2. ADUNAREA ŞI SCĂDEREA NUMERELOR NATURALE
12. Felurile de unghiuri. Măsurarea unghiurilor
A măsura unghiul — aceasta înseamnă a număra câte unghiuri unitate se conţin în el.
Atunci m ă rim e a sau, cum mai este primit de-a vorbi: m ă su ra de g ra d a unghiului întins este egală cu 180°.
Pentru măsurarea unghiurilor se foloseşte un dispozitiv special — ra p o rto ru l (fig. 8 6). El constă de obicei dintr-un seminel, îmbinat cu o riglă. Scara lui conţine 180 de diviziuni.
Fig. 86
Pentru a măsura unghiul, suprapunem vârful lui cu centrul rapor
torului astfel, ca una din laturile unghiului să coincidă cu marginea riglei (fig. 87). Atunci liniuţa de pe scară, prin care trece a doua latură va indica măsura de grad (mărimea)
acestei unghi.
Astfel, în figura 87 ZAOB = 53°, în figura 8 8 ZM ON = 136°.
Unghiurile egale au măsuri de grad egale. Din două unghiuri neegale mai mare se consideră acela, a cărui măsu
ră de grad este mai mare. De exemplu, din tre i unghiuri, re p rezen tate în figura 89, ZM ON este cel mai mare.
Ne putem convinge uşor în aceasta, măsurând unghiurile cu raportorul.
Mărimea unghiului are următoarea proprietate.
D a că du cem se m id re a p ta B D în tre la tu r ile u n g h iu lu i ABC, a tu n ci m ă su ra de g r a d a u n g h iu lu i ABC va f i e g a lă cu su m a m ă su rilo r d e g r a d a le u n g h iu rilo r ABD ş i D BC(fig. 90), a d ic ă
ZABC = ZABD
+
ZDBC.Menţionăm, că bisectoarea unghiului întins îl împarte în două un
ghiuri, măsura de grad a fiecăruia din ei este egală cu 90° (fig. 91).
Unghiul, a cărui năsură de grad este egală cu 90° se numeşte drept, în particular, în figura 91 fiecare din unghiurile AOC şi BOC este drept.
12. Felurile de unghiuri. Măsurarea unghiurilor 75
A C
zh. o в
Fig.89 Fig. 90 Fig. 91
Unghiul drept se notează aşa cum se arată în figura 92.
U nghiul, a c ă ru i m ă su ră d e g r a d este m a i m ică d e 90°, se n u m eşte a s c u ţit(fig. 93).
U nghiul, a c ă ru i m ă su ră de g r a d este m a i m a re d e 90°, în să m a i m ică de 180°, se n u m eşte o b tu z (fig. 94).
E X E M P L U L 1 Se dă semidreapta OA. Construiţi unghiul BOA, a cărui măsură de grad este egală cu 72°.
Rezolvare. Suprapunem centrul raportorului cu punctul O astfel, ca semidreapta OA să meargă după riglă. Alegem pe inelul raportorului liniuţa, care corespunde lui 72°. Lângă această liniuţă însemnăm punc
tul В (fig. 95). Ducem semidreapta OB. Unghiul BOA — cel căutat. ^ Dacă se dă semidreapta OA şi este construit unghiul BOA, atunci se spune, că de la semidreapta OA se depune unghiul BOA.
E X E M P L U L 2 Din vârful unghiului ABC ducem semidreptele BK şi BM astfel, că ZABK = 48°, ZCBM = 72° (fig. 96). Calculaţi mărimea unghiului ABC, dacă ZM B K =16°.
Q
Unghi drept Unghi ascuţit Unghi obtuz
Fig. 92 Fig. 93 Fig. 94
A
Fig. 95 Fig. 96
Rezolvare. Avem: ZABM = ZABK - ZM B K; ZABM = 4 8 °-1 6 ° = 32°;
ZABC = ZABM + ZCBM;
ZABC = 32° + 72° = 104°.
Răspuns: 104°.
1 .C are unghi se numeşte întins?
2 . în ce unităţi se măsoară unghiurile?
3 . Саге este măsura de grad a unghiului întins?
4 . Ce înseamnă a măsura unghiul?
5 . Cum se numeşte dispozitivul pentru măsurarea unghiurilor?
6 . Povestiţi cum se foloseşte raportorul.
7 . Ce măsuri de grad au unghiurile egale?
8 . Care din unghiurile neegale se consideră mai mare?
9 . Ce proprietate are mărimea unghiului?
1 0 .Care unghi se numeşte drept?
11 .Care unghi se numeşte ascuţit?
1 2 . Care unghi se numeşte obtuz?
1 3 . în ce unghiuri îm parte bisectoarea lui unghiul întins?
Rezolvăm oral
1. Numiţi două numere, din care unul este:
1) cu 27 mai mare decât celălalt;
2) cu 15 mai mic decât celălalt;
3) de 7 ori mai mic decât celălalt;
4) de 3 ori mai mare decât celălalt.
2. Ceasornicul merge înainte cu 10 min şi acum arată ora 10 şi 8 min.
Ce oră este în mod real?
3. Ceasornicul răm âne în urm ă cu 7 min şi acum indică ora 16 şi 55 min. Ce oră este realmente?
4. Care din următoarele ecuaţii nu au soluţii:
1) 2x = x; 4) Ox = 6; 7) 8x = 0;
2 ) 0x = 0; 5 ) x - x = x; 8) 3 - х = 2;
3) 3 - x = 3; 6) x + 6 = 7 + x; 9 ) l - x = 5?
5. Pentru a crea zonă verde, limitrofă unei străzi cu lungimea de 3 km, au plantat de o parte a ei copaci la distanţa de 2 0 m unul de altul.
