Розв’яжіть задачі
348'. Побудуйте графік функції y = ctgx на проміжку (0; p), скористав- шись даними таблиці 9.
Таблиця 9
x 0 π
8 π 4
π 3
8 π 2
π 5
8 π 3
4 π 7
8 p
y = ctgx Не
існує 2,4 1 0,4 0 –0,4 –1 –2,4 Не існує 349'. Ви побудували графік функції y = ctgx лише на проміжку (0; p).
Зважаючи, що найменший додатний період котангенса дорівнює p, то за властивістю періодичних функцій на всіх інших проміжках, довжиною p одиниць, що лежать ліворуч і праворуч від проміжка (0; p), графік функції y = ctgx матиме такий самий вигляд. Урахо- вуючи це, побудуйте ще кілька кривих графіка функції y = ctgx праворуч і ліворуч від побудованої.
350'. Користуючись побудованим графіком функції y = ctgx, знайдіть і запишіть по три проміжки, на яких ця функція: 1) набуває додат- них значень; 2) набуває від’ємних значень.
Укажіть два числа (a і β), для яких котангенс дорівнює нулю.
Скільки таких чисел можна вказати?
351°. Побудуйте графік функції y = ctgx на проміжку (0; p), знаходячи значення котангенса у відповідних точках цього проміжку за допо- могою лінії котангенсів.
Побудову виконуйте в такій послідовності:
1) накресліть одиничне коло і проведіть лінію котангенсів.
Позначте на цьому колі числа 0 і p;
2) поділіть верхнє півколо одиничного кола на 8 рівних частин і по- значте числа, які зображені утвореними точками поділу;
3) накресліть прямокутну систему координат, узявши за оди- ничний відрізок радіус одиничного кола, і позначте на осі абсцис число p;
4) поділіть відрізок (0; p) на 8 рівних частин і позначте числа, які відповідають утвореним точкам поділу;
5) проведіть через кожну із цих точок перпендикуляри до осі Ox і на кожному з них побудуйте точку, ордината якої дорівнює котанген- су відповідного числа. Для цього виміряйте відповідний відрізок на лінії котангенсів і відкладіть його вгору або вниз (залежно від зна- ка котангенса) на побудованому перпендикулярі;
6) сполучіть побудовані точки плавною лінією і продовжте її вгору і вниз.
Порівняйте побудовану криву з відповідною частиною графіка функції y = ctgx, зображеного на малюнку 69.
352°. Користуючись графіком функції y = tgx, установіть проміжки, на яких вона монотонна, і вкажіть характер монотонності (зростає, спадає). Запишіть кілька таких проміжків.
353°. Якою (зростаючою, спадною) є функція y = ctgx на інтервалі (0; p)?
А на інших проміжках? Зробіть загальний висновок.
354°. Користуючись установленими властивостями функцій y = tgx та y = ctgx, порівняйте числа:
1) π
tg10 і π tg ;
12 3) tg0 і tg1; 5) ctg2 і ctg2,5;
2) tg(–3) і tg(–2,1); 4) 3π
ctg10 і π ctg ;
5 6) ctg−π
4 і − π ctg 3 .
4 355. Користуючись графіком функції y = tgx, знайдіть кілька значень
x, для яких tgx = 0. Скільки таких значень існує? Задайте множи- ну цих значень формулою.
356. У межах інтервалу (–2p; 2p) вкажіть за графіком функції y = tgx проміжки, на яких ця функція: 1) набуває додатних значень;
2) набуває від’ємних значень.
357. Виконайте завдання, аналогічне до попереднього, для функції котангенс.
358*. Розв’яжіть графічно нерівність:
1) tgx > 0; 2) tgx < 0; 3) ctgx > 0; 4) ctgx < 0.
359*. Побудуйте графік функції:
1) y = tg2x; 2) y = tg2x – 4.
360*. Укажіть послідовність перетворень, які необхідно здійснити щодо графіка функції y = tg1,5x, щоб дістати графік функції =tg +π.
y x 3
Проявіть компетентність
361. Проілюструйте графічно тотожність π+x = − x
tg 3 ctg .
2
Рівняння sinx = a
§ 18
Рівняння sinx = a належить до тригонометричних рівнянь.
Тригонометричними називають рівняння, які містять змінну лише під знаком тригонометричної функції.
Наприклад, = 2 = + =3
cos 2tg , 2cos 3sin 2, sin tg
x x x x x x 2— тригономе-
тричні рівняння.
Розв’язати тригонометричне рівняння — означає знайти множину всіх значень змінної, що задовольняють його. Ці значення змінної нази- вають розв’язками, або коренями, рівняння.
Зверніть увагу:
якщо число x0 є розв’язком тригонометричного рівняння, то з огля- ду на періодичність тригонометричних функцій розв’язком цього рівняння є будь-яке інше число, яке визначають, додаючи до даного або віднімаючи від нього певну кількість основних періодів.
Наприклад, число π
6 є розв’язком рівняння =1
sinx 2, бо π=1 sin6 2. Оскільки основний період функції синус дорівнює 2p, то розв’язком даного рівняння будуть також усі числа виду π+ π2 ,
6 n де n — ціле число (n Î Z).
