задача 5. Розв’яжіть рівняння ctgx = –1
4. Чи правильне твердження
1) якщо диференційовна функція f(x) зростає на інтервалі (a; b), то f′(x) > 0, x ∈ (a; b);
2) якщо диференційовна функція f(x) спадає на інтервалі (a; b), то f′(x) < 0, x ∈ (a; b)?
Дізнайтеся більше
Пригадайте головне
Розв’яжіть задачі
455'. Чи є функція зростаючою або спадною на вказаному інтервалі:
1) y=2x+1,(−∞ +∞; ); 3) y=x3,(−∞ +∞; ); 2) y=x2,(−∞;0); 4) 1
,(0; ) y= õ +∞ ?
456'. Укажіть інтервали сталості, зростання і спадання функцій, зобра- жених на малюнку 85.
1)
y = f(x)
x 4 1 –2
0 y
2)
y = f(x) x
2 4
–3 –20 1
y
Мал. 85
457'. Знайдіть інтервали монотонності функції:
1) y= −x2 +4x+1; 2) 1 3 1 2
2 3
3 2
y= x − x − x+ ; 3)
4 3 1
4 3 2
x x
y= − + . 458°. Задано функцію f x( ). З’ясуйте, зростає чи спадає функція на зада-
них інтервалах:
1) f x( )=x2−2x, (0;1); (3;4); 2) f x( )= −x2+ −x 1, (–1; 0); (1; 3).
459. Чи правильно те, що функція f(x) = x – 2x4 зростає на інтервалі (–∞; 0,5) і спадає на інтервалі (0,5; +∞)?
460. Покажіть, що функція f x
= −x13
( ) зростає в усій її області визначення.
461. Чи є монотонною функцією похідна функції f(x) = x2 + sinx?
462. Покажіть, що функції f(x) = tgx та f(x) = сtgx монотонні в усій їх області визначення.
463*. Що можна сказати про монотонність функцій f(x) та j(x), якщо задано графіки їх похідних (мал. 86)?
1)
y = f′(x) x 2
–3 0
–2 y
2)
y = ϕ′(x) x 4 5
–6 –5 0
y
Мал. 86
Проявіть компетентність
464*. Знайдіть функцію, якщо задано графік її похідної, і дослідіть її на монотонність (мал. 87).
1)
y = f′(x) x –101
y
2)
y = ϕ′(x)
x 0
–2 2
y 3
Мал. 87
465. Переконайтеся, що функція 1
( ) sin 2
f x = x− x+3 спадна на інтер- валі (−∞ +∞; ).
466. З’ясуйте, зростає чи спадає функція f(x) = –x2+ x – 1 у точках:
1) х1= 0; 2) х2= 1.
467. Чи правильна нерівність:
1) sin , 0;
x<x x∈ 2π; 2) cos + sin >1, ∈(0; )π
x x x x 2 ?
Екстремуми функції
§ 25
1. ПоНяТТя еКсТреМУМІВ фУНКцІй Розглянемо графік функції y =f x( ) (мал. 88).
y = f(x)
x
a b
0 x1 x2 x3 x4 x5 y
Мал. 88
Значення функції f x( )1 є найбільшим у деякому околі точки x1, проте не є найбільшим на відрізку [ ; ]a b , бо, наприклад, f x( )1 <f x( )3 . Те саме можна сказати і про значення функції f x( )5 .
Аналогічно, f x( )4 є найменшим значенням функції в деякому околі точки x4, але не є найменшим значенням функції на відрізку [ ; ]a b , бо іс- нують значення, менші від f x( )4 , наприклад, f x( )2 .
Отже, існують значення функції, які є найбільшими або найменшими лише в досить малому околі точки з області її визначення. Такі значення називають відповідно максимумом і мінімумом цієї функції.
Якщо існує окіл точки x0, що для всіх точок x≠x0 із цього околу виконується нерівність f x( )<f x( )0 , то точку x0 називають точкою максимуму функції.
Якщо існує окіл точки x0, що для всіх точок x≠x0 із цього околу виконується нерівність f x( )>f x( )0 , то точку x0 називають точкою мінімуму функції.
Точки максимуму та мінімуму функції називають точками екстре- муму функції, а значення функції в них — екстремумами функції.
