Fracţii regulate şi neregulate

Compararea fracţiilor

Poate oare numărătorul fracţiei să fie egal cu numitorul ei? Da, poate. în figura 193 dreptunghiul a fost îm părţit în 7 părţi egale şi toate părţile sunt haşurate. Aşadar, iese la iveală că a fost haşurată

7

7 din aria dreptunghiului, adică tot dreptunghiul. Deci, ⁷

7 a dreptun­

ghiului sunt egale cu ¹ dreptunghi, adică ⁷

7 = ¹.

2 6 . Fracţii regulate şi neregulate. Compararea fracţiilor 167

Judecând analogic, obţinem, că, de exemplu, - = — = 1.

D a că n u m ă ră to ru l f r a c ţie i este e g a l cu n u m ito ru l, a tu n c i f r a c ţia este e g a lă cu u n ita tea .

în formă literală această concluzie se poate scrie astfel:

unde m — număr natural.

Fig.193 Fig.194

Oare poate apărea o astfel de situaţie «ieşită din comun», când nu­

mărătorul fracţiei este mai mare decât numitorul?

în figura 194 sunt reprezentate două dreptunghiuri egale, fiecare din ei este împărţit în 7 părţi egale. Noi am haşurat primul dreptunghi în întregime şi 4 din 7 părţi ale celui de-al doilea dreptunghi. în aşa cazuri se spune că au fost haşurate — părţi din dreptunghi.

7

Adresându-ne către figura 195 se poate spune, că oaspeţii, care au venit la ziua de naştere, pot mânca — din tortul de sărbătoare.13

Fig.195

F ra c ţia la care n u m ărăto ru l este m ai m ic decât n u m ito ru l se numeşte regulată.

F ra c ţia , la care nu m ărăto ru l este m ai m are decât num ito­

ru l sau este egal cu el, se numeşte neregulată.

De exemplu:

fracţiile —, — , — regulate;

2 12 584

fracţiile --- neregulate.

5 3 15

în figura 196 este reprezentat punctul Dacă segmentul OC de-1 depus de 11 ori de la punctul O, atunci obţinem punctul M, a cărui coordonată este egală cu —.

7

O

c

^{В D M}

I----•— •-

0 I 2

7 7

11 7 Fig.196

în figura 197 este haşurată - din dreptunghi. Totodată partea mai

7

5

mare ( - din dreptunghi) va rămânea nehaşurată. Se poate conchide,

7 . 5 2

ca - >

7 7

Acest exemplu ilustrează următoarea proprietate a fracţiilor.

D in tre două fr a c ţii cu n u m ito rii egali este m a i m are cea cu n u m ă ră to ru l m a i mare, ia r m a i m ică cea, la care n u m ă ră to ru l este m a i mic.

. 5 1 2 5 11 5

De exemplu, — > —; — < — ; — > —.

9 9 17 17 7 7

2 11

Să considerăm, fracţia regulată - şi fracţia neregulată —. Com-

7 9

2 7 2

parăm aceste fracţii cu u n ita te a. Avem: - < adică - < 1, iar

7 7 7

11 9 . . . 11 .

— > adica — >¹.

9 9 9

2 6 . Fracţii regulate şi neregulate. Compararea fracţiilor 169 Aceste exemple ilustrează aşa o proprietate:

to a te fr a c ţiile reg u la te su n t m a i m ici ca u n ita tea , ia r cele n ereg u la te — m a i m a r i sa u ega le cu u n ita tea .

Această proprietate permite de făcut aşa o concluzie.

F iecare fr a c ţie n ereg u la tă este m a i m a re d e c â t orice fr a c ţie reg u la tă , ia r fiec a re fr a c ţie re g u la tă este m a i m ică d e c â t orice fr a c ţie n eregu lată.

Тї 1 І5 3 4 7

De exemplu, — > — < —.

8 5 11 4

Menţionăm, că pe sem idreapta de coordonate din două fracţii este mai m are acea fracţie care este am plasată la d reap ta celei mici.

De exemplu, punctul este situat la dreapta punctului B ^ 5 2

deoarece - > - (fig. 196).

7 7

Să considerăm două dreptunghiuri la fel (fig. 198) şi să haşurăm

3 3

— a unui dreptunghi şi — din celălalt. Vedem că aria părţii haşurate a primului dreptunghi este mai mare decât aria părţii haşurate a

Fig. 198

Acest exemplu ilustrează aşa o proprietate a fracţiilor.

D in d o u ă f r a c ţii cu a c e ia şi n u m ă ră to ri este m a i m a re ace­

ea, la care n u m ito ru l este m a i m ic, ia r m a i m ică este cea, la care n u m ito ru l este m a i m are.

în clasa a 6-а o să vă învăţaţi a compara două fracţii ordinare arbitrare.

