задача 3. Визначте градусну міру кута 2,5 рад
5. Які точки одиничного кола зображають числа, тангенс яких не існує?
Основоположником аналітичної теорії тригонометричних функцій вважа- ється видатний німецький математик Леонард Ейлер (1707–1783). Тригоно- метричні функції знаходять широке застосування у фізиці, техніці, особливо при вивченні коливальних рухів і періодичних процесів.
1. Як зобразити на одиничному колі дане число? Проілюструйте на прикладі.
2. Як знайти найменше додатне число, що зображає дана на одинич-
значення одного з них. Запишіть вираз, який задає множину таких чисел у загальному вигляді.
175. Виконайте завдання, аналогічне до попереднього, ще для кількох точок одиничного кола.
176. Запишіть вирази, що задають множину чисел, які зображаються точками перетину одиничного кола з бісектрисою:
1) першого і третього координатних кутів;
2) другого і четвертого координатних кутів.
Знайдіть по два додатні й по два від’ємні числа, що зображаються кожною із зазначених точок.
177. Який знак має вираз:
1) sin1; 3) sin(–3); 5) cos2; 7) 5π cos ;
3 9) tg3; 11) tg(–4);
2) sin2; 4) sin4; 6) cos(–5); 8) cos4,3p; 10) 10π 3 ;
tg 12) tg(–2)?
178. Використовуючи одиничне коло, знайдіть наближене значення:
1) 3π sin ;
4 3) sin−π;
3 5) 7π ctg ;
6 7) cos(–1,5); 9) sin10;
2) 3π cos ;
4 4) 5π tg ;
3 6) sin2,5; 8) tg3; 10) ctg10.
179. Накресліть одиничне коло й позначте на ньому точки, що зобража- ють числа, синус яких дорівнює –1. Запишіть кілька таких чисел.
Укажіть загальну формулу, що задає множину всіх таких чисел.
180. Накресліть одиничне коло й позначте на ньому точки, що зобража- ють числа, косинус яких дорівнює 0. Запишіть кілька таких чисел.
Задайте множину таких чисел двома формулами або однією.
181. Чи може тангенс від’ємного числа бути додатним? Якщо так, то зо- бразіть кілька таких чисел на одиничному колі й знайдіть їх набли- жені значення.
182*. Визначте знак виразу:
1) sin1,5 · cos2,5 · tg3; 3) − ⋅ − ⋅ − π sin( 4,2) cos( 5,6) cos 3 ;
4 2) sin(–2) · cos5 · tg(–4); 4) cos(–0,5) · tg(–2,4) · sin(–p).
183*. Чи можлива рівність sina = sin(–a)? Якщо так, то запишіть вираз, який у загальному вигляді задає множину відповідних значень a. 184*. Що більше: 1) sin2 чи sin3; 3) sin7 чи sin8;
2) cos2 чи cos3; 4) cos−π
4 чи 3π cos ?
4 185*. Позначте на одиничному колі число 2. Зобразіть на цьому ж колі
додатне число <π
a 2, синус якого дорівнює sin2. Знайдіть а.
186*. Знайдіть додатне число x < 2p таке, що sinx = sin1.
Формули зведення
§ 9
Формулами зведення називають формули, що виражають тригономе- тричні функції кутів (чисел) π± α,
2
π ± α 3π± α π ± α
, , 2
2 через тригономе-
тричні функції кута (числа) a, де a — довільний кут (число).
Формули зведення мають велике практичне застосування. За їх допо- могою можна подати значення тригонометричних функцій будь-якого кута (числа) через значення відповідних тригонометричних функцій гострого кута або числа з проміжку π
0;
2 . Це дає змогу обмежитися складанням таблиць значень тригонометричних функцій тільки для гострих кутів.
У курсі геометрії було встановлено формули зведення для кутів виду 90° – a і 180° – a. Зокрема, sin(90° – a) = cosa, cos(90°–a) = sina, sin(180° – a) = sina, cos(180° – a) = –cosa. Звідси та на основі означення тангенса й котангенса кута дістаємо такі формули зведення:
° − α α
° − α = = = α
° − α α
sin(90 ) cos
tg(90 ) ctg ,
cos(90 ) sin
° − α α
° − α = = = − α
° − α − α sin(180 ) sin
tg(180 ) tg .
cos(180 ) cos
Аналогічно ctg(90° – a) = tga, ctg(180° – a) = –ctga.
