ГЕОМЕТРІЯ
3. МиМоБІжНІ ПряМІ
Подивіться на малюнок 128. Ви бачите, що обірвана лінія електропередачі (пряма а) упи- рається в землю в точці A. Вона не має спільних точок з дорогою (прямою b). Іншими словами, пряма а перетинає площину в точці A, а пряма b лежить у ній, але не проходить через точку A.
Прямі а і b не мають спільних точок, але вони
не є паралельними. Отже, через них не можна провести площину. Саме це відрізняє мимобіжні прямі від паралельних прямих.
Дві прямі у просторі, що не лежать в одній площині, називаються мимобіжними.
На малюнку 129 ви бачите прямокутний паралелепіпед. Прямі, що містять ребра АВ і СС1,— мимобіжні.
Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прями- ми, що перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим.
133 134 135 136
137 138 139 140
141 142 143 144
145 146 147 148
149
α b
a O
ϕ b
a
O
b
a O
a O
A
α a b
A
α a A b
a
A B
D C S
M N
b A
a O
A B
C D
A B
C D
1
1 1
1
α
b
a
a b M
1 1
A B
D C
A B
C D
1 1
1 1
α b
a
a b
M
1 1
A B
D C
A B
C D
1 1
1 1
A
B C
D A
B C
D
1 1
1 1
C
B
A K
M N
A
B C
K
P
40°
150 151
Мал. 127
Мал. 128.
Обірвані електропроводи — небезпечні!
133 134 135 136
137 138 139 140
141 142 143 144
145 146 147 148
149
α a ϕ
a
a O
a O
A
α a b
A
α a A b
a
A B
D C S
M N
b A
a O
A B
D C
A B
C D
1
1 1
1
α
b
a
a b M
1 1
A B
C D
A B
C D
1 1
1 1
α b
a
a b
M
1 1
A B
D C
A B
C D
1 1
1 1
A
B C
D A
B C
D
1 1
1 1
C
B
A K
M N
A
B C
K
P
40°
150 151
Мал. 126
179
Кут між прямими а і b (мал. 130) не залежить від вибору прямих, що перетинаються.
задача 2. АВСDА1В1С1D1 — куб (мал. 131). Знайдіть кут між мимобіж- ними прямими ВА1 і СС1.
розв’язання. СС1||ВВ1, оскільки грань куба — квадрат. Тоді кут між мимобіжними прямими ВА1 і СС1 дорівнює куту між прямими ВА1 і ВВ1, тобто 45°.
Зверніть увагу:
щоб знайти кут між мимобіжними пря- мими, можна на одній з них взяти до- вільну точку і через неї провести пряму, паралельну другій прямій.
Якщо кут між мимобіжними прямими до- рівнює 90°, то дані прямі вважають перпенди- кулярними (мал. 132).
Зверніть увагу:
у просторі перпендикулярні прямі мо- жуть або перетинатися, або бути мимо- біжними.
Взаємне розміщення двох прямих у просторі подано в таблиці 16.
Таблиця 16
Фігури Взаємне розміщення
Дві прямі a і b
Лежать в одній площині
Мають
одну спільну точку Перетинаються Не мають
спільних точок
Паралельні Не лежать
в одній площині Мимобіжні
133 134 135 136
137 138 139 140
141 142 143 144
145 146 147 148
149
α b
a O
ϕ b
a O
b
a O
a O
A
α a b
A
α a A b
a
A B
D C S
M N
b A
a O
A B
C D
A B
C D
1
1 1
1
α
b
a
a b M
1 1
A B
D C
A B
C D
1 1
1 1
α b
a
a b
M
1 1
A B
D C
A B
C D
1 1
1 1
A
B C
D A
B C
D
1 1
1 1
C
B
A K
N M
A
B C
K
P
40°
150 151
133 134 135 136
137 138 139 140
141 142 143 144
145 146 147 148
149
α a ϕ
a O
a O
a O
A
α a b
A
α a A b
a
A B
D C S
M N
b A
a O
A B
D C
A B
C D
1
1 1
1
α
b
a
a b M
1 1
A B
C D
A B
C D
1 1
1 1
α b
a
a b
M
1 1
A B
D C
A B
C D
1 1
1 1
A
B C
D A
B C
D
1 1
1 1
C
B
A K
M N
A
B C
K
P
40°
150 151
133 134 135 136
137 138 139 140
141 142 143 144
145 146 147 148
149
α a ϕ
a
a O
a O
A
α a b
A
α a A b
a
A B
D C S
M N
b A
a O
A B
D C
A B
C D
1
1 1
1
α
b
a
a b M
1 1
A B
C D
A B
C D
1 1
1 1
α b
a
a b
M
1 1
A B
D C
A B
C D
1 1
1 1
A
B C
D A
B C
D
1 1
1 1
C
B
A K
M N
A
B C
K
P
40°
150 151
133 134 135 136
137 138 139 140
141 142 143 144
145 146 147 148
149
α b
a O
ϕ b
a O
b
a O
a O
A
α a b
A
α a A b
a
A B
C D
S
M N
b A
a O
A B
C D
A B
C D
1
1 1
1
α
b
a
a b M
1 1
A B
D C
A B
C D
1 1
1 1
α b
a
a b
M
1 1
A B
D C
A B
C D
1 1
1 1
A
B C
D A
B C
D
1 1
1 1
C
B
A K
M N
A
B C
K
P
40°
150 151
Мал. 132
Мал. 129 Мал. 130 Мал. 131
Термін «класифікація» походить від латинських слів classis — розряд і facio — роблю. Класифікація — це розподіл деяких предметів на класи відповідно до найсуттєвішої їх ознаки. У свою чергу, кожний клас предметів поділяється на підкласи. Суттєва ознака, що дає підстави класифікувати предмети, називається основою класифікації. Вам добре відомі класифікації в різних галузях людського знання. Наприклад, у зоології — живих істот, які населяють нашу планету, в істо- рії — суспільно-економічних формацій, у фізиці — елементарних частинок тощо.
