3. ÎNMULŢIREA ŞI ÎMPĂRŢIREA NUMERELOR NATURALE
20. Gradul (Puterea) numărului
Petrică a împărţit numărul 70 la un oarecare număr şi a obţinut restul 4. La ce număr a îm părţit Petrică?
547. “ Care poate fi cantitatea cea mai mare a zilelor de luni intr-un an?
548. Intr-o lună de toamnă zile de sâmbătă şi luni erau mai multe decât zilele de vineri. Care era această lună? în ce zi a săptămânii a fost data de nouăsprezece a acestei luni?
549. Se ştie că a — deîmpărţitul, b - împărţitorul, totodată a < b. Aflaţi catul incomplet şi restul de la împărţirea numărului a la numărul b.
550. Demonstraţi, că ultima cifră a numărului a este egală cu restul, obţinut de la împărţirea acestui număr la 1 0.
551. Gândiţi-vă la aşa o expresie literală, ca la înlocuirea în ea a li
terei cu orice num ăr natural să se obţină o expresie numerică, a cărei valoare, împărţită la 3, să dea restul 1.
Exerciţii pentru repetare
552. Simplificaţi expresia şi aflaţi valoarea ei:
1) 14a • 6b, dacă a = 2, b = 3; 3) 5я + 8я - Зя, dacă я 2) 25 m • 3 n, dacă m = 8, n = 1; 4) 16 у ~ y + 5 y, dacă у 553. Perim etrul dreptunghiului este egal cu
54 cm, iar lăţimea lui este cu 3 cm mai mică decât lungimea. Aflaţi laturile dreptunghiu
lui.
554. Rezolvaţi ecuaţia 8 ( З я - 16) = 208. Atra- geţi atenţia la faptul că rădăcina acestei ecua
ţii este egală cu vârsta persoanei, începând cu care se permite mersul cu bicicleta pe străzile oraşelor şi şosele.
Problemă de la Bufniţa înţeleaptă
555. Se ştie că sfoara va arde în 4 min şi arde totodată neuniform.
Cum cu ajutorul:
1) a unei sfori de m ăsurat 2 min;
2) cu două astfel de sfoare de m ăsurat 3 min?
20. Gradul (Puterea) numărului
După cum ştiţi cu ajutorul produsului este comod de scris suma a câţiva termeni egali.
De exemplu, 7 + 7 + 7 + 7 = 7 - 4 .
în matematică au inventat procedeul scrierii pe scurt a produsului, în care toţi factorii sunt egali.
De exemplu: 7 • 7 • 7 • 7 = 74.
Expresia 74 se numeşte p u te re şi se citeşte «gradul patru al nu
mărului 7» (şapte la puterea a patra). Totodată numărul 7 se numeşte b a za p u te rii, iar numărul 4 — ex p o n en tu l p u te rii. Numărul 4 ara
tă câţi factori, fiecare din ei egal cu 7, conţine produsul.
Calcularea valorii expresiei 74 se numeşte rid ic a re a n u m ă ru lu i 7 la p u te re a a patra.
Să examinăm exemple:
35 = 3- 3 - 3- 3 - 3 = 243;
53 = 5 • 5 -5 = 125;
IO2 = 10 • 10 = 100;
a4, = a • a • a • a;
(2 b )3 = 2b • 2b • 2b.
Gradul doi al numărului de asemenea se numeşte p ă tra tu l n u m ă
ru lu i. De exemplu, scrierea a2 se citeşte «a la pătrat». A treia putere a numărului (gradul trei al numărului) se numeşte cu b u l n u m ăru lu i, şi scrierea a3 se citeşte: «a la cub».
Oare poate exponentul puterii să fie egal cu unitatea? Da, poate.
Deoarece nu este primit de considerat produsul, care constă dintr-un singur factor, s-a convenit că a1 = a. De exemplu, 21 = 2, 171 = 17.
Atragem atenţia, că ridicarea numărului la putere — aceasta-i o operaţie aritmetică nouă. Să determinăm succesiunea efectuării ei în procesul aflării valorii a expresiei numerice.
D acă în expresia n u m erică este putere, a tu n c i la în cep u t se efectuează rid ica rea la putere, ia r apoi celelalte operaţii.
De exemplu: 5 • 22 = 5 • 4 = 20;
5 + 22 = 5 + 4 = 9.
1 . Cum se numeşte expresia 85? Cum totodată se numeşte numărul 8?
numărul 5?
2 . Cum se citeşte scrierea 85?
3 . Cum se numeşte puterea a doua a numărului? puterea a treia a numărului?
4 . Cum se citeşte scrierea a 2? a 3?
5 . Cu ce este egală puterea întâia a numărului?
6 . în ce succesiune se efectuează calculele, dacă în componenţa expre
siei intră puterea?
Rezolvăm oral 1. Rezolvaţi ecuaţia:
1) (x - 10): 2 = 20; 3) x • 10 - 2 = 8; 2) (x + 10) • 2 = 20; 4) x : 10 + 2 = 8.