Якщо одним із розв’язків рівняння tgx = a є число m, то всі числа виду m + pn, де n Î Z, є також розв’язками цього рівняння, бо основний період функції тангенс дорівнює p. Отже, тригонометричне рівняння або не має розв’язків, або має їх безліч.
Розв’язування будь-якого тригонометричного рівняння намагаються звести до розв’язування рівнянь виду sinx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a, що називаються найпростішими тригонометричними рівняннями.
Розглянемо, як розв’язати кожне з них.
Почнемо з рівняння sinx = a. Відомо, що область значень синуса — відрізок [–1; 1]. Тому якщо |a| > 1, то рівняння sinx = a не має розв’язків.
Нехай |a| < 1. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій y = a та y = sinx (мал. 70). З малюнка видно, що пряма y = a перетинає синусоїду безліч разів. Це означає, якщо |a| < 1, то рівняння sinx = a має безліч коренів. Оскільки синус має найменший додатний період 2p, то до- статньо спочатку знайти всі розв’язки в межах одного періоду. За графі- ком на малюнку 73 видно, якщо |a| < 1, то на відрізку [0; 2p] є два числа x1 і x2, синус яких дорівнює a. Якщо одне з них a, то друге p – a. Усі інші розв’язки рівняння sinx = a (|a| < 1) можна дістати з двох знайдених до- даванням періоду.
Отже, розв’язки цього рівняння визначаємо за формулами:
x = a + 2pk і x = p – a + 2pk = –a + p(2k + 1), k Î Z.
Ці дві серії розв’язків можна записати однією формулою:
x = (–1)ka + pk, k Î Z.
Справді, якщо k — парне число (k = 2n, n Î Z), то маємо:
x = (–1)2n a + 2pn = a + 2pn, тобто першу підмножину розв’язків;
якщо k — непарне число (k = 2n + 1, n Î Z), то
x = (–1)2n + 1 a + (2n + 1)p = –a + 2pn + p = p – a + 2pn, тобто маємо другу підмножину розв’язків.
Розв’яжемо, наприклад, рівняння = 2
sin .
x 2 Один з його розв’язків дорівнює π
4. Отже, загальна формула, що задає всі розв’язки даного рівняння, така: =(1) π+ π , ∈ .
4
x k k k Z
Конкретні значення x дістають, підставляючи в цю формулу замість k його значення з множини цілих чисел.
Наприклад,
якщо k = 0, = −( 1)0⋅ + π⋅ =π 0 π;
4 4
x
якщо k = 1, = − 1⋅ + π = − + π =π π 3π
( 1) ;
4 4 4
x
якщо k = 2, = − 2⋅ + π = + π =π π 9π
( 1) 2 2 ;
4 4 4
x
якщо k = –1, = − −1⋅ − π = − − π = −π π 5π
( 1) 4 4 4
x і т. д.
Мал. 70 y
x 1
−1Oα π − α 2π y = sin x
y = a
Зазначимо, що встановлена загальна формула виражає множину розв’язків рівняння sinx = a через один з них — число a. Тобто замість a можна взяти будь-яке число, що задовольняє рівняння sinx = a.
Наприклад, множину розв’язків рівняння = 2
sinx 2 можна записати не лише у вигляді формули = −( 1) π+ π , ∈ ,
4
x k k k Z а й формули
= − 3π+ π ∈
( 1) ,
4
x k k k Z, оскільки 3π
4 — це також корінь даного рівняння.
Кожна з наведених формул визначає одну й ту саму множину розв’язків.
У цьому легко переконатися, знаходячи конкретні значення x у кожному з випадків.
Щоб досягти однозначності в записі розв’язків найпростіших триго- нометричних рівнянь, домовилися вибирати значення одного з коренів a з того проміжку, на якому відповідна тригонометрична функція набуває всіх своїх значень, до того ж — кожного з них лише один раз, тобто з про- міжку зростання або спадання функції.
Для функції y = sinx таким проміжком обрано відрізок −π π; 2 2 . Тут вона зростає та набуває по одному разу всіх своїх значень від –1 до 1.
Розв’язок рівняння sinx = a, взятий із проміжку −π π;
2 2 , називають головним і позначають arcsina (читається «арксинус a»). Інакше кажучи,
arcsina — це число (кут) із проміжку ; 2 2
−π π
, синус якого дорівнює a.
Наприклад, 3 =π arcsin
2 3, бо π= 3
sin3 2 і π∈ − π π; ;
3 2 2
− = −π
arcsin 2
2 4, бо −π= − sin 2
4 2 і − ∈ −π π π; .
4 2 2
Узагалі, слід пам’ятати, що
arcsin(–a) = –arcsina, a > 0.
Отже, загальна формула розв’язків рівняння sinx = a має вигляд:
x = (–1)k arcsina + pk, k Î Z.
Розглянемо приклади розв’язування окремих рівнянь.
задача 1. Розв’яжіть рівняння x= −1
sin .
2 розв’язання. Загальна формула розв’язків
x= − k − + πk k∈ ( 1) arcsin 1 , ;
2 Z
− = − = −π
1 1
arcsin arcsin
2 2 6. Отже, x= − k−π+ πk k∈
( 1) , .
6 Z