Nesta se¸c˜ao, veremos uma condi¸c˜ao necess´aria para que o dom´ınio fundamental de Ford de um subgrupo c´ıclico de PU(n, 1) possua exatamente dois lados. Para isto vamos precisar do seguinte resultado central, que tamb´em ser´a utilizado na demonstra¸c˜ao do teorema de constru¸c˜ao de gupos discretos 4.2.1. No caso de transforma¸c˜oes de M¨obius, o teorema abaixo pode ser encontrado em [17, teorema 12, p´agina 53].
Nota¸c˜ao: Seja f uma aplica¸c˜ao em PU(n, 1) tal que f (q∞)6= q∞. Ent˜ao a esfera isom´etrica de Ford de f ser´a denotada por If, e a esfera isom´etrica de Ford de f−1 pode ser denotada por If−1 ou por I′
Teorema 3.3.1 Sejam If, Ih, Ih′, If h esferas isom´etricas de Ford de f, h, h−1, f h ∈ PU(n, 1) respecti-
vamente.
1. Se If e Ih′ s˜ao exteriores, uma `a outra, ent˜ao If h⊂ Int (Ih).
2. Se If e Ih′ s˜ao exteriormente tangentes em P , ent˜ao If h est´a no interior de Ih, e estas esferas s˜ao
tangentes em h−1(P ).
Dem.: Para a primeira afirma¸c˜ao, seja X um ponto de Ih ou o seu exterior, isto ´e, ρ0(X, h−1(q∞))≥ Rh
onde Rh denota o raio de Ih. Precisamos demonstrar que ρ0((f h)−1(q∞), X) > Rf h, onde Rf h denota o
raio de If h. Pela proposi¸c˜ao 1.5.3, temos que
ρ0((f h)−1(q∞), X) = R2 h ρ0(f−1(q∞), h(q∞)), ρ0(h(X), h(q∞)) ρ0(f−1(q∞), h(X)), e Rf h = RfRh ρ0(f−1(q∞), h(q∞)) . Como h(X)∈ Int (I′
h)∪ Ih′ ⊂ Ext (If), isto implica que
ρ0(h(q∞), h(X))≤ Rh e que ρ0(f−1(q∞), h(X)) > Rf.
Daqui, obtemos que
ρ0((f h)−1(q∞), X) = Rf h ρ0(f−1(q∞), h(X)) Rf Rh ρ0(h(X), h(q∞)) > Rf h,
que ´e a desigualdade desejada.
Para a segunda afirma¸c˜ao, suponhamos que If e Ih′ s˜ao tangentes exteriormente em P . Ent˜ao, o
desenvolvimento acima se aplica para todos os pontos, exceto para h−1(P ). Aplicando as f´ormulas acima
para X = h−1(P ), obtemos que
ρ0((f h)−1(q∞), h−1(P )) = Rf h ρ0(f−1(q∞), P ) Rf Rh ρ0(P, h(q∞)) = Rf h,
pois ρ0(f−1(q∞), P ) = Rf e ρ0(P, h(q∞)) = Rh. Ent˜ao, h−1(P ) ´e o ponto de tangˆencia das esferas Ih e
If h.
Vamos exibir agora exemplos de dom´ınios fundamentais de Ford com exatamente dois lados. Nestes exemplos, estar´a sendo utilizada a seguinte nota¸c˜ao:
Nota¸c˜ao: seja g∈ PU(n, 1) uma aplica¸c˜ao tal que gn(q
∞)6= q∞, para todo inteiro n. Para todo inteiro
n, vamos denotar por In e In′ as esferas isom´etricas de Ford de gn e g−n, respectivamente, e por Rn
o raio destas esferas. Tamb´em vamos utilizar I e I′ para denotar as esferas isom´etricas de g e g−1,
respectivamente, e R para denotar o raio destas esferas.
No caso de transforma¸c˜oes conformes agindo no plano complexo estendido, o teorema abaixo est´a demonstrado em [17, p´agina 53].
