6.4 Application ` a des ´ ecoulements industriels
6.4.1 Fibre plong´ ee dans un ´ ecoulement cisaillant
Comportement des fibres lors de l’´ecoulement
x y
ymin ymax
2 h
V
0Figure 6.4– Fibre soumise `a un ´ecoulement cisaillant entre deux plans parall`eles infinis.
tan(ϕ(t)) = rCϕ
r2cos2(θ(t)) + sin2(θ(t))12
λ→1−→ Cϕ
sin(θ(t)) (6.2b)
Dans cette expression,T est la p´eriode de rotation de la fibre (cf.expression (5.23) du chapitre 5). Le param`etreq d´epend de l’orientation initiale de la fibre, tel que tan(q) = 1/(rtan(θ0)).Cϕ est la constante orbitale (cf.section 5.6.3du chapitre 5).
La fibre tend `a s’aligner avec la direction de l’´ecoulement. Le temps n´ecessaire `a cet alignement est alors control´e par deux param`etres : le taux de cisaillement auquel elle est soumise et son orientation initiale.
L’´evolution de l’orientation d’une fibre dans le cas d’un fluide `a seuil suit celle d’un fluide New- tonien dont le taux de cisaillement impos´e est ´egal `a (τxy−τc)/µpau lieu deτxy/ηN, o`uηN est la viscosit´e Newtonienne. Dans la plupart des ´ecoulements industriels, des consid´erations g´eom´e- triques permettent de consid´erer un plan dominant le processus d’orientation. Seule l’´evolution de l’angleθ entre la fibre et l’axe de l’´ecoulement, d´ecrite par l’expression (6.2a), est n´ecessaire.
Cette ´evolution est trac´ee sur laFigure6.5pour des taux de cisaillement repr´esentatifs de ceux du g´enie civil.
Quelle que soit l’orientation initiale de la fibre et le taux de cisaillement (non nul) auquel elle est soumise, la fibre s’aligne avec la direction de l’´ecoulement. On peut cependant d´eduire des ex- pressions (6.2a) et (6.2b) que l’orientation parfaite est atteinte au bout d’un temps infini ([167]).
Par contre, une fibre est consid´er´ee orient´ee au sens du crit`ere θc = 20˚ (cf. chapitre 5) en un temps tr`es bref, inf´erieur `a 1s, quel que soit le seuil du mat´eriau (dans la gamme des seuils des mat´eriaux cimentaires fluides), comme il est montr´e sur laFigure 6.5. Ce temps correspond `a l’intersection des courbes avec la ligne en pointill´es trac´ee `a 20˚. Il d´epend du taux de cisaillement auquel le mat´eriau est soumis.
6.4.1.2 Ecoulement entre deux plans infinis parall`eles (cas d’un mur)
Consid´erons maintenant un fluide `a seuil (de contrainte seuilτc) s’´ecoulant dans un canal `a section rectangulaire de largeurH. Dans cette g´eom´etrie, la contrainte de cisaillement n’est pas constante dans la largeur du mat´eriau cisaill´e (cf. section 6.3). Elle est maximale `a la paroi `a
6.4 Application `a des ´ecoulements industriels Theta (degrés)
0 20 40 60 80 100 120
0,01 0,1 1 10 Temps (s) 100
seuil = 50 Pa seuil = 150 Pa seuil = 300 Pa Newtonien
Figure 6.5– Evolution de l’angleθen fonction du temps selon diff´erents seuils de fluide suspendant par rapport `a un fluide Newtonien. Le taux de cisaillement appliqu´e au fluide Newtonien est de ˙γ= 10s−1. Il correspond `a ˙γ50 = 9s−1, ˙γ150 = 7s−1, ˙γ300 = 4s−1. L’orientation initiale de la fibre est de 90 ˚. 0
˚correspond `a la direction de l’´ecoulement.
cause de la condition de non glissement, et d´ecroˆıt jusqu’`a devenir nulle au centre du canal. Il existe donc une hauteur critique yc o`u la contrainte seuil est atteinte. Une zone morte se cr´ee alors au centre, d’une largeur de deux fois la hauteur critique, et qui n’est soumise `a aucune d´eformation plastique. En g´en´eral, la description de ce probl`eme dans le plan (x, y) suffit `a la pr´ediction compl`ete de l’´ecoulement par des consid´erations de sym´etrie. La largeur de cette zone morte se d´eduit des ´equations d’´equilibre projet´ees sur l’axe de l’´ecoulement x :
∂τxy
∂y = ∂P
∂x (6.3)
Cette projection est int´egr´ee entre l’axe central (y= 0) et la hauteurydans le canal. La hauteur critiqueyc correspond `a la hauteur o`u la contrainte seuil τcest atteinte. Elle s’´ecrityc= ∂P /∂xτc . Les contraintes de cisaillement se concentrent dans la zone cisaill´ee. La vitesse du fluide de
x y
θ
p
2 H
yc
Figure 6.6– Fibre plong´ee dans un fluide `a seuil s’´ecoulant dans un canal.
Comportement des fibres lors de l’´ecoulement
viscosit´e plastiqueµp dans le canal est alors exprim´ee en fonction des zones.
dans la zone cisaill´ee, pour |y| ≥ |yc|: Vx(y) =
1 2µp
∂P
∂x
[(h/2−y)(h/2 +y−2yc)]
(6.4a) dans la zone morte, pour|y|<|yc|:
Vx(y) = 1
2µp
∂P
∂x
(h/2−yc)2
(6.4b) Cette expression indique que la zone morte centrale est transport´ee avec le fluide `a la vitesse du fluide cisaill´e `a l’interface entre les deux zones. Les fibres situ´ees `a l’int´erieur de cette zone ne sont soumises `a aucune d´eformation. Elles conservent donc leur orientation isotrope initiale.
