ГЕОМЕТРІЯ
3. ПІрАМІДА
Піраміда — многогранник, поверхня якого складається з многокут- ника, він називається основою піраміди, і трикутників зі спільною вер- шиною, вони називаються бічними гранями піраміди. Спільна вершина бічних граней називається вершиною піраміди.
Залежно від того, який многокутник є основою, піраміду називають трикутною, чотирикутною чи n-кутною. Висотою піраміди називають перпендикуляр, проведений з вершини піраміди до її основи.
Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається із центром цього многокутника.
У правильній піраміді бічні ребра рівні.
На малюнку 97 ви бачите побудовану за клітинками правильну три- кутну піраміду SАВС з вершиною S й основою АВС, а на малюнку 98 — правильну чотирикутну піраміду SАВСD з вершиною S й основою АВСD.
109 110
111
112
113
114 115 116
117 118 119
A B
C D
S
α
β
A D
α β
A γ
α
β
D δ
α
1
A B
C D
A B
C D
1
1 1
A B
D C
A B
D C
1
1 1
1
B
C
A
D S
O B
C
A O S
A B
D C
A B
D C
1
1 1
1
B C C1
A D
A B
D
1 1
1
109 110
111
112
113
114 115 116
117 118 119
A B
C D
S
α
β
A D
α β
A γ
α
β
D δ
α
1
A B
C D
A B
C D
1
1 1
A B
D C
A B
D C
1
1 1
1
B
C
A
D S
O C B
A O S
A B
D C
A B
D C
1
1 1
1
B C C1
A D
A B
D
1 1
1
109 110
111
112
113
114 115 116
117 118 119
A B
C D
S
α
β
A D
α β
A γ
α
β
D δ
α
1
A B
D C
A B
D C
1
1 1
A B
D C
A B
D C
1
1 1
1
B
C
A
D S
O B
C
A O S
A B
C D
A B
C D
1
1 1
1
B C C1
A D
A B
D
1 1
1
Мал. 96
Мал. 97 Мал. 98
166
У побудові правильної піраміди за клітинками використовуємо такі її властивості:
1) основа піраміди — це правильний многокутник;
2) центром основи піраміди є:
точка перетину медіан основи, якщо піраміда трикутна;
точка перетину діагоналей основи, якщо піраміда чотирикутна;
точка перетину серединних перпендикулярів до сторін основи, якщо піраміда n-кутна, де n > 4;
3) основа висоти піраміди збігається із центром її основи.
Зверніть увагу:
прямокутний паралелепіпед, куб і піраміду будемо використовувати для ілюстрування властивостей взаємного розміщення точок, пря- мих і площин.
4. осНоВНІ фІгУри У ПросТорІ
Основними фігурами у просторі є точка, пряма і площина, а основни- ми відношеннями, як і на площині, — відношення «належати» й «лежати між». Площину зображають здебільшого у вигляді паралелограма (мал. 99).
Як і в планіметрії, точки позначають великими латинськими бук- вами А, В, С,… , прямі — малими ла-
тинськими буквами а, b, c,… . Площи- ни позначають малими грецькими буквами a (альфа), β (бета), g (гама)… . Подивіться на малюнок 100. Ви бачи- те, що кожна грань многогранника ле- жить у певній площині. Різні його грані лежать у різних площинах. Будь-які дві сусідні грані мають спільний відрізок — ребро. Воно лежить на прямій перетину двох площин, що містять ці грані. У кож- ній вершині многогранника сходяться принаймні три попарно сусідні його гра- ні. У прямокутному паралелепіпеді й кубі в кожній вершині сходяться рівно по три грані. Кожна їх вершина є точкою пере- тину трьох площин, що містять ці грані.
Вершина піраміди може бути точкою пе- ретину більш ніж трьох площин, що міс- тять грані піраміди (див. мал. 97, 98).
У вершинах основи піраміди сходять- ся по три грані — дві сусідні бічні грані й основа.