Teorema 3.3.2 Seja g um elemento em PU(n, 1) tal que a esfera isom´etrica de Ford I de g e a esfera
isom´etrica de Ford I′ de g−1 s˜ao disjuntas. Ent˜ao, g ´e loxodrˆomico, e o dom´ınio fundamental de Ford
para o grupo c´ıclico G gerado por g tem dois lados, limitados por I e I′. (veja a figura 3.2)
Dem.: Vamos demonstrar que I esconde I2, I2 esconde I3, etc., e que do mesmo modo, I′ esconde I2′, I2′
esconde I′
3, e assim por diante. Para ver isto, pegando no teorema 3.3.1 f = h = g, vemos que I2 est´a
Vamos estabelecer a rela¸c˜ao geral por indu¸c˜ao. Suponhamos que as esferas isom´etricas est˜ao arranjadas, como enunciado acima, at´e In e In′. Considere agora In+1 a esfera isom´etrica de Ford de gn+1. Escreva
gn+1= g gn. Pela hip´otese da indu¸c˜ao, I′
n, a esfera isom´etrica de Ford de g−n, est´a contida no Int (I′), e
daqui I′
n ´e exterior a I. Pegando f = g e h = gn, no teorema 3.3.1, conclu´ımos que In+1est´a contida no
interior de In. Pela mesma raz˜ao, podemos conclu´ır que In+1′ est´a contida no interior de In′.
Isto implica que I e I′ cont´em, em seus interiores, todas as outras esferas isom´etricas de elementos de
G. Assim, o dom´ınio fundamental de Ford de G ´e a regi˜ao exterior a estas duas esferas.
Vamos demonstrar agora que g ´e loxodrˆomico. De fato, visto que os raios de In tendem a zero
quando n tende a infinito e visto que as esferas isom´etricas dos elementos de G formam uma sequˆencia encaixante de esferas de Heisenberg, vemos que as sequˆencias gn(q
∞) e g−n(q∞), de centros destas esferas,
convergem. Sejam P = lim
n→∞g n(q
∞) e Q = lim n→∞g
−n(q
∞). ´E claro que P e Q s˜ao pontos fixos distintos
de g. Suponhamos agora que g tenha um outro ponto fixo X em Hn
C. Ent˜ao, para m suficientemente
grande, X est´a no exterior comum de Im e Im′ . Como X = gm(X) est´a no interior de Im′ , obtemos uma
contradi¸c˜ao. Isto significa que P e Q s˜ao os ´unicos pontos fixos de g contidos na fronteira do espa¸co hiperb´olico complexo, isto ´e, g ´e loxodrˆomico.
Figura 3.2: O dom´ınio fundamental de Ford de um grupo c´ıclico gerado por um elemento loxodrˆomico e sua proje¸c˜ao vertical.
Teorema 3.3.3 Seja g um elemento em PU(n, 1) tal que a esfera isom´etrica de Ford I de g e a esfera
isom´etrica de Ford I′ de g−1 s˜ao exteriormente tangentes em P . Ent˜ao, o dom´ınio fundamental de Ford
do grupo c´ıclico G gerado por g tem dois lados, limitados por I e I′. Mais ainda, se P ´e um ponto fixo de
g ent˜ao g ´e parab´olico, e se P n˜ao ´e ponto fixo de g ent˜ao este elemento ´e loxodrˆomico. (veja as figuras
3.3 e 3.4)
Dem.: Suponhamos que P n˜ao seja ponto fixo de g. Vamos demonstrar que I2 est´a no interior de I, e
que estas esferas s˜ao interiormente tangentes, I3⊂ Int (I2), I4⊂ Int (I3), etc., e que do mesmo modo, I2′
est´a no interior de I′ e que estas esferas s˜ao interiormente tangentes, I′
3 ⊂ Int (I2′), I4′ ⊂ Int (I3′), e assim
por diante. Para come¸car vamos pegar f = h = g no teorema 3.3.1. Isto implica que I2 est´a no interior
de I e que estas esferas s˜ao interiormente tangentes em g−1(P ). Do mesmo modo, pegando f = h = g−1
no teorema 3.3.1, conclu´ımos que I′
2est´a no interior de I′, e que estas esferas s˜ao interiormente tangentes
em g(P ).
