задача 3. Визначте градусну міру кута 2,5 рад
3. Укажіть радіанну міру: повного кута; розгорнутого кута; прямого кута
5π
18 рад =
π⋅ °
= °
π 5 180
18 50 .
Розв’яжіть задачі
148'. Визначте радіанну міру кута:
1) 40°; 2) 140°; 3) 36°; 4) 18°; 5) 240°; 6) 300°; 7) –225°. Результат подайте за допомогою числа p.
149'. Визначте градусну міру кута, наведену в радіанах:
1) 0,5p; 3) 5π
6 ; 5) π
15; 7) − 3π 2 ;
4 9) 2;
2) π
12; 4) π
20; 6) −7π
12; 8) −9π
5 ; 10) 1,5.
150'. Радіус кола дорівнює 20 см. Знайдіть довжину дуги цього кола, якщо її радіанна міра дорівнює: 1) 3; 2) 1
2; 3) 2,4; 4) 0,8.
151'. Знайдіть радіанну міру дуги кола радіуса 12 см, якщо довжина дуги дорівнює: 1) 4 см; 2) 1,2 см; 3) 6 см; 4) 24 см.
152°. Порівняйте кути a і β, якщо:
1) α = ° β = 5 π
49 , 18 рад; 3) α =3π β = °
рад, 135 ; 4
2) α = π рад, β =14 35 ;° ′
12 4) α =8π β = °
рад, 170 . 9
153°. Знайдіть радіанну і градусну міри кута, який доповнює кут 5π 9 до розгорнутого.
154°. Знайдіть градусну і радіанну міри кута, який доповнює кут 135° до повного.
155°. Два кути трикутника дорівнюють 59° і 69°. Знайдіть радіанну міру третього кута цього трикутника.
156°. Два кути трикутника дорівнюють 3π
10 рад і 2π
15рад. Знайдіть градус- ну міру третього кута цього трикутника.
157°. Запишіть за допомогою подвійної нерівності межі градусної та ра- діанної мір додатних кутів, менших від 360°, що лежать у:
1) I чверті; 2) II чверті; 3) III чверті; 4) IV чверті.
158°. Укажіть, до яких чвертей належать кути, якщо їх радіанна міра дорівнює:
1) 3π
4 ; 3) 7π
4 ; 5) 1,7p; 7) −3π 4 ; 2) 2π
5 ; 4) 7π
9 ; 6) 13π
12 ; 8) −π. 8 Визначте знаки синуса, косинуса, тангенса цих кутів.
Проявіть компетентність
159°. Обґрунтуйте правильність рівностей:
1) sin(α + π =2 ) sin ;k α 3) tg(α + π = α2 ) tg ;k 2) cos(α + π =2 ) cos ;k α 4) ctg(α + π =2 ) ctg ,k α
де a — радіанна міра даного кута, k — ціле число (k Î Z).
160. Знайдіть градусну і радіанну міри кутів трикутника, якщо вони пропорційні числам 2, 3 і 4.
161. Знайдіть градусну і радіанну міри кутів, прилеглих до бічної сторо- ни трапеції, якщо вони відносяться, як 2 : 7.
162°. Радіанна міра дуги кола дорівнює 1,4, а її довжина — 7 см. Зна- йдіть радіус кола.
163. Знайдіть довжину дуги кола радіуса 22,5 см, якщо дуга містить 40°. 164. Дуга кола містить 200°. Знайдіть радіус кола, якщо довжина дуги
дорівнює 50 см.
165. Знайдіть лінійну швидкість точки на обводі шліфувального диска, діаметр якого дорівнює 90 см, а кутова швидкість становить 500 рад/с.
166. Знайдіть градусну й радіанну міри кута, утвореного годинною та хвилинною стрілками годинника, якщо він показує:
1) 3 год; 2) 6 год; 3) 8 год.
167. Колесо, рівномірно обертаючись, робить 20 обертів за хвилину.
Знайдіть його кутову швидкість у радіанах за секунду.
Тригонометричні функції числового аргументу
§ 8
Вимірюючи кути в радіанах, найменування одиниці вимірювання біля числа, що характеризує міру кута, зазвичай не пишуть. Кажуть:
«кут дорівнює π
4» замість «кут дорівнює π
4 радіана»; «кут дорівнює 100»
замість «кут дорівнює 100 радіанів» і т. д. Виходячи із цього, запис sinπ
2 слід розуміти як синус кута, що дорівнює π
2 рад, tg 4,2 — як тан- генс кута, що дорівнює 4,2 рад.
Уведення радіанної міри кута дає змогу зображати будь-яке число точкою одинично- го кола. Розглянемо, як це можна зробити.
Домовилися, що точка A — кінець почат- кового радіуса — зображає число 0 (мал. 60).
Для зображення будь-якого іншого дій- сного числа a будують рухомий радіус OB, який утворює з початковим радіусом OA кут a рад. Точка B — кінець рухомого радіуса — зображає на одиничному колі число a.
Зокрема, на малюнку 60 точка В зобра- жає число 2,5 (ÐAOB = 2,5 рад). Очевидно, що цією точкою зображається не лише число
2,5, а й усі числа виду 2,5 + 2pk, де k — ціле число. Точка C зображає число π≈1,57
2 , бо ÐAOC = π
2 рад » 1,57 рад. Цією самою точкою зобража- ються всі числа виду π+ π2
2 k, де k — ціле число.