E X E M P LU Aflaţi toate valorile naturale ale lui a pentru care conco-

5 9

mitent fracţia — va fi regulată, iar fr a c ţia ---neregulată.

a a

Rezolvare. Pentru ca fracţia — să fie regulată, valorile lui a trebuie a

să fie mai mari ca 5, iar pentru ca fracţia — să fie neregulată, valorile9

a

lui a trebuie să fie mai mici sau egale cu 9. Atunci a poate primi una din patru valori: ⁶; 7; ⁸; 9. ^

3

1. Cu care număr este egală fracţia la care numărătorul este egal cu numi­

torul?

2 . Care fracţie se numeşte regulată?

3 . Care fracţie este numită neregulată?

4 . Care din două fracţii cu acelaşi numitor este mai mare? mai mică?

5 . Comparaţi cu unitatea orice fracţie regulată; orice fracţie neregulată.

6 . Comparaţi fracţia neregulată arbitrară cu orice fracţie regulată.

7 . Care din două fracţii cu aceiaşi numărători este mai mare?

Rezolvăm oral * 1 1. A câta parte constituie:

1) lungimea laturii pătratului din perimetrul lui;

2) secunda din oră;

3) ziua din anul bisect;

4) unghiul, măsura de grad a căruia este egală au 15° din unghiul drept;

5) unghiul, măsura de grad a căruia este egală cu 20° din unghiul întins?

2. Dumitraş se află la şcoală de la ora ⁸ şi 30 min până la ora 14 şi 30 min. Ce parte din o zi (24 ore) Dumitraş o petrece în şcoală?

3. Ionel a strâns 35 ciuperci, din care — constituie hribii. Câţi hribi a 4

strâns Ionel?

л . . . . w 4 . . л t

4. In livadă cresc 36 de vişini, ceea ce reprezintă — din toţi pomii. Câţi pomi cresc în livadă?

5. Un pieton şi un biciclist s-au pornit unul în întâmpinarea celuilalt din două orăşele, distanţa dintre ele fiind de 28 km. Pietonul până

2

la întâlnire a parcurs - din drum. Câţi kilometri a parcurs biciclis­

tul până la întâlnire?

2 6 . Fracţii regulate şi neregulate. Compararea fracţiilor 171

Exerciţii

723.° Scrieţi toate fracţiile regulate cu numitorul ⁸. Scrieţi toate fracţiile regulate cu numitorul 1 1. 725.° Scrieţi toate fracţiile neregulate cu numărătorul ⁸.

Scrieţi toate fracţiile neregulate cu numărătorul 1 1. 727.° Comparaţi numerele:

1)

13 si T_' і з ’ оч ^{3 7} • ^{3 4}

2) — şi —

41 41

o ⁴

3) — şi — ;

25 25

.. 1 1 . 11

4) — si —

15 ’ 13

^ 29 . 29

5) — şi —

5 6

«4 ⁵ • ⁵ 6) — şi —

23 24

Comparaţi numerele:

14 1 6 ■ 9

i) — şi — ;

23 23

04 ^{2 9} • ^{3 1}

58 58

Q4 1 7 ■2 1

3) ---- şi ----

1 0 0 1 0 0

• 4 17 . 17

4) — şi — ;

40 45

, , 9 . 9 5) - şi

6) — şi — ;

98 94

7 ) - ş i ! ;

8) — şi 1;

15

9) — şi 1;

34

, . 1 1

7) 1 şi

28 2 5 ’

6 8 6 8’

8) ¹ şi 9) Î ş i

1 0) - si — ;

3 ’ 19

114 ^{3 4}

11 4 Ş1 З 5

1 2) — şi

37 4

22 4

1 0) — şi

22 4

1 14 ^{2 7} • ^{2 8} 11) — şi — ;

28 27

729. Repartizaţi fracţiile în ordinea descreşteri:

20 27 ‘

730. Repartizaţi fracţiile în ordinea creşterii:

20 12)

6 Ş1 59' 4 _ 9 _ 8 _ 24 2 7 ’ 2 7 ’ 2 7 ’ 2 7 ’

1 # 7 _ 9 _ 17 20 ’ 20 ’ 20 ’ 20'

731.* Aflaţi toate valorile lui x, pentru care fracţia — va fi regulată.

732/ Aflaţi toate valorile lui x, pentru care fracţia — va fi regulată.X g 733." Aflaţi toate valorile naturale ale lui x, pentru care fracţia — va

fi neregulată. x

734. ' Aflaţi toate valorile naturale ale lui x, pentru care fracţia — va fi neregulată.

735. * în un schimb muncitorul trebuie să confecţioneze conform normei

Д у

63 de piese. Insă Ion Harnicu îndeplineşte — din normă. Câte piese face Ion Harnicu într-un schimb? Cu câte piese mai mult, decât e norma, el confecţionează într-un schimb?