Використовуючи радіанну міру кута, зазначені формули можна запи- сати у вигляді:
π− α = α π − α = α
sin cos ; sin( ) sin ; 2
π− α = α π − α = − α
cos sin ; cos( ) cos ;
2
π− α = α π − α = − α
tg ctg ; tg( ) tg ;
2
π− α = α π − α = − α
ctg tg ; ctg( ) ctg .
2
Маючи ці формули, можна дістати всі інші формули зведення. Розгля- немо це на прикладі кута виду 90° + a.
Перетворимо вираз 90° + a на такий, для якого формулу зведення вже встановлено. Це перетворення можна здійснити принаймні двома спосо- бами. Розглянемо кожний з них.
І спосіб
Запишемо суму 90° + a у вигляді різниці: 90° + a = 90° – (–a). Увівши позначення –a = β, дістанемо: 90° + a = 90°–β. Застосуємо до кута виду 90° – β відомі формули зведення. Маємо:
sin(90° + a) = sin(90° – β) = cosβ,
cos(90° + a) = cos(90° – β) = sinβ, tg(90° + a) = tg(90° – β) = ctgβ, ctg(90° + a) = ctg(90° – β) = tgβ.
Оскільки β = –a, то cosβ = cos(–a) = cosa, sinβ = sin(–a) = –sina, tgβ = tg(–a) = –tga, ctgβ = ctg(–a) = –ctga.
Остаточно маємо:
sin(90° + a) = cosa; cos(90° + a) = –sina; tg(90° + a) = –ctga; ctg(90° + a) = –tga. ІІ спосіб
Оскільки 90° = 180° – 90°, то 90° + a= 180° – 90° + a= 180° – (90° – a).
Позначивши 90° – a= β, застосуємо до кута виду 180° – β відомі формули зведення, а потім знову перейдемо до кута a. Маємо:
sin(90° + a) = sin(180° – β) = sinβ = sin(90° – a) = cosa; cos(90° + a) = cos(180° – β) = –cosβ = –cos(90° – a) = –sina;
° + α α
° + α = = = − α
° + α − α sin(90 ) cos
tg(90 ) ctg ;
cos(90 ) sin ctg(90° + a) = –tga.
Усі формули зведення подано в таблиці 7.
Таблиця 7 x
90° – a π− α 2
90° + a 2 π+ α
180° – a
p – a 180° + a
p + a 270° – a 3
2 π− α
270° + a 3
2 π+ α
360° – a
2p – a 360° + a 2p + a
sin x cos a cos a sin a –sin a –cos a –cos a –sin a sin a cos x sin a –sin a –cos a –cos a –sin a sin a cos a cos a tg x ctg a –ctg a –tg a tg a ctg a –ctg a –tg a tg a ctg x tg a –tg a –ctg a ctg a tg a –tg a –ctg a ctg a
Треба пам’ятати, що розглянуті формули справедливі для будь-якого кута (числа) a.
З таблиці видно, що для кутів (чисел) p ± a, 2p ± a назва функції, яку зводять, зберігається. Тобто в результаті заміни, наприклад, виразу sin(p + a) або tg(2p – a) на простіший дістанемо відповідно синус або тангенс a. Для кутів (чисел) π± α
2 , 3π± α
2 назва функції, яку зводять, замінюється на схожу (кажуть, на кофункцію), тобто синус на косинус, тангенс на котангенс, і навпаки.
Отже, замінюючи, наприклад, вираз π+ α cos 3
2 або ctgπ− α
2 на про- стіший, слід записати відповідно синус або тангенс a.
Знак результату в усіх випадках визначається за знаком функції, яку зводять, у відповідній чверті, зважаючи, що a — гострий кут 0< α <π
2 . Наприклад, кут 3π− α
2 за такої умови розташований у III чверті. Синус у
цій чверті від’ємний. Тому π− α = − α
sin 3 cos
2 . Косинус тут також від’ємний, отже, π− α = − α
cos 3 sin
2 , а тангенс і котангенс — додатні,
π− α = α
tg 3 ctg
2 , π− α = α
ctg 3 tg .
2
задача 1. Зведіть до тригонометричної функції додатного кута, мен- шого від 45°: 1) sin143°; 2) cos167°; 3) tg115°.
розв’язання.