З означення випливає, що точками екстремуму можуть бути тільки внутрішні точки області визначення функції. Крім того, екстремум — це локальна (місцева) властивість функції, яка характеризує поведінку функції в досить малому околі точки. Через це їх іноді називають — ло- кальним максимумом і мінімумом функції.
Для функції f(x), графік якої зображено на малюнку 88, точками мак- симуму є точки х1, х3, х5, а точками мінімуму — точки х2, х4.
Зверніть увагу:
що деякі мінімуми функції можуть бути більші за деякі її максимуми.
Так, на малюнку 88 fmin( )x4 >fmax( )x1 .
2. НеоБхІДНА І ДосТАТНя УМоВи еКсТреМУМУ фУНКцІї Як же знайти точки екстремуму функції?
Припустимо, що функція f(x) має в деякій точці екстремум і диферен- ційовна в цій точці.
На малюнку 88 точками, в яких функція має екстремум та диференці- йовна в кожній з них, є x1, x2, x3, x5∈[ ; ]a b . Дотична до кривої в цих точ- ках паралельна осі Ox, а це означає, що похідна в кожній з цих точок дорівнює нулю. Правильність цього факту підтверджує теорема.
(ферма).
якщо x0 — точка екстремуму функції f(x) і в цій точці існує похідна f′(x0), то f′(x0) = 0.
Теорема 1
Теорему приймемо без доведення.
Точки х, у яких f′(x) = 0, називають стаціо- нарними точками функції f(x).
Теорема 1 є лише необхідною, але не є до- статньою умовою екстремуму функції.
Наприклад, функція y x= 3 має тільки одну стаціонарну точку x=0, оскільки y′ =3x2 та y′ =0, якщо x=0. Однак ця точка не є її точкою екстремуму (мал. 89).
Зауважимо також, що екстремум функції може існувати і в точках, де функція неперерв- на, але не має похідної. На малюнку 88 такою є точка x4.
Стаціонарні точки функції і точки, у яких функція неперервна, але не має похідної, називають її критичними точками.
Отже, точки екстремуму функції слід шукати серед її критичних то- чок. Якщо критичних точок немає, то функція не має екстремумів. Однак питання про те, чи є задана критична точка точкою екстремуму функції, вимагає додаткового дослідження за допомогою достатніх умов екстрему- му функції.
На малюнку 88 прослідкуйте за знаком похідної f′(x) у досить малому околі точок максимуму (точки x1, x3, x5) і мінімуму (точки x2, x4) функ- ції. Ліворуч від точки максимуму f′(x) > 0, а праворуч — f′(x) < 0. Ліворуч від точки мінімуму f′(x) < 0, а праворуч — f′(x) > 0. Має місце теорема:
(достатня умова екстремуму функції).
Нехай х0 — критична точка функції f(x), яка є неперервною в цій точці, та існує інтервал (х0 – d; х0 + d), d > 0, в якому функція має похідну, крім, можливо самої точки х0.
якщо f′(x) > 0 на інтервалі (х0 – d; х0) і f′(x) < 0 на інтервалі (х0; х0 + d), то точка х0 є точкою максимуму функції f(x); якщо f′(x) < 0 на інтервалі (х0 – d; х0) і f′(x) > 0 на інтервалі (х0; х0 + d), то точка x0 є точкою мінімуму функції f(x).
Іншими словами: якщо при переході точки x через точку x0 похідна f′(x) змінює знак, то x0 є точкою екстремуму функції f(x), причому точ- кою максимуму, якщо знак змінюється з плюса на мінус і точкою міні- муму, якщо знак змінюється з мінуса на плюс.
Теорему приймемо без доведення.
На підставі сформульованих теорем складемо схему.
Схема дослідження функції f(x) на екстремум на інтервалі (a; b) (скінченному чи нескінченному).
1. Знайти критичні точки функції f(x), тобто точки, у яких f′(x) = 0 або f′(x) не існує і які належать інтервалу
(
a b;)
.Теорема 2
y = x3
0 x y
Мал. 89
Якщо таких точок немає, то функція f(x) екстремумів не має.
2. Перевірити, чи змінює знак похідна f′(x) при переході через кожну критичну точку x0. Якщо f′(x) змінює знак з + на –, то x0 — точка максимуму функції; якщо f′(x) змінює знак з – на + , то x0 — точка мінімуму функції; якщо f′(x) не змінює знака, то точка x0 не є точкою екстремуму функції.
3. Обчислити значення функції f(x) у точках екстремуму.
Зауваження. Нехай функція f(x) неперервна на інтервалі
(
a b;)
(скін-ченному чи нескінченному) і має на ньому скінченну кількість критич- них точок x1, x2,...,xk, причому x1<x2 <…<xk. Тоді на кожному з інтер- валів ( ; )a x1 , (x x1; 2),...,( ; )x bk похідна функції f′(x) зберігатиме знак. Тому знак похідної на кожному інтервалі можна визначити, обчисливши зна- чення її в довільній точці інтервалу. Цим самим одночасно з точками екс- тремуму визначають й інтервали монотонності функції.
задача 1. Знайдіть екстремуми функції 3 4 3 2
( ) 9 7
f x =4x −x − x + . розв’язання. Функція визначена та диференційовна на множині всіх дійсних чисел. 1. Знайдемо стаціонарні точки функції:
f x′( )=3x3 −3x2−18x=3 (x x+2)(x−3), отже, f′(x) = 0, якщо
1 2, 2 0, 3 3
x = − x = x = , тобто функція має три стаціонарні точки.
2. Визначимо, яка із знайдених стаціонарних точок є точкою екстремуму функції. Область визначення функції інтервал
(
−∞ +∞;)
розіб’ємо стаціо- нарними точками на інтервали:(
−∞ −; 2)
,(
−2;0)
,(
0;3)
,(
3;+∞)
, на кожно- му з яких похідна f′(x) зберігає знак. Для визначення знаку похідної досить знайти її значення в довільній точці кожного інтервалу.Оскільки f′ − = −( 3) 54<0, то f′(x) < 0, x∈ −∞ −
(
; 2)
; f′ − =( 1) 12>0, тоf x′( ) >0, x∈ −
(
2;0)
; f′(1) = −18<0, то f x′( )<0,x∈(
0;3)
; f′(4)=12 6⋅ =72>0, то f x′( ) >0, x∈(
3;+∞)
.Таким чином, при переході через точки x1 = −2 та x3 =3 похідна змінює знак з – на + , а при переході через точку x2 =0 похідна змінює знак з + на –, тобто точки x1 = −2 та x3 =3 — точки мінімуму, а x2 =0 — точка максимуму функції.
3. Обчислимо значення функції в точках екстремуму:
min min
( 2) 9, (3) 401
f − = − f = − 4, fmax(0)=7.
задача 2. Доведіть, що добуток двох додатних чисел, сума яких є ста- лою, буде найбільшим, якщо ці числа рівні.
розв’язання. Нехай x y+ =a, де a > 0 — стала, x y, >0. Тоді добуток чисел x та y визначається функцією:
( ) ( ) 2 ,0
f x =xy =x a x− = −x +ax <x<a. Знайдемо стаціонарні точки цієї функції:
f x′( )= −2x a f x+ , ( )′ =0, якщо 2 x= a.
Покажемо, що ця точка є точкою максимуму функції f(x). Розглянемо два інтервали: 0;
2
a
і ; 2 a a
, на кожному з яких похідна f′(x) зберігає знак.
Оскільки 0
4 2
a a
f′ = > , то f x′( )>0, 0;
2 x a
∈ ; 3
4 2 0
f′ a= − <a , тому
f x′( )<0, ; 2 x a a
∈
.
Отже, похідна f′(x) при переході через точку 2
x= a змінює знак з + на –, тому ця точка є точкою максимуму функції f(x), тобто шуканими числами
є 2
x= a та 2 y= a і
2
max 2 4
a a
f = .
Розглянемо застосування екстремумів функції до доведення нерівності.
задача. Доведіть нерівність:
1 2, 0
x x
+ x ≥ > . (1)
розв’язання. Розглянемо функцію 1
( ) , 0
f x x x
= +x > . Знайдемо екстремуми цієї функції: x
f x x x
′ = − 12 = 2 −21
( ) 1 . За умовою x > 0, отже, f x′( )=0, якщо x= >1 0. Ця точка є точкою мінімуму функції, оскільки похідна f′(x) при переході через цю точку змінює знак з мінуса на плюс (пере- конайтеся в цьому самостійно). Таким чином, задана функція f(x) має на ін- тервалі