2. Oare este corectă egalitatea 90 = 14 ■ 5 + 20? Oare se poate afirma că la îm părţirea numărului 90 la 14 obţinem câtul incomplet 5 şi restul 2 0?
2 0 . Gradul (Puterea) numărului 127 3. Vasilică a repartizat 60 dejnere în grămăjioare a câte 8 mere, şi
încă 4 mere lui i-au rămas. în câte grămăjioare Vasilică a repartizat merele?
4 . Un turist avea de parcurs o rută cu lungimea de 25 km. După ce el a mers 4 ore, lui i-a mai rămas să parcurgă 1 km. Cu ce viteză se deplasa turistul?
5. Pe două răzoare creşteau 20 tufe de trandafir. După ce au luat de pe primul strat de flori 2 tufe şi le-au plantat pe al doilea răzor, pe ambele răzoare erau câte 10 tufe de trandafir. Câte tufe de trandafir creşteau la început pe fiecare răzor?
Exerciţii
556. Numiţi baza şi exponentul puterii:
1) 48; 2) 1310; 3) a9; 4) 6m; 5) 239; 6) 931.
557. ° Simplificaţi expresia, înlocuind produsul factorilor egali cu putere:
1 ) 9- 9- 9 2) 10 • 10 ■
3 ) b - b ; 4) x • x •
9 -9 10;
9- 9;
x • x • x • x;
5) 3m • 3m • 3m 6) 6-6-...-6;
10 factori
7) У-У-...-У,
8 factori 8) c-c-...-c.
3m • 3m;
nfactori
4) 26; 5) O6; 6) l 12.
4) l 100; 5) 1001; 6) IO3.
3) 422:1 4 -4 2-6;
4) 8 3 : 42 - 23;
5) 252 : (24z + 72);
6) IO3 - IO2 + 93.
558.° Aflaţi valoarea expresiei:
1) З3; 2) 72; 3) 54;
Aflaţi valoarea expresiei:
1) 93; 2) 122; 3) 24;
560." Calculaţi:
1) IO2 - 72;
2) 53 - 52;
Calculaţi:
1) 32 + 42;
2) З3 + 23;
562.* Aflaţi valoarea expresiei:
1) 16 - c3, dacă c = 2;
2) x 3 - x 2, dacă x = 1 0; 3) 15a2, dacă a = 4;
4) a2b3, dacă a =6, b = 10;
Aflaţi valoarea expresiei:
1) x 2 - 14, dacă x = 5; 7; 18; 2) 2y2 + 13, dacă у =6; 8; 9; 100.
564.” Scrieţi în formă de putere cu baza 3 num ărul: 1) 9; 2) 27;
3) 243; 4)81.
3) 262- ( 1 2 2 - 3 + 175);
4) 6 3 - 2 • 43 - l 3;
5) 152 : (132 - 124);
6) 8 3 : (42 - 23).
5) (x2 - y2): (x - y), dacă x = A ,y = 2;
6) (x 2 - y2): x - y, dacă x = 4, у = 2;
7) x 2 - у2 : (x - у), dacă x = 4, у = 2;
8) x 2 - у2 : x - у, dacă x = 4, у = 2.
Scrieţi în formă de putere cu baza 2 numărul: 1) 4; 2) 16;
3)32; 4) 256.
566.“ Alcătuiţi expresia numerică şi aflaţi valoarea ei:
1) suma cubului a numărului 5 şi a pătratului numărului 8;
2) diferenţa pătratelor a numerelor 6 şi 2; 3) pătratul diferenţei a numerelor 6 şi 2.
Alcătuiţi expresia numerică şi aflaţi valoarea ei:
1) cubul diferenţei a numerelor 9 şi 8; 2) pătratul sumei a numerelor 8 şi 7;
3) suma pătratelor a numerelor 8 şi 7.
Exerciţii pentru repetare 568. Rezolvaţi ecuaţia:
1) 7 (x - 19) = 133; 3) 1344: (z + 26) = 32;
2) 9 (213 - 2x) = 927; 4) 384 : (51 - 5z) = 24.
569. Pentru prepararea a 10 porţii de îngheţată se cheltuie 200 g zahăr.
Pentru câte porţii de îngheţată vor ajunge 500 g zahăr?
570. Romică s-a gândit la un num ăr cu trei cifre, la care unul din ordine coincide cu un ordin al unuia din numerele 652, 153 şi 673, iar altele două nu coincid. La ce număr s-a gândit Romică?
m ш«Avi
W
At® Problemă de la Bufniţa înţeleaptă571. Pentru a cumpăra bilete la circ stăteau la coadă Mihăiţă, Nuţa, Petrică, Dumitraş şi Mărioara. M ărioara a cum părat biletul mai devreme decât Mihăiţă, dar mai târziu decât Nuţa, Petrică şi Nuţa nu stăteau alături, iar Dumitraş nu era alături nici cu Nuţa, nici cu Mărioara, nici cu Petrică. Cine după care stăteau la coadă?