Водночас, маючи точку на одиничному колі, можна знайти множину чисел, які вона зображає. Одне з таких чисел, очевидно, дорівнює радіан- ній мірі одного з кутів (наприклад, найменшого додатного), що їх утворює рухомий радіус, проведений до цієї точки, з початковим радіусом. Додав- ши до знайденого в такий спосіб числа 2pk, де k Î Z, одержимо вираз, що задає множину шуканих чисел. Надаючи k певного значення, дістава- тимемо відповідне число. Очевидно, що будь-яка точка одиничного кола зображає безліч дійсних чисел, що їх можна знайти описаним способом.
Досі ми розглядали тригонометричні функції, аргументом яких був кут, точніше, міра кута. Але в багатьох процесах, які можна описати три- гонометричними функціями, змінною є не лише кут, а й час, температура, довжина тощо. У зв’язку із цим домовились абстрагуватися від природи аргументу й розглядати тригонометричні функції просто числа, розумію- чи, наприклад, під синусом числа 3,7 синус кута, що дорівнює 3,7 рад; під тангенсом числа –0,8 тангенс кута, що дорівнює –0,8 рад, тощо.
З такого розуміння тригонометричних функцій числового аргументу випливає, що синус і косинус певного числа дорівнюють відповідно ор- динаті й абсцисі точки, що зображає це число на одиничному колі, а його тангенс і котангенс — ординаті й абсцисі відповідних точок лінії танген- сів і лінії котангенсів.
Із цього випливає, що синус і косинус числового аргументу існують за будь-якого дійсного x.
Беручи до уваги, що =sin tg cos
x x
x, доходимо висновку, що функція тан- генс не існує, якщо cosx = 0. Це справедливо для всіх чисел, які зобража- ються на одиничному колі кінцями вертикального діаметра, тобто чисел
±π
2; ±3π 2 ; ±5π
2 ;…. Кожне з них можна утворити множенням π
2 на додат- не чи від’ємне непарне число. Справді, ± = ⋅ ±1 ;2 2π π
( )
±32π π= ⋅ ±2( )
3 ;y
O 0x
2 рад 2 1,57
2,5 2,5 рад
B C
A π
π
Мал. 60
π π
( )
±5 = ⋅ ±
2 2 5 і т. д. Відомо, що непарні числа записують у вигляді 2k + 1, де k — ціле число. Отже, множину чисел, для яких тангенс не має змісту, можна записати у вигляді π(2 +1)
2 k , де k — ціле число. Часто трапляється і такий запис цієї множини: π+ π
2 k, де k — ціле число. Щоб пересвід- читися, що обидва вирази позначають одну й ту саму числову множину, достатньо, наприклад, розкрити дужки у виразі π(2 +1).
2 k
Оскільки йшлося про множину чисел, косинус яких дорівнює 0, то можна сказати, що розв’язком рівняння cosx = 0 є числа виду
=π(2 +1), ∈ .
x 2 k k Z
Зважаючи, що =cos ctg sin
x x
x , доходимо висновку: числова функція ко- тангенс не існує для тих x, за яких sinx = 0. Ці числа зображаються кін- цями горизонтального діаметра одиничного кола і дорівнюють 0; ±p;
±2p; ±3p і т. д., тобто це числа виду pk, де k — ціле число.
Аналогічно розв’язок рівняння sinx = 0 такий: x = pk, k Î Z.
Для будь-якого значення x, за якого існує відповідна тригонометрич- на функція, справджуються рівності:
sin(–x) = –sinx, cos(–x) = cosx, tg(–x) = –tgx, ctg(–x) = –ctgx, а також:
sin(x + 2pk) = sinx, cos(x + 2pk) = cosx,
tg(x + 2pk) = tgx, ctg(x + 2pk) = ctgx, де k Î Z.
Розширення уявлень про тригонометричні функції, уведення поняття три- гонометричних функцій числового аргументу привело до їх обґрунтування на новій, аналітичній основі. Відповідно тригонометричні функції визначаються незалежно від геометрії за допомогою степеневих рядів та інших понять математичного аналізу. Зокрема, для всіх дійсних чисел х:
x x x
x= − 2 + 4 − 6 +
cos 1 ...,
2! 4! 6!
x x
x x= − 3+ 5 −
sin ...,
3! 5! де n! (читається «ен факторі- ал») треба розуміти як добуток n перших натуральних чисел. Тобто
n! = 1 · 2 · 3 · … · n; 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 тощо.
3 2 5 17 7
tg ...,
3 15 315
x x x
x x= + + + + π x π
− < < ,
2 2
1 3
ctg ...,
3 45 x x x
= − −x − 0 < x < p.
Дізнайтеся більше
Основоположником аналітичної теорії тригонометричних функцій вважа- ється видатний німецький математик Леонард Ейлер (1707–1783). Тригоно- метричні функції знаходять широке застосування у фізиці, техніці, особливо при вивченні коливальних рухів і періодичних процесів.
1. Як зобразити на одиничному колі дане число? Проілюструйте на прикладі.
2. Як знайти найменше додатне число, що зображає дана на одинич-