L’´evolution de l’orientation d’une fibre d´epend alors de sa hauteur initiale dans le canal. Pour l’angle θ tel qu’il est repr´esent´e sur la Figure 6.6, le processus d’orientation est d´eduit de l’´equation (6.2) en r´eduisant la zone cisaill´ee `a y−yc pour un ´ecoulement dˆu `a un gradient de pression ∂P∂x :
y≥yc: tan(θ) = 1
∂P∂x
y−yc
µp t+ cot(θ0) (6.5a)
y < yc: θ=θ0 (6.5b)
Pour se donner une id´ee de l’orientation des fibres dans chacune des zones d’un canal ferm´e,
´
etudions les ordres de grandeur mis en jeu. On consid`ere le cas d’un mur typique de largeur 10cm. Le seuil du composite vers´e dans ce canal est ´egal `a 300Pa, de mani`ere `a obtenir une consistance de l’ordre de celle des b´etons fibr´es mis en œuvre dans l’industrie. L’´ecoulement du mat´eriau dans le canal est dˆu `a la gravit´e.
L’expression (6.5a) permet de tracer les lignes d’iso angles `a l’int´erieur du canal. Pour une orientation initiale θ0 et une orientation finale θ∗ fix´ees, les lignes d’iso angles sont d´eduites de l’expression de la vitesseVx(y) =x(y)/t:
x(y) = 1 2
1
tan(θ∗) − 1 tan(θ0)
(h/2−y)(h/2 +y−2yc)
y−yc (6.6)
La largeur de la zone morte au centre du canal (6.3) et l’´evolution de l’orientation (6.6) sont alors utilis´ees pour tracer l’orientation d’une fibre au sein du canal. L’orientation des fibres dans un fluide `a seuil (cf.Figure6.7) est compar´ee `a celle d’un fluide Newtonien (cf.Figure 6.8).
On remarque que l’orientation apparait plus rapidement dans le fluide `a seuil que dans le fluide Newtonien. En effet, la largeur sur laquelle le cisaillement est localis´e est r´eduite de la zone morte centrale. Le taux de cisaillement est alors plus ´elev´e, acc´el´erant le processus d’orientation.
6.4.1.3 Canal `a surface libre (cas d’une poutre)
Une approche simplifi´ee peut ˆetre appliqu´ee au cas plus complexe d’un canal `a surface libre (cf.Figure 6.9), de mani`ere `a d´eduire de ce qui pr´ec`ede le processus d’orientation des fibres.
La contrainte de cisaillement est maximale `a l’interface avec le moule, et d´ecroˆıt jusqu’`a ˆetre
6.4 Application `a des ´ecoulements industriels
-0,05 -0,03 -0,01 0,01 0,03 0,05
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Distance dans le canal (m)
Hauteur dans le canal (m)
theta = 1°
theta = 5°
theta = 20°
theta = 50°
theta = 89°
zone morte
Figure 6.7 – Lignes d’iso angles d’une fibre immerg´ee dans un fluide de seuil 300Pa s’´ecoulant entre deux plans parall`eles infinis distants de 10cm. L’orientation initiale de la fibre est deθ0= 180˚−20˚, et l’´epaisseur de la zone morte est ´egale `a 2,4cm.
-0,05 -0,03 -0,01 0,01 0,03 0,05
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Distance dans le canal (m)
Hauteur dans le canal (m)
theta = 1°
theta = 5°
theta = 20°
theta = 50°
theta = 89°
Figure 6.8– Lignes d’iso angles d’une fibre immerg´ee dans un fluide Newtonien s’´ecoulant entre deux plans parall`eles infinis distants de 10cm. L’orientation initiale de la fibre est de θ0 = 180˚−20˚, et l’´epaisseur de la zone morte est ´egale `a 2,4cm..
n´egligeable `a la surface libre. Il existe donc une hauteur critique yc `a laquelle la contrainte appliqu´ee au mat´eriau atteint la contrainte seuil τc. Au del`a de cette hauteur, une zone non cisaill´ee existe. L’´equation de mouvement de cet ´ecoulement est d´ecrit par Roussel [119] :
∂τxy
∂y = ∂P
∂x (6.7)
`
a partir de quoi la hauteur critique peut ˆetre d´eduite : yc(x) =h(x)− τc
|∂P/∂x| (6.8)
Le seuilτcse d´eduit de la diff´erence de hauteur de mat´eriau ∆h=h1−h2 `a l’arrˆet de l’´ecoule- ment, tel queτc=ρg∆ho`uρest la masse volumique du mat´eriau. La hauteur critique devient :
yc(x) =h(x)− ρg∆h
|∂P/∂x| (6.9)
o`uL est la longueur du canal.
L’´ecoulement dans le canal de la Figure6.9 pr´esente alors une zone morte au centre due plan de sym´etrie et une zone morte `a la surface du canal donn´ee par (6.9). Dans la zone cisaill´ee, l’´evolution de l’orientation des fibres est donn´ee par (6.2a) et (6.2b).
Comportement des fibres lors de l’´ecoulement
H1
H2 x
y
L
Figure 6.9 – Effet de la correction de la paroi sur le facteur d’orientation calcul´e selon la directionx.