Чому для складання таблиць значень тригонометричних функцій достатньо обчислити значення цих функцій лише для додатних

 π

° + ° = °   30 90 120 2

3 ; ° + ° = °  π 45 90 135 3

4 ;

 π

° + ° = °   60 90 150 5

6 ; 7

30 180 210 6

 π

° + ° = °  

  і т. д.

Щоб знайти, наприклад, sin120°, зведемо виконання цього завдання до знаходження значення тригонометричної функції гострого кута. Маємо:

° = ° − ° = ° = 3

sin120 sin(180 60 ) sin60 . 2 Аналогічно обчислюємо 3π

tg 4 , π= π −π= − π= −

tg3 tg tg 1.

4 4 4

Обчислені в такий спосіб значення тригонометричних функцій усіх зазначених кутів наведено в таблиці 8. У правильності наведених значень відповідних тригонометричних функцій пропонуємо вам переконатися самостійно, зокрема і під час розв’язування прикладів і задач.

Таблиця 8 x 6

π 30°

4 π 45°

3 π 60°

2 π 90°

2 3

π 120°

3 4

π 135°

5 6

π 150°

180°p 7

6 π 210°

5 4

π 225°

4 3

π 240°

3 2

π 270°

5 3

π 300°

7 4

π 315°

11 6 π 330°

360°2p

sin x 1 2

2 2

3 2

1 3

2 2 2

1 2

0 −1 2 − 2

2 − 3 2

–1 − 3 2 − 2

2 −1 2

0

cos x 3 2

2 2

1 2

0 −1 2 − 2

2 − 3 2

–1 − 3 2 − 2

2 −1 2

0 1

2 2 2

3 2

1

tg x 1 3

1 3 Не іс- нує

− 3 –1 − 1 3

0 1

3

1 3 Не

іс- нує

− 3 –1 − 1 3

0

ctg x 3 1 1

3 0 − 1

3 –1 − 3 Не іс- нує

3 1 1

3 0 − 1

3 –1 − 3 Не іс- нує

1. Що таке формули зведення? Укажіть види кутів (чисел), для яких ці формули встановлено.

2. Для яких кутів (чисел) назва функції, яку зводять, не змінюється, а для яких — змінюється?

3. Як визначити знак перед функцією, до якої зводять дану функцію?

4. Чому для складання таблиць значень тригонометричних функцій

Розв’яжіть задачі

187'. Вважаючи a гострим кутом, укажіть чверть, до якої належить кут:

1) 90° – a; 3) p– a; 5) 270° – a; 7) 2p – a; 2) 90° + a; 4) 180° + a; 6) 3π+ α

2 ; 8) 360° + a. 188'. Установіть знак виразу, якщо a — гострий кут:

1) sin(90° + a); 8) cosπ+ α;

2 15) tg(90° + a);

2) sin(p – a); 9) cos(180° – a); 16) tg(p – a);

3) sin(180° + a); 10) cos(p+ a); 17) tg(p+ a);

4) sin(270° – a); 11)  π− α

cos 3 ;

2 18)  π− α

tg 3 ;

2 5)  π+ α

sin 3 ;

2 12) cos(270° + a); 19)  π+ α

tg 3 ;

2 6) sin(360° – a); 13) cos(2p – a); 20) tg(2p – a);

7) sin(2p+ a); 14) cos(360° + a); 21) tg(2p+ a).

189'. Використовуючи табличні значення тригонометричних функцій кутів π

6, π, 4

π

3 і формули зведення, обчисліть:

1) 5π sin ;

6 3) 2π

cos ;

3 5) sin225°; 7) 3π tg ;

4 2) sin7π;

4 4) cos7π;

6 6) cos240°; 8) ctg315°. 190°. Спростіть вираз, скориставшись формулами зведення:

1) sinα −π;

2 3) sin(a – p); 5) α − π⋅ α −π

cos 3 cos ;

2 2

2) cos(a – p); 4) α − π

tg 3 ;

2 6) sin(α − π ⋅2 ) cosα +π. 2 191°. Знайдіть числове значення виразу:

1) π + π+ 3π sin 2sin cos ;

2 2 3) tg²π+5sinπ −4ctg ;π

3 4

2) 6sinπ−5cos0 sin+ ²π;

6 4 4) 5π+ ²π + ²3π

ctg 2cos sin .