736/ O porţie de sarmale în cafeneaua «Gogoşica» constă din 18 sar- male. Petrea Gurmadu mănâncă la dejun — porţii. Câte sarmale20

mănâncă la dejun Petrea? Cu cât mai multe sarmale, decât sunt în porţia obişnuită, el mănâncă?

737/ Aflaţi toate valorile naturale ale lui x, pentru care se îndeplineşte inegalitatea:

1) — ;

14 14 ²) —

16 *

Aflaţi toate valorile naturale ale lui x, pentru care se obţin in­

egalităţi corecte:

7 x

1) — ;

17 17

„ 4 1 2 1 2 2) — .

x 11

739/ Care cifre pot înlocui asteriscul, pentru ca:

1) fracţia

2) fracţia

4 * 6 476 584 5 * 6

să fie neregulată;

să fie regulată?

3 b + 2 16 42 10 + 4&

740/* Aflaţi toate valorile naturale ale lui b, pentru care fracţia va fi regulată.

Aflaţi toate valorile naturale ale lui b, pentru care fracţia va fi neregulată.

742/* Aflaţi toate valorile naturale ale lui a, pentru cate în acelaşi timp:

1) ambele fracţii — şi — vor fi regulate;

12 a

2) fracţia — va fi regulată, iar fracţia — va fi neregulată.

a a

Aflaţi toate valorile naturale ale lui pentru care concomitent:

d 9

1) ambele fracţii — şi — vor fi neregulate;

8 a

2) ambele fracţii — şi — vor fi neregulate, iar fracţia — va fi

10 a 13

regulată.

Exerciţii pentru repetare

744. Volumul paralelipipedului dreptunghic este egal cu 180 dm3, iar două dimensiuni ale lui — ⁶ dm şi 15 dm. Aflaţi suma lungimilor ale tuturor muchiilor paralelipipedului.

2 7 . Adunarea şi scăderea fracţiilor care au acelaşi numitor 173 745. Din două oraşe, distanţa dintre care este egală cu 392 km au

pornit în acelaşi timp unul în întâmpinarea celuilalt două automo­

bile. Viteza unui automobil este de 48 km/oră, ceea ce alcătuieşte — din viteza celuilalt automobil. Care va fi distanţa dintre automobile peste 5 ore de la începutul mişcării?

Problemă de la Bufniţa înţeleaptă

746. Vini-Puh, Purcelul, Ia şi Iepurele au mâncat împreună 70 de bomboane, totodată fiecare din ei a mâncat cel puţin o bomboană.

Vini-Puh a mâncat mai mult decât fiecare din ei, Iepurele şi Ia au mâncat împreună 45 de bomboane. Câte bomboane a mâncat Purce­

lul?

27. Adunarea si scăderea fracţiilorз з care au acelaşi numitorз

Numerele fracţionare, ca şi numerele naturale pot fi adunate şi scăzute.

în figura 199 dreptunghiul este îm părţit în 9 părţi egale. Mai întâi au fost colorate 2 părţi, iar apoi încă 5 părţi. Astfel a ieşit la iveală că au fost colorate — din dreptunghi. Atunci

„ . . . 2 5 2 + 5 7

se poate tace concluzia, ca - + - = ---= - .

9 9 9 9

Acest exemplu ilustrează aşa o re ­ gulă:

P en tru a afla su m a a dou ă f r a c ţii c a re au a c e la şi n um itor, tre b u ie de a d u n a t n u m ă r ă to r ii lor, ia r n u m ito­

r u l ră m â n e acelaşi.

în formă literală această regulă se scrie astfel:

a b a + b \

c c c

2 5

9 9

79

Fig.199

Să considerăm d ife re n ţa ---. A scădea din fracţia - fracţia -

9 9 9 9

înseamnă a afla aşa un număr, care în sumă cu numărul - dă nu-2 9

mărul —.

9

_ 2 5 7 . 7 2 5 Deoarece - + - = reiese c a ---= - .

9 9 9 9 9 9

P en tru a afla d ife re n ţa a d o u ă f r a c ţii cu a c e la şi num itor, treb u ie d in n u m ă ră to ru l d e sc ă zu tu lu i de s c ă z u t n u m ă ră to ru l sc ă ză to ru lu i, ia r n u m ito ru l ră m â n e acelaşi.

în formă literală această regulă se scrie astfel:

a b _ a - b c c c

în clasa a 6-а, o să vă învăţaţi a aduna şi scădea oricare două fracţii ordinare.

E X E M P L U Pentru a face tema de acasă la matematică lui Vasilică i-au fost necesare 32 min. Rezolvarea problemei a ocupat la el — dinз timpul cheltuit, iar rezolvarea ecuaţiei — ^ din timpul consumat. Câte minute a cheltuit Vasilică la rezolvarea problemei şi a ecuţiei?