109 110
111
112
113
114 115 116
117 118 119
A B
C D
S
α
β
A D
α β
A γ
α
β
D δ
α
1
A B
C D
A B
C D
1
1 1
A B
D C
A B
D C
1
1 1
1
B
C
A
D S
O B
C
A O S
A B
D C
A1 B1
B C
A D
A1 B1
109 110
111
112
113
114 115 116
117 118 119
A B
C D
S
α
β
A D
α β
A γ
α
β
D δ
α
1
A B
C D
A B
C D
1
1 1
A B
D C
A B
D C
1
1 1
1
B
C
A
D S
O B
C
A O S
A B
D C
A B
C D
1
1 1
1
B C C1
A D
A B
D
1 1
1
Мал. 99
Мал. 100
1. Предмети, що нас оточують, мають різні властивості: матеріал, з якого їх зро- блено, масу, розміри, форму. У геометрії беруть до уваги лише форму предметів, їх розміри та взаємне розміщення. Решту властивостей досліджують у фізиці, хімії та інших науках. Узагалі, у природі не існує геометричних фігур — вони створюються уявою людини. На папері ж одержуємо зображення геометричної фігури.
Залежно від геометричного завдання, що розв’язують, один і той самий предмет розглядають як точку або лінію, поверхню або тіло. Наприклад, для водія, який перевозить труби на будівництво газопроводу, вони є тілами (за- ймають певне місце в кузові автомобіля). Для робітника, який виконує ізоля- цію, ці самі труби виступають у ролі поверхонь (для нього має значення не товщина стінок труб, а площа поверхні). Проектувальник, прокладаючи трасу, розглядає газопровід як лінію (для нього має значення протяжність труб).
2. Термін «стереометрія» походить від грецьких слів στερεοξ — просторовий і µετρεο — вимірювати. Його авто- ром вважають давньогрецького вченого Платона (427–
347 рр. до н. е.) — засновника філософської школи в Афінах, яка називалася Акаде мією. Головною заслугою Платона в історії математики вважають те, що він вперше висунув і всі- ляко обстоював ідею про необхідність знання математики кожною освіченою людиною. На дверях його Академії був напис: «Нехай не входить сюди той, хто не знає геометрії».
3. Термін «паралелепіпед» походить від грецьких слів παραλλοξ— паралельний і επιπεδον— площина. Термін
«куб» (грец. χσβοξ) також античного походження. Таку назву мала гральна кістка з вирізаними на ній вічками. Її виготовляли з баранячого суглоба, який міг падати на чотири грані, а після обточування — на шість граней. Назву «пі- раміда» вважають чи не єдиним терміном, який дійшов до нас від стародавніх єгиптян. Вона означає «пам’ятник», тобто обеліск, установлений славетній людині — фараонові.
1. Що вивчають у стереометрії?
2. Які фігури вважають просторовими? Наведіть приклад.
3. Поясніть, що таке прямокутний паралелепіпед. Які його властивості?
4. Що таке куб та які його властивості?
5. Який многогранник називається пірамідою?
6. Що є основою піраміди; її гранями; ребрами; вершинами?
7. Чому піраміду називають трикутною; чотирикутною; n-кутною?
8. Що таке висота піраміди?
9. Яку піраміду вважають правильною та які її властивості?
10. Назвіть основні геометричні фігури у просторі. Як їх позначають?
Дізнайтеся більше
Пригадайте головне
168
Розв’яжіть задачі
498'. Який з многогранників на малюнках 101 – 103 є прямокутним пара- лелепіпедом? Скільки в нього вершин, ребер, граней? Який много- кутник є його основою? Які многокутники є його бічними гранями?
499'. Який з многогранників на малюнках 101 – 103 є кубом? Скільки в нього вершин, ребер, граней? Який многокутник є його основою?
Які многокутники є його бічними гранями?
500'. Який з многогранників на малюнках 101 – 103 є пірамідою? Скіль- ки в неї вершин, ребер, граней? Який многокутник є його основою?
Які многокутники є її бічними гранями?
501'. Який многокутник є основою правильної піраміди? Яка власти- вість її бічних ребер? Де розміщується основа її висоти?
502'. Які з наведених фігур є основними в стереометрії:
1) точка;
2) відрізок;
3) промінь;
4) пряма;
5) кут;
6) трикутник;
7) коло;
8) ромб;
9) куб;
10) куля;
11) площина;
12) призма?
503°. Накресліть за клітинками прямокутний паралелепіпед KLMNK1L1M1N1. Назвіть:
1) протилежні грані; 2) протилежні ребра граней; 3) бічні ребра.
Які їх властивості?
504°. Накресліть за клітинками куб KLMNK1L1M1N1. Назвіть:
1) протилежні грані;
2) протилежні ребра граней;
3) бічні ребра. Які їх властивості?
