Ecoulement industriel d’un b´´ eton de fibres
x
y
z p
θ ϕ
Figure 5.6– Syst`eme de coordonn´ees d’une fibre dans un ´ecoulement.
On trouve dans la litt´eratures d’autres formes du mˆeme facteur. Par exemple Dupont et Vande- walle [149] consid`erent l’angleβform´e par la fibre avec la directionxsur laFigure5.5. Le facteur d’orientation en condition isotrope s’exprime alors, dans le syst`eme d’axes donn´e en AnnexeC), comme la projection moyenne cosβ de la fibre sur la direction x, adimensionn´ee par la surface de la demi-sph`ere 2π (condition d’´equiprobabilit´e ψ(β, α) = 1/(2π) ∀β ∈[0;π/2],∀α∈[0; 2π]).
Ce facteur s’´ecrit alors [147],[149],[174] : αx = 1
2π Z π/2
0
Z 2π
0
cosβ×sinβdα×dβ = Z π/2
0
cosβsinβdβ (5.4)
Le facteur d’orientation isotrope en 3D est ´egal `a 1/2. Dupont et Vandewalle prennent alors en compte une anisotropie impos´ee par la pr´esence d’une paroi en modifiant les bornes de l’int´egrale, sans modifier la condition d’´equiprobabilit´e.
5.4.2 Approche exp´erimentale
Un facteur d’orientation est utilis´e pour mesurer exp´erimentalement l’orientation d’une po- pulation de fibres sur une tranche de structure d’´epaisseur ´egale `a une longueur de fibre, par rapport `a la direction normale `a la section. Ainsi sur la Figure 5.7, le facteur d’orientation αx est repr´esentatif de l’´etat d’orientation des fibres contenues dans la tranche selon l’axe x.
Ce facteur est calcul´e comme le nombre de fibres traversant la section S (en gris fonc´e sur la Figure 5.7), adimensionn´e par le nombre total de fibres comprises dans la tranche de part et d’autre de la section, d’une ´epaisseur ´egale `a une longueur de fibre. Le facteur d’orientationαx s’´ecrit :
αx = Nexpe
Ntheo (5.5)
o`uNexpe est le nombre de fibres compt´ees sur la section S, etNtheole nombre de fibres comprises dans la tranche du canal.
On v´erifie qu’un facteur d’orientation ´egal `a 1 repr´esente l’alignement de toutes les fibres, alors
5.4 Facteur d’orientation
x z
y
f θ l
S
ϕ
Figure 5.7– Orientation moyenne dans un tron¸con d’une structure repr´esent´e par le facteur d’orientation (5.5).
qu’un facteur de 0 implique une orientation de toutes les fibres orthogonale `a la direction ´etudi´ee.
Plus ce facteur est faible et moins l’alignement est marqu´e dans la direction ´etudi´ee.
On consid`ere une fibre fi de longueurlf comprise dans le tron¸con de structure d’´epaisseurlf en gris clair sur la Figure 5.7. La fibre est d´efinie par les anglesθi et φi. La projection de cette fibre sur l’axe orthogonal `a la structure s’´ecrit l∗fsinφicosθi o`u lf∗ est la longueur de la fibre dans le volume consid´er´e. Alors, la probabilit´e Pi pour que cette fibre coupe la section S de ce volume est ´egale `a
Pi = longueur projet´ee
longueur du tron¸con = l∗fsinϕicosθi
lf
(5.6) La probabilit´e moyenne que chaque fibre appartenant au tron¸con coupe la section centrale s’´ecrit alors [175] :
< P >=< l∗f lf
sinϕcosθ >= < lf∗ >
lf
<sinϕcosθ > (5.7) o`u la moyenne < . > en 3 dimensions s’´ecrit Rπ/2
0
R2π
0 ψ(θ, ϕ) sinϕdϕdθ, avec ψ la densit´e de probabilit´e d’orientation des fibres. Dans l’hypoth`ese d’une distribution homog`ene des fibres, le nombre de fibres contenues dans ce tron¸con est ´egal `aNtotal= AAblfφf
f<lf∗>, o`u< lf∗ >est la longueur moyenne des fibres dans le tron¸con. Le nombre de fibres compt´ees sur la section droite est alors
< P > Ntotal [175], tel que :
Nexpe = < P > Ntotal
= Ablfφf Af < l∗f >
< l∗f >
lf <sinϕcosθ >
= Abφf
Af <sinϕcosθ > (5.8)
Ce nombre s’´ecrit, en faisant la moyenne sur la sph`ere unit´e [175] : Nexpe= Abφf
Af
Z π/2
0
Z 2π
0
ψ(θ, ϕ) sin2ϕcosθdϕdθ (5.9) On reconnait dans (5.9) le facteur d’orientation donn´e dans (5.2). L’´equation (5.9) cor- respond `a une expression du facteur d’orientation couramment utilis´ee dans la litt´era- ture pour mesurer l’orientation d’une population de fibres dans des structures r´eelles
Ecoulement industriel d’un b´´ eton de fibres
[104],[142],[144],[145],[151],[152],[13] :
αx= Nexpe Ntheo
=Nexpe Af Abφf
(5.10) En effet, l’expression Abφf repr´esente la surface sur la section qui devrait proportionnellement ˆ
etre couverte par les fibres si elles ´etaient toutes align´ees avec la direction ´etudi´ee. AAbφf
f est donc le nombre de fibres correspondant, Ntheo= AAbφf
f .
Le facteur d’orientation isotrope en 2 dimensions (en consid´erant un angle θ nul) se retrouve alors `a partir de ce raisonnement. En effet, la probabilit´e pour que la fibre coupe la section
´
etudi´ee, par projection sur l’axex, devient en 2 dimensions l∗fsinϕ/lf. La projection moyenne s’´ecrit alors :
< P >= < l∗f >
lf <sinϕ > (5.11)
o`u la moyenne < . > en 2 dimensions s’´ecrit Rπ
0 ψ(ϕ)dϕ avec ψ est la fonction de densit´e de probabilit´e d’orientation des fibres. Le nombre de fibres coupant r´eellement la section est alors, de mˆeme que dans le cas 3D,Nexpe =Ntotal < P >, tel que :
Nexpe= Abφf Af
Z π 0
ψ(ϕ) sinϕdϕ (5.12)
Le facteur d’orientation αx se d´eduit de (5.12) : αx=
Z π 0
ψ(ϕ) sinϕdϕ (5.13)
avec la condition d’´equiprobabilit´e en 2 dimensions :ψ(ϕ) = π1. On retrouve alors l’expression donn´ee par [174],[147],[150],[64] :
αx = Z π
0
sinϕ
π dϕ= 2
π (5.14)
Par contre, la pr´esence d’une paroi r´eduisant les degr´es de libert´e des fibres, ou un ´ecoulement les orientant entraine la prise en compte dans l’expression (5.9) d’une fonction de densit´e de probabilit´e non uniforme.
5.4.3 Approche discr`ete
Par opposition `a l’approche continue d´evelopp´ee dans la section 5.4.1, et dans l’esprit de l’approche exp´erimentale pr´ec´edemment expos´ee, l’´etat macroscopique d’orientation dans une structure r´eelle combine les contributions de chacune des fibres r´eellement ajout´ees au mat´eriau.
Une approche discr`ete du facteur d’orientation le long de la direction x est alors d´eriv´ee de l’expression (5.2) [176] :
αx = 1 N
N
X
i=1
p(i)x = 1 N
N
X
i=1
cosθisinϕi (5.15)
o`u N est le nombre de fibres consid´er´ees. En reprenant l’angle βi form´e par la i`eme fibre avec la direction x, le facteur d’orientation discret s’´ecrit :
αx= 1 N
N
X
i=1
cosβi (5.16)