Primul copac l-au plantat la începutul străzii, iar ultimul — la capă
tul ei. Câţi copaci au fost plantaţi? Cu ce este egală distanţa dintre primul şi al cincilea copac?
Exerciţii
299.° Desenaţi: 1) unghiul ascuţit EFC; 2) unghiul drept ORT] 3) un
ghiul obtuz D; 4) unghiul întins KAP.
12. Felurile de unghiuri. Măsurarea unghiurilor 7 7 300.° Găsiţi pe desenul 97 unghiuri ascuţite, obtuze şi drepte.
C
M
Fig.97
301. ° Care din unghiurile date sunt ascuţite, obtuze, drepte, în tin se: ZA = 96°, ZB = 84°, Z S = 180°, ZD = 90°, Z R = 162°, Z E = 60°, ZQ= 100°, ZM= 72°?
302. ° Găsiţi, folosind raportul, măsura de grad a unghiurilor, reprezen
tate în figura 98. Determinaţi tipul fiecărui unghi.
A C P
Fig.98
Aflaţi cu ajutorul raportorului, m ăsura de grad a unghiurilor, reprezentate în figura 99. Determinaţi felul fiecărui unghi.
C Q E F T A
304.° Desenaţi unghiul a cărui măsură de grad este egală cu: 1) 38°;
2) 124°; 3) 92°; 4) 90°; 5) 87°; 6) 54°; 7) 170°; 8) 65°. Determinaţi tipul fiecărui unghi.
Duceţi o semidreaptă. Depuneţi de la această semidreaptă unghiul al cărui măsură de grad este egală cu: 1) 40°; 2) 130°; 3) 6 8°; 4) 164°.
Determinaţi tipul fiecăruia din unghiurile construite.
306.° în figura 100 ZCMK= 132°, iar unghiul A M K— întins. Calculaţi mărimea unghiului AMC.
Fig.100 Fig.101
în figura 101 unghiul AO K — drept, ZCOP = 54°, iar unghiul COK — întins. Calculaţi mărimea unghiului AOP.
308.° Care din unghiurile, reprezentate în figura 102 este cel mai mare? cel mai mic?
A
Fig.102
309.’ Desenaţi unghiul CDE, care este egal cu 152°. Cu semidreapta DA împărţiţi-1 în două unghiuri astfel, ca ZCDA = 98°. Calculaţi mărimea unghiului ADE.
Desenaţi unghiul ABC, egal cu 106°. Cu ajutorul semidreptei BD îm părţiţi acest unghi în astfel de două unghiuri, ca ZABD = 34°.
Calculaţi mărimea unghiului DBC.
311.’ Din vârful unghiului drept BOM (fig. 103) sunt duse semidrepte- le OA şi OC în aşa un mod, că ZBOC = 74°, ZAOM= 62°. Calculaţi mărimea unghiului AOC.
Din vârful unghiului întins ACP (fig. 104) sunt duse semidrepte- le CF şi CT aşa, că ZACF= 158°, ZTCP= 134°. Calculaţi mărimea unghiului TCF.
313.* Oare este adevărată afirmaţia:
1) orice unghi, mai mic decât cel obtuz este ascuţit;
2) unghiul, mai mic decât unghiul întins este obtuz;
3) bisectoarea unghiului obtuz îl împarte în două unghiuri ascuţite;
4) suma măsurilor de grad a două unghiuri ascuţite este mai mare decât 90°;
5) unghiul, mai mare decât unghiul drept este obtuz?
12. Felurile de unghiuri. Măsurarea unghiurilor 79 314. * Aflaţi măsura de grad a unghiului dintre acele ceasornicului, dacă
ele indică: 1) ora 3; 2) ora 6; 3) ora 4; 4) ora 11; 5) ora 7.
315. * Semidreapta B K este bisectoarea unghiului CBD, ZABK= 146°
(fig. 105). Calculaţi măsura de grad a unghiului CBD.
D
Fig. 106
Semidreapta OA este bisectoarea unghiului COM, ZCOM = 54°
(fig. 106). Calculaţi măsura de grad a unghiului AOB.
317. * Duceţi trei drepte ce se intersectează într-un punct. Scrieţi toate unghiurile întinse care totodată s-au făcut.
318. Duceţi şase drepte care se intersectează într-un punct. Oare este adevărat că printre unghiurile care totodată s-au format, este unghi măsura de grad a căruia este mai mică decât 31°?
319. în ce mod, utilizând şablonul unghiului, a cărui măsură de grad este egală cu 13°, de construit unghiul, măsura de grad a căruia să fie egală cu 2°?
320. Cum de construit unghiul a cărui măsură de grad este egală cu
1°, folosind şablonul unghiului, a cărui măsură de grad este egală cu: 1) 19°; 2) 7°?
Exerciţii pentru repetare 321. Completaţi lănţuşorul de calcule:
1)
2)
322. Oare este adevărată inegalitatea:
(a + 253) • 7 < (9864 - a ) : 4 pentru a = 124?
323. în patru pahare este tot atâta lapte cât într-un borcan. într-un pahar şi un borcan sunt împreună lk g 200 g de lapte. Câte grame de lapte încap într-un pahar?
324. închirierea luntrei costă 16 gm pentru prima oră sau a unei părţi a ei. Fiecare oră următoare a închirierii sau a unei părţi a ei costă 12 gm.
Vasile a luat luntrea la ora 9 şi 40 min, iar a înapoiat-o la ora 13 şi 15 min a aceleiaşi zile. Cât a plătit Vasile pentru închirierea luntrei?
Problemă de la Bufniţa înţeleaptă
325. Un melc urcă pe o prăjină în decursul unei zile 3 m, iar noaptea coboară pe ea cu 2 m. In câte zile el va ajunge în vârful prăjinii, lungimea căreia este egală cu 2 0 m?