задача 1. Обчисліть значення виразу
9. Значення яких тригонометричних функцій змінюються на проти- лежні при зміні знака кута на протилежний
Цікаво, що з латинської мови термін «tаngens» перекладається як «дотич- на», що зумовлено тим фактом, що значення тангенса кута, утвореного рухо- вим радіусом з додатною піввіссю Ох, дорівнює ординаті відповідної точки дотичної до одиничного кола в точці (1; 0).
1) синус яких дорівнює: а) 1
2; б) 0; в) −2
3; г) –1;
2) косинус яких дорівнює: а) –1; б) 1
4; в) 0; г) −1 2. 129'. Чи можливі рівності:
1) α =1
sin ;
4 4) cosx=2,1; 7) sinx=0;
2) = −13
sin ;
x 12 5) 1 =25
sinx 18; 8) cos x = –1;
3) cosx= −0,7; 6) 1 = −
cosx 0,7; 9) sin x cos x = 1,8?
Відповіді обґрунтуйте.
130°. Визначте знак добутку:
1) sin100° · sin132°; 6) cos(–120°) · sin(–120°);
2) cos210° · sin115°; 7) tg(–320°) · cos150°; 3) ctg300° · sin220°; 8) sin430° · tg(–210°);
4) cos135° · tg135°; 9) tg100° · ctg(–100°).
5) sin(–36°) · cos36°;
131°. Замініть вираз тотожно рівним йому, змінивши знак кута на проти- лежний:
1) cos(–18°);
2) sin(–100°);
3) tg(–30°);
4) ctg(–230°);
5) sin(a – 30°);
6) cos(180° – a);
7) tg(a – 140°);
8) cos(a – β).
132°. У яких чвертях координатної площини мають однакові знаки: 1) синус і косинус кута; 2) синус і тангенс кута; 3) косинус і тангенс кута?
133°. Накресліть одиничне коло, обравши його радіусом відрізок, що ста- новить 3 клітинки зошита. Позначте на цьому колі точку, абсциса якої дорівнює −2
3. Скільки таких точок можна знайти? Зобразіть на малюнку й позначте в межах першого оберту додатні та від’ємні кути (тобто кути a, що задовольняють умову –360° ≤ a ≤ 360°), кінцеві сторони яких проходять через знайдені точки. Значення якої тригонометричної функції цих кутів дано в умові? Запишіть це у вигляді відповідних рівностей.
134°. На одиничному колі знайдіть точку, ордината якої дорівнює 2 3. Скільки таких точок можна знайти? Зобразіть на малюнку й по- значте додатні кути в межах першого оберту, кінцева сторона яких проходить через побудовані точки. Значення якої тригонометрич- ної функції цих кутів дано в умові? Запишіть це у вигляді відповід- них рівностей.
135°. Накресліть одиничне коло, обравши його радіусом відрізок, що ста- новить 5 клітинок зошита. Побудуйте й позначте гострий кут a, синус якого дорівнює 4
5. Зобразіть на малюнку ще один додатний кут β < 360°, що задовольняє цю умову. Виразіть β через a.
136°. Накресліть одиничне коло й лінію тангенсів. Побудуйте й позначте два від’ємних кути, тангенс яких дорівнює:
1) 3; 2) –2; 3) 1
2; 4) 0.
137. Кутом якої чверті є кут a, якщо:
1) sina > 0, а cosa < 0; 3) tga < 0, а cosa > 0;
2) sina < 0, а cosa > 0; 4) sina < 0, а tga < 0?
138. Запишіть градусні міри хоча б двох від’ємних кутів, для яких:
1) синус додатний; 3) тангенс додатний;
2) косинус від’ємний; 4) синус від’ємний.
139. Визначте знак виразу:
1) sin120° + cos40°;
2) cos205° + tg170°; 3) ctg315° + tg145°; 4) cos306° + sin103°;
5) sin40° – sin200°;
6) cos114° – tg250°; 7) ctg140° – sin110°; 8) sin220° + tg320°.
140. Накресліть одиничне коло та кут a, як зображено на малюнку 57. Користую- чись малюнком, знайдіть cosa. Зобразіть і позначте на малюнку ще один додатний кут β в межах першого оберту, такий, що cosβ = cosa. Виразіть кут β через кут a.
Позначте два від’ємні кути, що мають такі самі значення косинуса.
141. Накресліть одиничне коло, обрав ши його радіусом відрізок, що становить 4 клі- тинки зошита. Побудуйте й позначте довільний додатний гострий кут a. Зна-
йдіть наближене значення синуса цього кута. Накресліть і позна- чте на малюнку ще один додатний кут β іншої чверті, який має та- кий самий синус. Виразіть через a і β формулами всі кути, синус яких такий самий.
