour cela, deux cas de figures particuliers sont d´efinis, entre lesquels toutes les confi- gurations sont possibles : l’isotropie et l’anisotropie par rapport `a l’axe ´etudi´e. Dans le cas 3D, une distribution isotrope selon un axe est repr´esent´ee par une distribution r´eguli`ere de 7 fibres dans l’intervalle [−π/2;π/2] (puisque dans ce cas l’angle moyen est nul), et l’anisotropie comme une distribution r´eguli`ere de 7 fibres dans l’intervalle [−20˚; +20˚] selon le crit`ere d’anisotropie
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du chapitre 5 (pour un angle moyen nul aussi `a cause de la r´egularit´e de la distribution). La distribution gaussienne d’une r´epartition anisotrope ainsi d´efinie atteint la valeur nulle avant les bornes−π/2 et +π/2 de l’intervalle de d´efinition (en gris sur la Figure7.8). Ainsi la condition 7.17 est respect´ee dans cette configuration. Dans le cas d’une distribution isotrope, comme re- pr´esent´e en noir sur laFigure7.8, l’int´egrale (au sens de Riemann) de la fonction entre−π/2 et +π/2 est'0,93, soit une probabilit´e de pr´esence d’une fibre d’environ 93% au lieu de 100% sur tout l’intervalle. Le terme d’interaction est dans ce cas l´eg`erement sous-estim´e. Cette erreur est n´eglig´ee dans la suite de nos calculs. La condition de probabilit´e unitaire sur chaque intervalle [−π2(2k−1) +µ;π2(2k+ 1) +µ] est suppos´ee respect´ee.
Probabilité de distribution des fibres
0 0,03
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
angle (degrés) isotropie
anisotropie bornes de l'intervalle
Figure 7.8 – Trac´e de la fonction de probabilit´e de distribution des fibres dans un cas isotrope et anisotrope selon une directiond´etudi´ee.
Il faut noter que la configuration d’anisotropie pr´esent´ee sur la figureFigure7.8 est relative `a la directiond´etudi´ee puisque l’angle des fibres se d´efinit par rapport `a cet axe. Le cas particulier d’une anisotropie de l’orientation des fibres marqu´ee dans le sens orthogonal `a cette direction n’est pas pris en compte par la distribution gaussienne. Ainsi, la configuration d’anisotropie orthogonale `a la directiondpr´esent´ee sur laFigure 7.9 correspond `a la distribution trac´ee en gris sur la Figure7.10.
d
Figure 7.9– Configuration d’anisotropie des fibres dans la direction orthogonale `a la directiond´etudi´ee.
Cette distribution est tr`es proche d’une configuration isotrope, malgr´e l’orientation privil´egi´ee adopt´ee par les fibres. Dans ce cas, selon l’expression du terme d’interaction donn´e dans la section suivante 7.5.5.2, les param`etresσ et µd´eduits des inclinaisons de toutes les fibres sont respec-
7.5 M´ethode multi fibres
tivement ´elev´e et faible. Ces param`etres entrainent un faible terme d’interaction pour une fibre formant un angle inclus dans l’intervalle [−π/2; +π/2] par rapport `ad(fibre sur laFigure7.9).
L’expression de ce terme est d´etaill´e dans la section suivante. Selon cette expression, le terme d’interaction ne d´epasse pas 3.10−4Dr. Ce r´esultat semble coh´erent puisque le mouvement de l’extr´emit´e des fibres orthogonal `adn’influence que dans une faible mesure la fibre orient´ee selon d. On note que dans ce cas, l’int´egrale (au sens de Riemann) de la fonction entre−π/2 et +π/2 est'0,75.
Probabilité de distribution des fibres
0 0,03
-180 -130 -80 -30 20 70 120 170
angle (degrés) isotropie
anisotropie bornes de l'intervalle
Figure 7.10 – Trac´e de la fonction de probabilit´e de distribution des fibres dans un cas isotrope et anisotrope orthogonalement `a une directiond´etudi´ee.
7.5.5.2 Calcul du terme d’interactions
Une fois la fonction de distribution des fibres d´efinie, on cherche `a exprimer le terme d’in- teractions (7.15) en fonction des param`etres calcul´es par le code Flow3D c. Ce terme ajout´e
`
a l’´equation d’´evolution de l’orientation d’une fibre est projet´e sur les trois axes de l’espace comme :
I =
Ix
Iy Iz
=Dr
1 ψx(βx)
∂ψx(βx)
∂px
1 ψy(βy)
∂ψy(βy)
∂py
1 ψz(βz)
∂ψz(βz)
∂pz
(7.24)
px, py et pz sont les projections du vecteur unitaire p sur les trois axes. βx, βy et βz sont les angles form´es entre la fibre et chacun des axes.ψx,ψy etψz sont les fonction de distribution des fibres selon ces axes.
Chaque distribution gaussienne ψ(β) se d´efinit par rapport `a deux param`etres : l’angle moyen µet la varianceσ2, qui sont recalcul´es dans le code `a chaque pas de temps et sur chaque cellule en fonction de l’orientation des fibres `a la fin du pas de temps pr´ec´edent advect´ee sur la mˆeme cellule. Trois couples de param`etres (µx, σx), (µy, σy) et (µz, σz) sont donc d´eduits et permettent de construire les fonctions de distribution selon chaque axe.
Chaque fonction de distribution doit alors ˆetre d´eriv´ee par rapport `a la projection du vecteur p sur l’intervalle [−π/2 +µ;π/2 +µ]. Le d´etail de ce calcul est donn´e en Annexe E. Le terme
Outils num´eriques pour la mod´elisation d’´ecoulements industriels d’interaction s’exprime finalement :
I =Dr
1
σ2x ×arccos(p√ x)−µx
1−p2x 1
σ2y ×arccos(p√ y)−µy
1−p2y 1
σz2 × arccos(p√ z)−µz
1−p2z
(7.25)
avec les angles arccos(px), arccos(py) et arccos(pz) appartenant respectivement aux intervalles [−π2 +µx; +π2 +µx], [−π2 +µy; +π2 +µy] et [−π2 +µz; +π2 +µz].
Il faut noter que le calcul de la d´eriv´ee de la fonction de probabilit´e de distribution est r´ealis´e en prenant l’hypoth`ese que l’angle moyen et la variance sont fixes sur un pas de temps. Seul l’angle β varie au cours de ce calcul.