505°. Накресліть за клітинками піраміду SKLMN. Назвіть:
1) протилежні грані;
2) протилежні ребра граней;
3) бічні ребра.
Які їх властивості?
109 110
111
112
113
114 115 116
117 118 119
A B
C D
S
α
β
A D
α β
A γ
α
β
D δ
α
1
A B
C D
A B
C D
1
1 1
A B
D C
A B
D C
1
1 1
1
B
C
A
D S
O B
C
A O S
A B
D C
A1 B1
B C
A D
A1 B1
109 110
111
112
113
114 115 116
117 118 119
A B
C D
S
α
β
A D
α β
A γ
α
β
D δ
α
1
A B
C D
A B
C D
1
1 1
A B
D C
A B
D C
1
1 1
1
B
C
A
D S
O B
C
A O S
A B
D C
A1 B1
B C
A D
A1 B1
109 110
111
112
113
114 115 116
117 118 119
A B
C D
S
α
β
A D
α β
A γ
α
β
D δ
α
1
A B
D C
A B
D C
1
1 1
A B
D C
A B
D C
1
1 1
1
B
C
A
D S
O B
C
A O S
A B
D C
A1 B1
B C
A D
A1 B1
Мал. 101 Мал. 102 Мал. 103
Проявіть компетентність
506°. Чи можна вважати правильною піраміду, в якої основа:
1) рівнобедрений трикутник, а бічні ребра однакової довжини;
2) правильний трикутник;
3) правильний трикутник, а бічні ребра різної довжини;
4) рівносторонній трикутник, а бічні ребра дорівнюють стороні основи?
Відповідь поясніть.
507°. За малюнками 101 – 103 поясніть для даного многогранника:
1) у якій площині лежить певна його грань;
2) у яких площинах лежать сусідні грані;
3) по якій прямій перетинаються сусідні грані;
4) які грані мають спільне ребро: а) AB; б) CD; в) BD;
5) які грані сходяться у вершині: а) А; б) В; в) С.
508. Яку найменшу кількість граней, ребер, вершин може мати піраміда?
509. Дано n-кутну піраміду. Виведіть формулу для обчислення кількос- ті її: 1) вершин; 2) ребер; 3) граней.
510. У кубі АВСDА1В1С1D1 задано точку: 1) P на ребрі АА1; 2) Q на ребрі АD. Площини яких граней перетинає пряма, що лежить у площи- ні грані куба і проходить через дану точку та одну з вершин куба?
Скільки таких прямих можна провести?
511. У піраміді SАВСD задано точку: 1) M на ребрі SА; 2) N на ребрі ВС.
Площини яких граней піраміди перетинає пряма, що лежить у пло- щині грані піраміди і проходить через дану точку та одну з вершин піраміди? Скільки таких прямих можна провести?
512*. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Назвіть площини, кожна з яких прохо- дить принаймні через три вершини куба.
513*. На трьох бічних ребрах прямокутного паралелепіпеда розміщено по дві точки. Скільки можна провести площин, кожна з яких про- ходитиме принаймні через три з даних точок?
514*. На трьох бічних ребрах чотирикутної піраміди розміщено по три точки. Скільки можна провести площин, кожна з яких проходити- ме принаймні через три з даних точок?
515. З дерев’яного кубика треба виточити правильну піраміду: 1) чо- тирикутну; 2) трикутну. Поясніть, як це можна зробити.
516. Як скласти із шести олівців однакової довжини чотири рівно- сторонні трикутники зі стороною, що дорівнює довжині олівця?
517. Вам потрібно знайти відстань між найбільш віддаленими вер- шинами предмета, що має форму прямокутного паралелепіпе- да, наприклад, цеглини. Запропонуйте спосіб вимірювання лі- нійкою цієї відстані, не виконуючи ніяких обчислень.
Аксіоми стереометрії
§ 28
1. АКсІоМи сТереоМеТрІї
Ви вже знаєте, що властивості основних геометричних фігур, які при- ймають без доведення, називаються аксіомами.
Вивчені в планіметрії аксіоми виконуються в кожній площині простору.
Введення у просторі нової геометричної фігури — площини — потре- бує розширення системи аксіом планіметрії. Нові аксіоми коротко нази- ватимемо аксіомами стереометрії. Вони характеризують взаємне розмі- щення точок, прямих і площин. Сформулюємо їх.
(стереометрія).
1. Існують точки, що лежать у даній площині, і точки, що не