142. Користуючись лінією тангенсів, побудуйте кут, тангенс якого до- рівнює 2,5. Скільки додатних кутів, що задовольняють цю умову, можна побудувати в межах першого оберту? Зобразіть їх на малюн- ку. Виразіть більший з них через менший.
143. Користуючись лінією котангенсів, побудуйте кут, котангенс якого дорівнює –1. Скільки ще додатних кутів, що не перевищують 360°
і задовольняють цю умову, можна побудувати? Зобразіть їх на ма- люнку. Виразіть один з них через інший.
y
Oα 1 x
Мал. 57
Проявіть компетентність
144. Побудуйте й позначте в межах першого оберту додатний кут a, що задовольняє умову: 1) sina = –0,4, ctga > 0; 2) α = −2 α <
cos , tg 0;
3 3) tga = –1,5, sina < 0; 4) ctga = 2, cosa < 0.
145. Знайдіть найбільше та найменше значення функції:
1) y = 3 + 4sinx; 2) y = 2 – 5cosx; 3) y = 5 – sin2x; 4) y = 2cos2x – 1.
146*. Дано функції:
1) y = 3 – 8sinx; 3) y = cosx – 4; 5) y = tg2x + 1;
2) y = 7cos2x + 1; 4) y = tgx – 2; 6) y = 5 – ctg2x.
Для яких з них можна вказати:
а) найбільше та найменше значення; б) лише найбільше значення;
в) лише найменше значення? Знайдіть і запишіть ці значення.
147. Дано гострий кут a. Побудуйте кут x такий, що =1 α cos sin .
x 4
Радіанна міра кута
§ 7
Відомою вам одиницею вимірювання кутів є градус — кут, що дорів- нює 1
180розгорнутого кута. Отже, градусна міра прямого кута дорівнює 90°, повного — 360°.
Крім градуса, існують інші одиниці вимірювання кутів. У математиці та інших науках широко вико- ристовується така одиниця вимірювання кутів, як радіан. Перед уведенням цього поняття пригадає- мо, що градусна міра дуги кола дорівнює градусній мірі відповідного їй центрального кута. Тобто якщо ÐCOD = m°, то і градусна міра дуги CD також дорів- нює m° (мал. 58).
Якщо центральний кут є повним, то йому відпо- відає дуга всього кола з градусною мірою 360°. Отже, центральному куту мірою 1° відповідає дуга,
O C
D m
Мал. 58
що дорівнює 1
360 кола. І навпаки, дузі, довжина якої дорівнює 1 360 до- вжини кола, відповідає центральний кут мірою 1°. Тому градус як одини- цю вимірювання кутів можна було б означити і як центральний кут, що відповідає дузі кола, довжина якої дорівнює 1
360 довжини кола.
Аналогічно введено одиницю вимірювання кутів — радіан.
Радіан — це центральний кут, що відповідає дузі кола, довжина якої дорівнює довжині радіуса цього кола (мал. 59).
Радіанна і градусна міри кута пов’язані між собою певною залежністю. Установимо її.
За означенням, радіана міра дуги кола до- вжиною R дорівнює 1 радіану. Отже, усе коло містить 2π = π
R 2
R радіанів (скорочено — рад).
Оскільки все коло містить 360°, то 360° =
= 2p рад. Звідси випливає:
π π
° = 2 =
1 360 180 (рад). 1 рад = °= °
π π
360 180 2 .
Отже,
180
° = mπ
m рад, 180
рад α ⋅ °.
α =
π
Установлені співвідношення дають змогу переходити від градусної міри кута до радіанної і навпаки.
Передусім зазначимо, що 1 рад = °= ° ≈ ° ′ π
180 180
57 18 . 3,141592...
У багатьох випадках у записі радіанної міри обмежуються буквеним позначенням p, не доводячи результат до числового значення.
Наприклад, пишуть α =π
8 рад замість α =3,141592...
8 рад » 0,39 рад.
Розглянемо приклади.
задача 1. Визначте радіанну міру кута 27°.
розв’язання. За формулою
180
m° =mπ рад маємо: 27 27 3 180 20
° = π= π (рад).
задача 2. Визначте градусну міру кута 5π 18 рад.
розв’язання. Використаємо формулу a рад =α ⋅ ° π
180 . Маємо:
O R 1 радіан
l =R A
B
Мал. 59
5π
18 рад =
π⋅ °
= °
π 5 180
18 50 .