3 2 5

Rezolvare. 1) — + — = — (din timp) — Vasilică a cheltuit pentru a S 8 8

rezolva problema şi ecuaţia.

2) 32 : 8 = 4 (min) — constituie — din tot timpul pierdut.

8

3) 4 ■ 5 = 20 (min) — Vasilică a întrebuinţat pentru rezolvarea problemei şi ecuaţiei.

Răspuns: 20 min. ^

1. Formulaţi regula adunării a două fracţii cu acelaşi numitor.

2. Formulaţi regula scăderii a două fracţii cu acelaşi numitor.

Rezolvăm oral 1

1. Care cifre pot fi puse în locul asteriscului, ca fracţia --- să fie regulată? 3*5

2. Pe tabla de şah sunt 14 figuri, din care 5 — negre. Ce parte din toate figurile alcătuiesc figurile albe? Ce parte din figurile albe alcătuiesc cele negre?

3. Din suma numerelor 19 şi 23 scădeţi 34.

4. La suma numerelor 18 şi 16 adunaţi diferenţa lor.

5. Dublaţi suma 37 + 100 + 63.

2 7 . Adunarea şi scăderea fracţiilor care au acelaşi numitor 175

6. Numiţi în ordine descrescătoare numerele — ; — ; 1: — ; — ;

49 49 49 49 49

Exerciţii

747. Efectuaţi operaţiile:

1) —

18 _ 11

Efectuaţi operaţiile:

5 3) ^{—23 14} 5) --- 1---^{3 6 8}

18 47 47 29 29 29

8 4) ^{31 1 6}. ₆) ^{29 14 9}

2 4 ’ 58 5 8 ’ 64 64 6 4 ’

n 5 6

1) ----1----;

19 19 ²) — ;

13 13

19 4 22 34 15 8

3 ) ----1---; 4 ) --- .

25 25 25 39 39 39

749.° Rezolvaţi ecuaţia:

4 11

15 15

Rezolvaţi ecuaţia:

n 7 9

1 0 1 0

2) — - x = — ;

21 21

4 12

3) * ---= — .

35 35

2) — ~ x = — .

32 32

751. în prima zi Mihăită a citit — din carte, iar în a doua z i ---

16 16

din carte. Ce parte din carte a citit Mihăiţă în două zile?

Pentru transportarea încărcăturii au fost folosite câteva camioa-

л g

ne. în unul din ele au pus — din încărcătură, iar pe al doilea —

0 19

— din încărcătură. Ce parte din încărcătură au transportat aceste două camioane?

753. Motanul Cotofei a consumat la dejun — kg de cârnăciori, iar з 2 0

vulpea Alisa — cu — kg mai mult, decât Cotofei. Câte kilograme

20

de cârnăciori au mâncat la dejun împreună Cotofei şi Alisa?

Pornind la plimbare broasca Tortila în prim a oră s-a tâ râ it

23 5

— km, ceea ce este cu — km mai mult, decât în a doua oră. Câţi

50 50

kilometri s-a târâit Tortila în două ore?

755.* Rezolvaţi ecuaţia:

52 z 25

1) ---= — ;

63 63 63

2) — + — =

38 38 38

3) ^{12 )} ---=“ ^{5 9} j ^{.. f 21^1 14}н— == --- .²⁵

U B ) 13 13 l 3 lJ 1 31 31

Rezolvaţi ecuaţia:

_*__13 _ 2 9 . 7 2 7 2 ~ 7 2 ’ 2) {— - o ) - — = — ;

V42 ) 42 42

3) 4)

15 17 29 43

757.* Un aprozar a vândut 240 kg de cartofi. în prima zi s-au vândut

3 7

— din cartofi, a doua z i ---. Câte kilograme de cartofi au fost

16 16

vândute în două zile?

Lungimea drumului construit alcătuieşte 92 km. în prima lună

6 9

au construit — din drum, iar în a doua lu n ă ---. Câţi kilometri

23 23

de drum au fost construiţi ân două luni?

Exerciţii pentru repetare

759. Găsiţi numerele, care nu ajung în lănţişorul calculelor:

760. Aflaţi toate numerele naturale, care fiind împărţite la 7 dau câtul incomplet egal cu restul.

Problemă de la Bufniţa înţeleaptă

761. într-o cutie sunt bile de culori diferite: 4 albe, 5 negre şi ⁶ roşii.

Care este cel mai mic num ăr de bile ce trebuie scoase din cutie, pentru ca printre ele să fie obligatoriu: 1) 3 bile de aceeaşi culoare;

2) bile de toate cele trei culori?

No documento § 1. NUMERE NATURALE (páginas 166-177)