1) Використовуючи кути, що входять до формул зведення, кут 143° можна подати двома способами: 143° = 90° + 53°, або 173° = 180°–37°. Оскіль- ки, за умовою, треба звести до функції кута, меншого від 45°, то, очевид- но, слід скористатися другим записом, тобто 143° = 180° – 37°. Отже, sin143° = sin(180° – 37°). Далі міркуємо так: оскільки міру кута подано через 180°, то в результаті зведення назва функції збережеться, тобто залишиться синус. Кут 180° – 37° є кутом ІІ чверті, тому значення його синуса додатне. Остаточно sin143° = sin(180° – 37°) = sin37°.
2) cos167° = cos(180°–13°) = –cos13°;
3) tg115° = tg(90° + 25°) = –ctg25°;
задача 2. Функцію даного кута зведіть до тієї самої функції гострого кута: 1) sin230°; 2) cos340°; 3) tg198°; 4) ctg251°.
розв’язання. Щоб зберегти назву функції, слід скористатися форму- лами зведення для кутів 180° ± a або 360° ± a. Зробимо це.
1) sin230° = sin(180° + 50°) = –sin50°;
2) cos340° = cos(360° – 20°) = cos20°;
3) tg198° = tg(180° + 18°) = tg18°;
4) ctg251° = ctg(180° + 71°) = ctg71°.
З геометрії вам відомі значення синуса, косинуса, тангенса кутів 30°, 45°, 60°:
° =1 sin30 ;
2 ° = 2
sin45 ;
2 ° = 3
sin60 ;
2
° = 3
cos30 ;
2 ° = 2
cos45 ;
2 ° =1
cos60 ; 2
° = 1
tg30 ;
3 tg45° = 1; tg60° = 3.
Оскільки α = α ctg 1
tg , то, знаючи тангенс зазначених кутів, можна знайти значення їх котангенса: ctg30° = 3; ctg45° =1; ° = 1
ctg60 .
3
Використовуючи ці значення, а також формули зведення, можна об- числити тригонометричні функції часто вживаних кутів у межах першо- го оберту. Це кути, градусні міри яких обчислюють з даних додаванням до них 90°, 180° і 270°. Наприклад,
π
° + ° = ° 30 90 120 2
3 ; ° + ° = ° π 45 90 135 3
4 ;
π
° + ° = ° 60 90 150 5
6 ; 7
30 180 210 6
π
° + ° = °
і т. д.
Щоб знайти, наприклад, sin120°, зведемо виконання цього завдання до знаходження значення тригонометричної функції гострого кута. Маємо:
° = ° − ° = ° = 3
sin120 sin(180 60 ) sin60 . 2 Аналогічно обчислюємо 3π
tg 4 , π= π −π= − π= −
tg3 tg tg 1.
4 4 4
Обчислені в такий спосіб значення тригонометричних функцій усіх зазначених кутів наведено в таблиці 8. У правильності наведених значень відповідних тригонометричних функцій пропонуємо вам переконатися самостійно, зокрема і під час розв’язування прикладів і задач.
Таблиця 8 x 6
π 30°
4 π 45°
3 π 60°
2 π 90°
2 3
π 120°
3 4
π 135°
5 6
π 150°
180°p 7
6 π 210°
5 4
π 225°
4 3
π 240°
3 2
π 270°
5 3
π 300°
7 4
π 315°
11 6 π 330°
360°2p
sin x 1 2
2 2
3 2
1 3
2 2 2
1 2
0 −1 2 − 2
2 − 3 2
–1 − 3 2 − 2
2 −1 2
0
cos x 3 2
2 2
1 2
0 −1 2 − 2
2 − 3 2
–1 − 3 2 − 2
2 −1 2
0 1
2 2 2
3 2
1
tg x 1 3
1 3 Не іс- нує
− 3 –1 − 1 3
0 1
3
1 3 Не
іс- нує
− 3 –1 − 1 3
0
ctg x 3 1 1
3 0 − 1
3 –1 − 3 Не іс- нує
3 1 1
3 0 − 1
3 –1 − 3 Не іс- нує
1. Що таке формули зведення? Укажіть види кутів (чисел), для яких ці формули встановлено.
2. Для яких кутів (чисел) назва функції, яку зводять, не змінюється, а для яких — змінюється?
3. Як визначити знак перед функцією, до якої зводять дану функцію?
4. Чому для складання таблиць значень тригонометричних функцій