4 4

192°. Знайдіть числове значення виразу:

1) 5sin(p – a) – 2cos(p + a), якщо α =π. 4 2) cosα +π   tg α −π,

3 4 якщо a = p.

193°. Синуси двох кутів трикутника дорівнюють 1 і 1

2. Знайдіть значен- ня тригонометричних функцій третього кута.

194. Замініть тригонометричну функцію функцією доповняльного кута:

1) cos0,4p; 4) 2π ctg ;

5 7) cos(45°+ a); 10) sin 60 ° −α; 2 2) sin0,36p; 5) ctg55°; 8) sinπ+ α;

4 11) cosπ+ α2 ; 2 3) tg78°; 6) 3π

sin ;

7 9) sinπ− α;

4 12) tgα −π. 4 195. Зведіть дану функцію до функції додатного гострого кута:

1) tg317°; 3) sin191°; 5) 10π sin ;

7 7) 7π cos ;

4 9) sin(–96°);

2) cos111°; 4) ctg137°; 6) 16π tg ;

9 8) ctg(–283°); 10) − π tg 9 .

5 196. Зведіть тригонометричну функцію до функції додатного кута,

меншого від  π

°  

45 :

4

1) sin78°; 3) tg174°; 5) 5π

cos ; 6 2) cos123°; 4) sin1,2p; 6) − π

ctg 2 . 3

197. Зведіть тригонометричну функцію до функції додатного гострого кута, зберігши назву функції, що зводиться:

1) sin290°; 3) tg320°; 5) 7π ctg ;

10 7) cos(–100°);

2) cos200°; 4) 13π cos ;

8 6) sin(–213°); 8) − π tg 6 .

7 198. Якщо a, β, g — кути трикутника, то:

1) sin(a + β) = sing; 3) sinα + β=cos ;γ

2 2

2) cos(a + β) = cosg; 4) tgα β+ =ctg .γ

2 2 2

Доведіть це.

199. Знайдіть cosх, якщо  π− + π=  +π

sin 3 sin sin .

2 x 2 x 2

200. Обчисліть: 1) π 2π 7π 8sin cos tg ;

6 3 4 2) 3π 5π 7π

10tg sin cos .

4 4 4

201. Доведіть твердження:

1) синус суми гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 1;

2) косинус суми гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 0.

202. Косинус одного із суміжних кутів дорівнює −1

2. Знайдіть синус і тангенс іншого кута.

203. Тангенс кута при основі рівнобедренного трикутника дорівнює 3 3 . Знайдіть значення тригонометричних функцій кута при вершині.

204. Синус тупого кута ромба дорівнює 1

2. Знайдіть значення тригоно- метричних функцій гострого кута цього ромба.

205*. Обчисліть суму:

1) cos20° + cos40° + cos60° + … + cos160°+ cos180°; 2) tg20° + tg40° + tg60° + … + tg160° + tg180°; 3) sin0° + sin1° + sin2° + … + sin358° + sin359°; 4) ctg15° + ctg30° + ctg45° + … + ctg150° + ctg165°. 206*. Доведіть тотожність:

1) cosπ+ α = sinπ− α;

4 4 3) ctgπ− α = tgπ+ α;

4 4

2) cosα −π=sinπ+ α;

4 4 4) ctgπ+ α = tgπ− α.

4 4

207*. Синуси двох кутів трикутника дорівнюють 1

2 і 3

2 . Знайдіть значення тригонометричних функцій третього кута. Скільки розв’язків має задача?

Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу

§ 10

Тригонометричні функції пов’язані між собою численними співвід- ношеннями, що виражаються відповідними тотожностями. Перша серія тотожностей описує зв’язок між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу.

З курсу геометрії вам відомо, що для будь-якого гострого кута a

sin²a + cos²a = 1. (1) Цю рівність було встановлено за теоремою Піфагора. Використовуючи дану теорему, можна довести, що рівність (1) виконується для будь-якого кута, а отже, і числового аргументу.

За означенням тангенса і котангенса:

tg sin . cos α = α

α (2)

ctg cos . sin α = α

α (3)

Помноживши почленно рівності (2) і (3), дістанемо:

tga ctga = 1. (4)

Поділивши почленно рівність (1) на cos²a, одержимо:

2

2

tg 1 1 ,

α + =cos

α або ² 1₂

1 tg ,

+ α =cos

α (5)

і поділивши почленно (1) на sin²a, маємо:

2

2

1 ctg 1 .