Agora temos que I e I′
2s˜ao exteriores, uma a outra. Pelo teorema 3.3.1 com f = g e h = g2, conclu´ımos
que I3⊂ Int (I2). Do mesmo modo, como I′ e I2s˜ao exteriores, uma a outra, pegando f = g−1e h = g−2
no teorema 3.3.1, conclu´ımos que I′
3⊂ Int (I2′).
Vamos estabelecer a rela¸c˜ao geral por indu¸c˜ao. Suponhamos que as esferas isom´etricas est˜ao arranjadas, como enunciado acima, at´e In e In′. Considere agora In+1 a esfera isom´etrica de Ford de gn+1. Escreva
gn+1= g gn. Pela hip´otese da indu¸c˜ao, I′
n, a esfera isom´etrica de Ford de g−n, est´a contida no Int (I′), e
daqui I′
n ´e exterior `a I. Pegando f = g e h = gn, no teorema 3.3.1, conclu´ımos que In+1est´a contida no
interior de In. Pela mesma raz˜ao, podemos conclu´ır que In+1′ est´a contida no interior de In′.
Isto implica que I e I′ cont´em, em seus interiores, todas as outras esferas isom´etricas de elementos de
G. Assim, o dom´ınio fundamental de Ford de G ´e a regi˜ao exterior a estas duas esferas.
Podemos demonstrar que g ´e loxodrˆomico de maneira an´aloga a demonstra¸c˜ao do teorema anterior. Os pontos fixos de g s˜ao P = lim
n→∞ g n(q
∞) e Q = limn→∞g−n(q∞).
Suponhamos agora que o ponto de tangˆencia P , das esferas I e I′, ´e um ponto fixo de g. Vamos
demonstrar que I2´e internamente tangente `a I, I3´e internamente tangente `a I2e assim por diante, e que
do mesmo modo, I′
2 ´e tangente internamente `a I′, I3′ ´e tangente internamente `a I2′ e assim por diante.
Isto ´e, vamos demonstrar que todas estas esferas isom´etricas s˜ao tangentes em P . Para come¸car, pegando f = h = g no teorema 3.3.1, conclu´ımos que I2 ´e internamente tangente `a I no ponto g−1(P ) = P . Do
mesmo modo, pegando f = h = g−1 neste mesmo teorema, obtemos que I′
2´e internamente tangente `a I′
em g(P ) = P .
Vamos estabelecer a rela¸c˜ao geral por indu¸c˜ao. Suponhamos que as esferas isom´etricas est˜ao arranjadas, como enunciado acima, at´e In e In′. Considere agora In+1 a esfera isom´etrica de Ford de gn+1. Escreva
gn+1= g gn. Pela hip´otese da indu¸c˜ao, In′, a esfera isom´etrica de Ford de g−n, ´e internamente tangente
`a I′ em P . Assim I′
n e I s˜ao tangentes externamente em P . Pegando f = g e h = gn, no teorema 3.3.1,
conclu´ımos que In+1 est´a contida no interior de In, e que estas esferas s˜ao internamente tangentes em
g−n(P ) = P . Pela mesma raz˜ao, podemos conclu´ır que I′
n+1 est´a contida no interior de In′, e que estas
esferas s˜ao internamente tangentes em P .
Isto implica que I e I′ cont´em, em seus interiores, todas as outras esferas isom´etricas de elementos de
G. Assim, o dom´ınio fundamental de Ford de G ´e a regi˜ao exterior a estas duas esferas. Neste caso, tamb´em temos que lim
n→∞ g n(q
∞) e limn→∞g−n(q∞) s˜ao sequˆencias convergentes para um
ponto fixo de g. Mas, neste caso, estas duas sequˆencias convergem para o mesmo ponto P , o ponto de tangˆencia de I e I′. Isto implica que g ´e parab´olico.
Observe que a ´ultima afirma¸c˜ao deste teorema tamb´em ´e uma consequˆencia do teorema 3.2.1.
Figura 3.3: O dom´ınio fundamental de Ford, com dois lados tangentes, de um grupo c´ıclico gerado por um elemento loxodrˆomico e sua proje¸c˜ao vertical.
Figura 3.4: O dom´ınio fundamental de Ford de um grupo c´ıclico gerado por um elemento parab´olico unipotente e sua proje¸c˜ao vertical.