Наукова класифікація відіграє важливу роль у науці. Вона полегшує процес дослідження, уможливлює виявлення прихованих закономірностей. Показо- вим є приклад розробки класифікації хімічних елементів. Видатний учений Д. І. Менделєєв (1834–1907) відкрив у 1869 р. один з найфундаментальні- ших законів природи — періодичний закон хімічних елементів. Це дало змогу вченому не лише систематизувати й уточнити дані про відомі на той час хімічні елементи, а й передбачити існування ще трьох елементів.
1. Які можливі випадки розміщення двох прямих у просторі?
2. Як у просторі визначають кут між прямими, що перетинаються?
3. Сформулюйте означення відстані від точки до прямої.
4. Які прямі у просторі називаються паралельними? Як їх познача- ють?
5. Що таке відстань між паралельними прямими?
6. Дайте означення мимобіжних прямих.
7. Що таке кут між мимобіжними прямими?
8. Поясніть, які прямі у просторі вважаються перпендикулярними.
Розв’яжіть задачі
541'. Наведіть приклади взаємного розміщення двох прямих на навко- лишніх предметах.
542'. На малюнках 133, 134 зображено прямокутний паралелепіпед.
Назвіть прямі, які мають одну спільну точку з даною прямою:
1) AB; 2) BC; 3) AC.
У якій точці ці прямі перетинають дану пряму?
543'. Назвіть будь-які дві пари взаємно перпендикулярних прямих на малюнках 133, 134.
544'. Чи зображено перпендикулярні прямі на малюнках 135, 136?
545'. Назвіть пряму й перпендикуляр до неї на малюнках 133 – 136.
Дізнайтеся більше
Пригадайте головне
181
546'. Довжина якого відрізка дорівнює відстані від точки A до прямої BC (мал. 133 – 136)?
547'. На малюнках назвіть:
1) паралельні прямі (мал. 133, 134);
2) мимобіжні прямі (мал. 133 – 136).
548°. Накресліть куб ABCDA1B1C1D1. Запишіть:
1) прямі, що перетинаються й лежать у площині нижньої основи куба;
2) прямі, що перетинаються під пря- мим кутом і лежать у площині верхньої основи куба;
3) перпендикулярні прямі, що прохо- дять через точку A1; точку C;
4) пряму й перпендикуляр, який проведено до цієї прямої з точки B;
з точки D1.
549°. Яка градусна міра кута між прямими:
1) CA і AK (мал. 135);
2) CA і AM, якщо ∆ABC — правильний (мал. 135);
3) KA і AB (мал. 136);
4) KC і KР, якщо ∆AKB= ∆AKC (мал. 136)?
550°. Вершина верхньої основи прямокутного паралелепіпеда та ребро його нижньої основи лежать в одній бічній грані. Якою може бути відстань від даної вершини до даного ребра паралелепіпеда, якщо його виміри дорівнюють:
1) 3 см, 4 см, 5 см; 2) 5 см, 2 см, 2 см; 3) 8 см, 8 см, 8 см?
Побудуйте відповідне зображення.
551°. Знайдіть відстані між паралельними ребрами прямокутного пара- лелепіпеда, якщо його виміри дорівнюють:
1) 4 см, 6 см, 9 см; 2) 5 см, 5 см, 5 см; 3) 5 см, 12 см, 12 см.
552°. Як можуть взаємно розміщатися ребра основи й бічні ребра:
1) паралелепіпеда; 2) трикутної піраміди; 3) чотирикутної піраміди?