+ α =sin

α (6)

Рівності (1)–(6) є тотожностями, оскільки вони правильні для всіх тих значень аргументу, за яких ліва і права частини мають зміст.

Рівність (1) правильна для будь-яких значень a. Рівність (2) правиль- на для всіх значень a, за яких cosa ¹ 0. Рівність (3) правильна для всіх значень a, за яких sina¹0. Рівність (4) правильна для всіх значень a, за яких обидва вирази tga і ctga мають зміст. Рівність (5) правильна, якщо cosa¹0, а рівність (6) — якщо sina¹0.

Розглянуті рівності називають основними тригонометричними тотож- ностями.

Розглянемо застосування цих тотожностей.

задача 1. Знайдіть сosa, tga і ctga, якщо sinα =0,8 і π

< α < π.

2

розв’язання. Знайдемо cosa. З формули sin²a + cos²a = 1 дістанемо:

cos²a = 1 – sin²a. Відомо, що існують два протилежних числа, квадрат яких дорівнює даному додатному числу. Яке з них узяти в нашому випад- ку? Оскільки a є кутом ІІ чверті, то його косинус від’ємний.

Маємо: cosα = − −1 sin²α = − −1 0,64= − 0,36= −0,6.

Знаючи синус і косинус, знаходимо тангенс і котангенс:

α = α = = − = − α −

sin 0,8 4 1

tg 1 .

cos 0,6 3 3

Для знаходження котангенса застосуємо формулу tgactga = 1, звідси α = α

ctg 1 .

tg Отже, α = = −

−

1 3

ctg .

4 4

3

Отже, cosa = –0,6, tgα = −1 ,1

3 ctgα = −3. 4

задача 2. Знайдіть значення sina, cosa і ctga, якщо α =3

tg 4 і π < α < π3 4 . розв’язання. Кут a належить до ІІІ чверті, тому синус і косинус цього кута від’ємні, а котангенс — додатний.

За формулою + α = α

2

2

1 tg 1

cos знаходимо cosa. Маємо:

= +   =

α  

2 2

1 3 25

1 ;

4 16

cos ²α = 25 16=

cos 1: ,

16 25 а α = − 16

cos ,

25 тобто α = −4

cos .

5 За формулою sin²a = 1 – cos²a, враховуючи, що кут a належить до ІІІ чвер- ті, де синус від’ємний, знаходимо:

α = − −   = −

 

4 2 9

sin 1 ,

5 25 тобто α = −3

sin .

5 Нарешті, α =

α ctg 1 ,

tg отже, α = 3 α =4 ctg 1: ; ctg .

4 3

задача 3. Спростіть вираз α − α

α − α

4 4

tg ctg . sin cos

розв’язання. Замінимо в чисельнику тангенс і котангенс відповід- ними відношеннями й виконаємо віднімання утворених дробів, а вираз у знаменнику розкладемо на множники як різницю квадратів sin²a і cos²a.

Маємо:

( )( ) ( )

α − α α − α

α − α = α α = α α =

α − α α + α α − α ⋅ α − α

2 2

4 4 2 2 2 2 2 2

sin cos sin cos

tg ctg cos sin cos sin

sin cos sin cos sin cos 1 sin cos

α − α

= =

α α

α α α − α

2 2

2 2

sin cos 1

sin cos . cos sin (sin cos )

задача 4. Доведіть тотожність α = + α

− α α

sin 1 cos .

1 cos sin

розв’язання. Для доведення тотожної рівності двох виразів один з них або обидва тотожно перетворюють, намагаючись звести їх до од- накового вигляду. Часто використовують ще й такий спосіб: утворюють різницю лівої та правої частин даної рівності й спрощують її. Якщо в ре- зультаті дістали нуль, то це свідчить про тотожну рівність даних виразів.

Скористаємось останнім способом. Маємо:

( )( )

( ) ( )

( )

α − − α

α − − α + α

α − + α= = =

− α α − α α − α α

2 2

2 sin 1 cos

sin 1 cos 1 cos sin 1 cos

1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin

α − α

= =

− α α

2 2

sin sin 0.

(1 cos )sin

Отже, α + α

− α= α

sin 1 cos

1 cos sin . Тотожність доведено.

1. Яка формула дає можливість за даним значенням синуса (косину-

No documento Тарасенкова, 2018 © УОВЦ «Оріон», 2018 Бурда М (páginas 67-73)