Classiquement, une loi de diffusion exprime un flux comme le produit d'une grandeur caractéristique du matériau par le gradient d'une grandeur intensive.
Remarque :
Les différentes grandeurs considérées sont définies par une moyenne sur le Volume Elémentaire Représentatif (VER) pour autant que l'on puisse le définir pour le matériau considéré, dans lequel les opérateurs de dérivation aient bien un sens. Pour que ces gradients gardent leur sens à l'échelle microscopique, il est nécessaire de supposer qu'ils sont continus dans le VER. On fait donc généralement l'hypothèse suivante qui consiste à supposer que les deux phases liquide et gazeuse sont connexes. Pour la phase gazeuse, on suppose qu'un pore de rayon r est relié à la surface séchante par au moins un chemin empruntant des pores de rayons tous > r ; pour la phase liquide on considère que deux pores de même rayon r sont reliés par au moins un chemin empruntant uniquement des pores de rayons > r.
a) diffusion de la vapeur
La positivité de la dissipation associée au transport de la phase gazeuse7 s'écrit de la manière suivante (Coussy, 1994, Chapitre 10 § 4.9) :
< &3= - — - gr a d( Pv) r VP ) VP 7 H est alors possible de différencier deux phénomènes :
grad(pa)>0 (ffl-20)
1. Un phénomène de type permeation (Darcy), lié à des gradients de pression totale pt o t = pv + pa . Nous avons fait l'hypothèse que la phase gazeuse était connexe depuis l'extérieure, la pression pt o t est donc quasiment constante dans le matériau. Nous négligerons donc la loi de comportement correspondante.
7 Les lois de comportement doivent assurer îa positivité de îa dissipation qui découle do deuxième principe de la thermodynamique. On a ainsi :
de i dm! . dT d f w, ,. ¡. q Arrs^n
a : — + e' S — '- • grad(p ) - — • grad(T) > 0 dt m dt dt dt p" ë F T 5
avec : Xj/(E, T, m1 ) : l'énergie libre du matériau ; rrij : l'apport de masse fuide du composant i ; S : l'entropie du matériau ;
q : le flux de chaleur sortant.
Le choix des arguments de y conduit alors à : d y j _ d y d y
d£ dm dT
J73
2. Un phénomène de type diffusion (Fick), lié aux gradients de concentration. Pour la vapeur d'eau, nous pouvons ainsi écrire, en supposant l'isotropie du tenseur de diffusion :
Í v \
= -kv(h)l-grad(pv) (111-21)
en faisant apparaître la pression de vapeur saturante, il vient :
wv =-dvl-grad(h) = ~(kvpvpvs(T))l.grad(h) (111-22) d est le coefficient de diffusion de la vapeur (kg . m2, s"1) à l'échelle du VER.
b) diffusion de l'eau liquide
La positivité de la dissipation associée au transport de l'eau liquide, s'écrit de la manière suivante (Coussy, 1994, Chapitre 10 § 4.9) :
<E»3=- — -gradíp'^O (111-23)
W)
La loi de Darcy conduit à exprimer w1 de la manière suivante :
w' = ~(k' (h)p' )1 • grad(p' ) (ffl-24) on utilise alors la loi de Kelvin dont on rappelle (Coussy, Î994) qu'elle est obtenue en décrivant
la coexistence des deux phases liquide et gazeuse par l'écriture de l'égalité des enthalpies libres massiques : g!m(p'>T) = gL(Pv>T) soit:
P
1- P«
=TF" ' 4 ^ 1
avecPÔ = P.*
etPo = ? "
soit :*7 =
h<
m-
2 5>
M ypoj Po Il vient alors :
k'r>'2RT
w' = -d11 • grad(h) = - F 1- grad(h) (ffl-26)
Mvh -
1 2 1
d : coefficient de diffusion de l'eau liquide en (kg.m .s ) à l'échelle du VER.
c) Isotherme de désorption, postulat de l'état local En combinant les deux résultats précédents, il vient :
• >
Les méthodes expérimentales classiques dans les problèmes de séchage8 donnent principalement
w" = w1 + wv = -(d! + dv )1 • grad(h) = JkV )2R T + fcVpV . g r a d ( h ) ( m_2 ? )
\ M h
Gammadensimétrie et perte en poids.
174
accès à la concentration en eau C et très rarement à l'humidité relative9 h. n est donc préférable d'exprimer w« en fonction de (ß en utilisant classiquement l'isotherme de désorption du béton, qui relie C et h :
C\ = g(heu) ou h . - g "1« ^ )
dh / / ( m"2 8>
«q
Le postulat de l'état local stipule que l'état actuel d'un système homogène en évolution quelconque peut être caractérisé par les mêmes variables qu'à l'équilibre et qu'il est indépendant des vitesses d'évolution.
En d'autres termes, (^(x^t) et h sont bien reliés par la même relation qu'à l'équilibre. L'équation (ÜI-27) devient donc :
wa=-D(CE)-grad(Cfl)
(m-29) D(Cfl) =
(ii$?>H' (8 "' )V)
L'équation (HÍ-29) met en évidence le caractère non linéaire de la diffusion de l'humidité dans le béton. En reportant w dans l'équation (HI-19) on obtient l'équation classique de diffusion :
~~=div[D(Cfl ) • grad(Cfl )] (m-30)
d) Prise en compte de la température
Dans le cas industriel que nous cherchons à traiter, la température n'est pas uniforme dans le mur de l'enceinte, il est donc nécessaire de prendre en compte un coefficient de diffusion de l'humidité qui soit fonction de la température. Pour cela, le plus simple est de supposer que les coefficients k1 et kv suivent chacun une loi d'Arrhénius, avec une énergie d'activation QÍ (s comme séchage) :
En reportant cette équation dans (111-29) on obtient une idée de la façon dont le coefficient D(Cfl) est fonction de la température. En pratique, dans la littérature, les auteurs les plus connus (Bazant, 1972a) proposent de ne prendre qu'une seule énergie d'activation et de garder le facteur T/TQ qui vient de la phase liquide :
9 La mesure de l'humidité en tant que telle n'est guère possible, il est préférable de revenir à quelque chose de plus physique comme un apport de masse fluide.
175
avec une valeur de — = 4700 K R
Remarque
D(Cfl,T) = D(Cn,T0) —exp| ( Q ( i i Yl
R
J_
(111-32)De la façon dont les choses ont été présentées, il semblerait que l'on n'a pas utilisé le fait que le séchage est un phénomène couplé avec la mécanique10 (i.e. qu'il est la cause d'un retrait de dessiccation). En réalité, nous avons fait l'hypothèse d'un découplage (Lassabatère, 1994) lorsque nous avons utilisé la courbe de sorption / désorption. En fait, lors de la mesure de la perte en poids à l'équilibre en fonction de h, le corps d'épreuve réalise un retrait. Au niveau microscopique, tout se passe donc comme si le retrait modifiant la porosité allait interagir sur l'hygrométrie relative à l'intérieur de l'échantillon puisque si <|)v diminue, pv et donc h augmentent.
Ce retrait de dessiccation étant très faible, il est habituel de le négliger dans les calculs de la teneur en eau. Par contre le couplage existe bel et bien et sur le retrait lui même pour lequel le couplage de la teneur en eau qui subit de grandes variations n'est plus négligeable ! Dit naïvement, le couplage n'est effectif que dans un seul sens.