133 134 135 136
137 138 139 140
141 142 143 144
145 146 147 148
149
α b
a O
ϕ b
a O
b
a O
a O
A
α a b
A
α a A b
a
A B
C D
S
M N
b A
a O
A B
C D
A B
C D
1
1 1
1
α
b
a
a b M
1 1
A B
C D
A B
C D
1 1
1 1
α b
a
a b
M
1 1
A B
D C
A B
C D
1 1
1 1
A
B C
D A
B C
D
1 1
1 1
C
B
A K
M N
A
B C
K
P
40°
150 151
Мал. 136
133 134 135 136
137 138 139 140
141 142 143 144
145 146 147 148
149
α b
a O
ϕ b
a
O
b
a O
a O
A
α a b
A
α a A b
a
A B
C D
S
M N
b A
a O
A B
C D
A B
C D
1
1 1
1
α
b
a
a b M
1 1
A B
D C
A B
C D
1 1
1 1
α b
a
a b
M
1 1
A B
D C
A B
C D
1 1
1 1
A
B C
D A
B C
D
1 1
1 1
C
B
A K
M N
A
B C
K
P
40°
150 151
133 134 135 136
137 138 139 140
141 142 143 144
145 146 147 148
149
α a ϕ
a
a O
a O
A
α a b
A
α a A b
a
A B
D C S
M N
b A
a O
A B
C D
A B
C D
1
1 1
1
α
b
a
a b M
1 1
A B
D C
A B
C D
1 1
1 1
α b
a
a b
M
1 1
A B
D C
A B
C D
1 1
1 1
A
B C
D A
B C
D
1 1
1 1
C
B
A K
M N
A
B C
K
P
40°
150 151
133 134 135 136
137 138 139 140
141 142 143 144
145 146 147 148
149
α a ϕ
a O
a O
a O
A
α a b
A
α a A b
a
A B
C D
S
M N
b A
a O
A B
C D
A B
C D
1
1 1
1
α
b
a
a b M
1 1
A B
C D
A B
C D
1 1
1 1
α b
a
a b
M
1 1
A B
D C
A B
C D
1 1
1 1
A
B C
D A
B C
D
1 1
1 1
C
B
A K
M N
A
B C
K
P
40°
150 151
Мал. 133 Мал. 134 Мал. 135
553°. У прямокутному паралелепіпеді (мал. 137) ребра AB і CD лежать на мимобіжних прямих, а ребра CD і BK — на паралельних прямих.
На малюнку 138 цей паралелепіпед певним чином повернуто. Скопі- юйте ці малюнки й позначте на них ребра CD і BK. Яке взаємне роз- міщення прямих, на яких лежать ребра AB і CD? А ребра CD і BK?
554°. Назвіть пари ребер многогранника, які лежать на мимобіжних пря- мих, якщо цей многогранник:
1) куб; 2) прямокутний паралелепіпед.
555°. Назвіть пари ребер піраміди, які лежать на мимобіжних прямих, якщо піраміда: 1) трикутна; 2) чотирикутна.
556°. AB і CD — мимобіжні прямі. Чи є паралельними прямі:
1) AC і BD; 2) AD і BC?
557°. АВСDА1В1С1D1 — куб. Назвіть пари його ребер, що лежать на пер- пендикулярних прямих, які:
1) перетинаються; 2) є мимобіжними.
558. Точки A і B лежать у площині a, а точка C не належить їй. Знайдіть відстань від точки C до прямої AB, якщо:
1) AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см;
2) AB = 5 см, BC = 6 см, AC = 9 см.
559. Пряма a і точка A лежать у площині a. Скільки прямих можна про- вести через точку A, кожна з яких:
1) перетинає пряму a; 2) паралельна прямій a; 3) мимобіжна з пря- мою a?
Розгляньте випадки, якщо точка A лежить на прямій a і якщо не належить їй.
560. Пряма a лежить у площині a, пряма b перетинає її, але не перети- нає пряму a. Чи можна провести площину через прямі a і b?
561. Скільки пар ребер прямокутного паралелепіпеда лежать на мимо- біжних прямих, якщо призма: 1) трикутна; 2) чотирикутна?
562. Скільки пар ребер піраміди лежать на мимобіжних прямих, якщо піраміда: 1) трикутна; 2) чотирикутна?
A
B C
D K
α A
B
α B A
β
152 153 154
3 м 3 м
6 м
154-1
A
B C
D K
α A
B
α B A
β
152 153 154
3 м 3 м
6 м
154-1
Мал. 137 Мал. 138
Проявіть компетентність
563. АВСDА1В1С1D1 — куб. Знайдіть кут між прямими: