Invariante de Toledo - Representações de Grupos Fuchsianos no Espaço Hiperbólico Complexo

Seja Σ uma superf´ıcie Riemanniana, n˜ao necessariamente compacta, com caracter´ıstica de Euler negativa, e seja ρ : π1(Σ) → PU(n, 1) uma representa¸c˜ao do seu grupo fundamental em PU(n, 1). Seja D o plano

hiperb´olico, recobrimento universal de Σ, e seja ω a forma de K¨ahler de Hn

C. A representa¸c˜ao ρ, pela a¸c˜ao

de π1(Σ) no fibrado trivial D× HnC→ D, induz um fibrado plano

Xρ=

D_{× H}n_C

π1(Σ) −→ Σ

sobre Σ com fibra Hn

Ce holonomia ρ. O espa¸co total Xρ deste fibrado ´e o espa¸co quociente da a¸c˜ao de

π1(Σ) em D× HnC definida por

γ : (x, z) _{7−→ (γx, ρ(γ)z) ,} para x_{∈ D, z ∈ H}n

C e γ∈ π1(Σ).

Como a fibra Hn

C de Xρ é contrátil, vemos que este fibrado sempre admite uma se¸cão s : Σ → Xρ.

Sobre estas se¸c˜oes, podemos enunciar a seguinte afirma¸c˜ao.

Afirma¸cão: O conjunto das se¸cões s : Σ→ Xρ, do fibrado Xρ, está em correspondência biun´ıvoca com o

conjunto dos gr´aficos das fun¸c˜oes ρ-equivariantes f : D_{→ H}n

C. Aqui, uma fun¸c˜ao f : D→ HnC´e chamada

de ρ-equivariante se f (γx) = ρ(γ) f (x), para todo x_{∈ D e γ ∈ π}1(Σ).

Dem.: De fato, o gr´afico de toda fun¸c˜ao ρ-equivariante f : D_{→ H}n

C´e uma se¸c˜ao

s : D _{−→ D × H}n_C x _{7−→ (x, f(x))} do fibrado trivial D_{× H}n

C→ D que, por sua vez, induz uma se¸c˜ao s : Σ → Xρ do fibrado Xρ.

Reciprocamente, seja dada uma se¸c˜ao s : Σ _{→ X}ρ, do fibrado Xρ. Levantando s ao recobrimento

universal, obtemos uma se¸c˜ao ˜s : D_{→ D × H}n

Cdo fibrado trivial. Mas esta se¸c˜ao deve ser o gr´afico de uma

fun¸c˜ao f : D_{→ H}n

C, ou seja, ˜s(x) = (x, f (x)). Vamos mostrar que f ´e ρ-equivariante. De fato, como ˜s ´e o

levantamento de s, para todo γ _{∈ π}1(Σ), os pontos ˜s(x) = (x, f (x)) e ˜s(γx) = (γx, f (γx)) devem definir

o mesmo ponto no espa¸co quociente Xρ =

D_{× H}n C

π1(Σ)

. Isto ´e, deve existir g∈ π1(Σ) tal que g(x) = γ(x) e

Seja agora s : Σ_{→ X}ρ qualquer se¸c˜ao de Xρ, e seja f : D→ HnCqualquer fun¸c˜ao ρ-equivariante que

define s. Se ∆ ´e um dom´ınio fundamental para π1(Σ) em D, o invariante de Toledo da representa¸c˜ao

ρ, veja [60], ´e definido por

τ (ρ, f ) = 1 2π

∆

f∗ω. Passando ao quociente, como a forma f∗_{ω ´e invariante pela a¸c˜ao de π}

1(Σ) em D, ela origina uma forma

em Σ, que ainda ser´a denotada por f∗_{ω. Assim, tamb´em temos que}

τ (ρ, f ) = 1 2π

f∗ω. De uma maneira diferente, a forma de K¨ahler ω em Hn

C define uma 2-forma fechada ωρ em Xρ que

satisfaz a seguinte propriedade: se πHn

C : D× H

C → HnC e πρ : D× HnC→ Xρ s˜ao as proje¸c˜oes naturais,

ent˜ao πHn C ∗ ω = πρ ∗ ωρ.

Deste modo tamb´em temos que

τ (ρ, f ) = 1 2π

s∗ωρ.

Como o fibrado Xρ tem fibra contrátil, quaisquer duas se¸cões s1 e s2 deste fibrado são homotópicas.

Mas, fun¸cões homotópicas definem a mesma integral e, portanto, obtemos que o invariante de Toledo τ (ρ, f1) = τ (ρ, f2) independe da se¸cão s ou da fun¸cão ρ-equivariante f utilizada para a sua constru¸cão.

Assim podemos denotar o invariante de Toledo simplesmente por τ (ρ) ao inv´es de τ (ρ, f ).

Na defini¸cão do invariante de Toledo é necessário o cálculo de uma certa integral. Na maioria dos casos, este cálculo pode ser muito dif´ıcil de ser executado. Mas, Toledo demonstrou em [60] que, no caso de uma superf´ıcie compacta Σ, este cálculo pode ser feito através de uma integral no espa¸co hiperbólico complexo. Veremos esta passagem nas próximas se¸cões quando introduzirmos o conceito de cohomologia limitada de Gromov.

Para enunciar as principais propridades do invariante de Toledo, precisamos considerar os casos em que Σ é compacta ou não compacta. Pois para uma superf´ıcie compacta Σ é claro que o invariante de Toledo de qualquer representa¸cão ρ é finito. Já para superf´ıcies não compactas, nem sempre isto é verdade.

Suponhamos agora que Σ seja uma superf´ıcie de Riemann compacta, de gˆenero g e caracter´ıstica de Euler χ(Σ) = 2− 2g negativa, e suponhamos que seja dada uma representa¸c˜ao ρ : π1(Σ) → PU(n, 1). As

principais propriedades do invariante de Toledo desta representa¸c˜ao s˜ao: ([26], [9], [60]) 1.

τ (ρ) _∈ 2 n + 1Z. 2. _{−2g + 2 ≤ τ(ρ) ≤ 2g − 2.}

3. Se ρ(π1(Σ)) deixa invariante um R2-plano em HnC, ent˜ao τ (ρ) = 0.

4. conjuga¸cões holomorfas não alteram o invariante de Toledo, e conjuga¸cões anti-holomorfas trocam o sinal do invariante de Toledo.

Teorema 5.2.1 (Teorema de Rigidez de Toledo) Seja Σ seja uma superf´ıcie de Riemann compacta

de gˆenero g_{≥ 2. Uma representa¸c˜ao ρ : π}1(Σ) → PU(n, 1) deixa invariante uma linha complexa em HnC

se, e somente se, _{|τ(ρ)| = 2g − 2.}

Este teorema implica que as representa¸cões C-Fuchsianas, do grupo fundamental de uma superf´ıcie compacta em PU(n, 1), são r´ıgidas no sentido que qualquer perturba¸cão pequena de uma tal representa¸cão também é C-Fuchsiana.

Vamos definir agora os seguintes conjuntos:

Rep = Hom(π1(Σ), PU(n, 1)) PU(n, 1) Teich = Hom

∗_(π

1(Σ), PU(n, 1))

PU(n, 1) .

Rep é o conjunto, a menos de conjuga¸cões, de todas as representa¸cões ρ de π1(Σ) em PU(n, 1), e Teich

é o conjunto, a menos de conjuga¸cões, de todas as representa¸cões discretas e exatas.

Vamos nos concentrar agora no caso em que n = 2, isto é, vamos considerar somente representa¸cões em PU(2, 1), o grupo de isometrias holomorfas do espa¸co hiperbólico complexo de dimensão 2. Neste caso, como conjuga¸cões homomorfas não alteram o invariante de Toledo, vemos que este invariante τ pode ser definido como a seguinte fun¸cão cont´ınua

τ :Hom(π1(Σ), PU(2, 1))

PU(2, 1) −→

2 3Z

Sendo τ cont´ınua, ela assume os mesmos valores em cada componente conexa do espa¸co de representa¸cões Rep. No artigo [63], foi demonstrado que a rec´ıproca desta afirma¸cão também é verdadeira. Isto é, o invariante de Toledo distingue as componentes conexas do espa¸co Rep. Mais ainda, o espa¸co de todas as representa¸cões Rep = Hom(π1(Σ), PU(2, 1))

PU(2, 1) possui 6g− 5 componentes conexas distintas. Neste caso, de superf´ıcies compactas, ainda está em aberto a questão sobre as componentes conexas do espa¸co de Teichmüller Teich.

Lembramos que, no caso de superf´ıcies compactas, o invariante de Toledo τ satisfaz as condi¸c˜oes: τ _∈ 2

3Z e 2− 2g ≤ τ(ρ) ≤ 2g − 2. (5.1)

A respeito destas propriedades, no artigo [26], foram demonstrados os seguintes teoremas.

Teorema 5.2.2 Seja Σ uma superf´ıcie hiperbólica compacta de gênero g, e seja τ um número satisfazendo as duas condi¸cões (5.1). Então, existe uma representa¸cão ρ : π1(Σ)→ PU(2, 1) em que este número τ é

o seu invariante de Toledo.

Teorema 5.2.3 Nas hip´oteses do teorema acima, para todo inteiro par τ , existe uma representa¸c˜ao discreta e exata com este invariante de Toledo.

Para superf´ıcies compactas, ainda n˜ao foram respondidas as seguintes perguntas:

Pergunta 1: Se ρ : π1(Σ) → PU(2, 1) é uma representa¸cão discreta e exata, então τ(ρ) é um número

Pergunta 2: Dadas duas representa¸c˜oes ρ1, ρ2 : π1(Σ) → PU(2, 1), com τ(ρ1) = τ (ρ2), ent˜ao estas

representa¸c˜oes s˜ao conjugadas em PU(2, 1)?

Nas próximas se¸cões, vamos demonstrar que, para superf´ıces de Riemann não compactas, mas de área finita, o espa¸co de Teichmüller não é conexo e que o invariante de Toledo não distingue as componentes conexas deste espa¸co.

Vamos considerar agora o caso em que Σ seja uma superf´ıcie Riemanniana não compacta de gênero g, com p > 0 pontos retirados e caracter´ıstica de Euler χ(Σ) = 2− 2g − p negativa. Para uma representa¸cão qualquer ρ : π1(Σ) → PU(n, 1), nem sempre a integral

τ (ρ) = 1 2π

f∗ω ´e finita. Vejamos um tal exemplo.

Exemplo: Seja G um grupo Fuchsiano, agindo no plano hiperbólico D, que representa um toro Σ com um ponto retirado. Então, G é um grupo livre gerado por dois elementos hiperbólicos, digamos γ1 e γ2 e G

´e isomorfo ao grupo fundamental de Σ. Na linha complexa H1

C⊂ H2C, considere quatro linhas geod´esicas

completas, duas a duas disjuntas. ´E claro que existem elementos loxodrˆomicos h1 e h2 de PU(2, 1) de

modo que estes elementos identificam pares destas linhas geod´esicas. Deste modo, podemos definir uma representa¸c˜ao

ρ : G_{≃ π}1(Σ) → PU(2, 1)

simplesmente definindo ρ(γ1) = h1 e ρ(γ2) = h2(veja a figura 5.1). Neste exemplo, para qualquer fun¸c˜ao

ρ-equivariante f : D_{→ H}2 C, a integral τ (ρ, f ) = 1 2π Z Σ f∗_{ω ´e infinita.} D ρ H1 C⊂ H2C γ1 γ2 h1 h2

Figura 5.1: Uma representa¸c˜ao com invariante de Toledo infinito

Deste exemplo, conclu´ımos então que, para superf´ıcies não compactas Σ, alguma restri¸cão sobre a representa¸cão ρ deve ser adicionada, para se garantir a convergência da integral que define o invariante de Toledo. A hipótese natural a ser inclu´ıda é a de que esta representa¸cão preserve o tipo de elemento.

Defini¸c˜ao 5.2.1 Seja G um grupo Fuchsiano, agindo no plano hiperb´olico D, de modo que o quociente

Σ = D

G seja uma superf´ıcie Riemanniana não compacta mas de área finita. Uma representa¸cão ρ : G_{≃ π}1(Σ) → PU(2, 1)

preserva o tipo de elemento quando γ _{∈ G é parabólico se, e somente se, ρ(γ) é parabólico}

Observe que uma tal representa¸cão não possui núcleo muito grande, pois pelo menos os elementos parabólicos não estão no núcleo de ρ.

O nosso objetivo agora ´e demonstrar o seguinte teorema.

Teorema 5.2.4 Seja G um grupo Fuchsiano, agindo no plano hiperb´olico D, de modo que o quociente

Σ = D

G seja uma superf´ıcie Riemanniana de gˆenero g com p pontos retirados. Se ρ : G → PU(2, 1) ´e uma

representa¸c˜ao que preserva o tipo de elemento ent˜ao, a integral τ (ρ, f ) = 1

2π Z

f∗_{ω ´e limitada por}

−2g + 2 − p ≤ τ(ρ, f) ≤ 2g − 2 + p

A demonstra¸cão deste teorema utiliza a técnica de cohomologia limitada de Gromov que será apresen- tada nas próximas se¸cões.

5.3 Cohomologia limitada

Nesta se¸cão, vamos relembrar as propriedades básicas da técnica de Cohomologia limitada de Gromov. As referências básicas deste assunto são [31], [9], [33] e [4].

5.3.1 Homologia

Sejam X um espa¸co topol´ogico e Hk(X, R) o k-´esimo grupo de homologia singular de X com coeficientes

reais. Tamb´em vamos denotar por C∗(X, R) o complexo de cadeias singulares, com coeficientes reais, de

X. Uma cadeia c ∈ C∗(X, R) ´e uma combina¸c˜ao linear finita Pi aiσi de simplexos singulares σi de X,

com coeficientes reais ai. A ℓ1-norma simplicial em C∗(X, R) ´e definida por

k c k = X

|ai|.

Se α_{∈ H}_∗(X, R) ´e um elemento do grupo de homologia de X, definimos a sua ℓ1_{-norma simplicial por}

k α k = inf_c k c k ,

onde c percorre todos os ciclos de C_∗(X, R) que representam α_{∈ H}_∗(X, R).

Para uma variedade topológica fechada orientável V de dimensão n, temos que Hn(V, Z) ≃ Z. A

classe fundamental de homologia para V ´e um gerador [V ]_{∈ H}n(V, Z) deste grupo c´ıclico. Neste caso,

o volume simplicial de V , k V k, ´e definido como a ℓ1_{-norma simplicial desta classe fundamental, isto}

Para uma variedade n˜ao compacta, isto ´e, aberta, precisamos modificar um pouco o que foi feito acima a fim de definir o seu volume simplicial. Dizemos que um ciclo c =

∞

aiσi ´e localmente finito se, para

qualquer compacto K _{⊂ V , σ}i ∩ K 6= ∅ somente para uma quantidade finita de simplexos singulares

σi. A classe fundamental de V , denotada por [V ], ´e um tal ciclo localmente finito, e pode ent˜ao, ser

representado por c =

∞

aiσi. ´E claro que a ℓ1-norma simplicial deste ciclo k c k= ∞

|ai| pode ser

infinita. O volume simplicial de V ´e definido como a ℓ1_{-norma simplicial desta classe fundamental, que}

tamb´em pode ser infinito.

Os seguintes exemplos e teoremas s˜ao importantes nesta teoria.

Exemplo 1: [31, página 9] Seja Σ uma superf´ıcie de Riemann compacta de gênero g > 1, caracter´ıstica de Euler χ(Σ) = 2− 2g < 0 e curvatura constante -1. Então, o volume simplicial de Σ é

k Σ k = 2|χ(Σ)| = 4g − 4.

Teorema 5.3.1 [31, página 11] Seja V uma variedade n-dimensional hiperbólica completa de volume finito. Então, o volume simplical de V é dado por

k V k = _R1

nvolume(V ),

sendo que Rndenota o volume de um n-simplexo ideal no espa¸co hiperb´olico real HnR, com todos os v´ertices

no infinito.

Como um corol´ario deste teorema, podemos enunciar o seguinte resultado.

Corol´ario 5.3.1 Seja Σ uma superf´ıcie de Riemann completa de área finita e curvatura constante -1. Digamos que Σ tenha gênero g e p pontos retirados de modo que χ(Σ) = 2− 2g − p < 0. Então, o volume

simplicial de Σ ´e

k Σ k = _π1 ´area(Σ) = −2 χ(Σ) = −4 + 4g + 2p.

Esta ´ultima igualdade segue do teorema de Gauss-Bonnet, uma vez que Σ possui curvatura constante -1.

5.3.2 Cohomologia

Sejam X um espa¸co topológico e Hk(X, R) o k-ésimo grupo de cohomologia singular de X com coeficientes reais. Também vamos denotar por C∗_{(X, R) o complexo de cocadeias singulares, com coeficientes reais,}

de X. Agora, dada uma cocadeia c_{∈ C}k_{(X, R), definimos a sua ℓ}∞_{-norma simplicial por}

k c k = sup{ |c(σ)| onde σ : ∆k→ X ´e um k − simplexo singular em X }

E claro que este n´umero pode ser infinito. Assim, c ´e chamada de limitada se_{k c k< ∞.} Para uma classe de cohomologia β_{∈ H}k_{(X, R), definimos a sua ℓ}∞_{-norma simplicial por}

k β k = inf{ k c k onde c ∈ Ck(X, R) ´e uma cocadeia representando β_} Esta classe de cohomologia ´e limitada se_{k β k< ∞.}

5.3.3 Cocadeias geod´esicas

Seja G um grupo Fuchsiano agindo livremente no disco hiperb´olico D tal que Σ = D

G seja uma superf´ıcie de Riemann não necessariamente compacta, mas de área finita. Também, vamos denotar por πΣ : D → Σ a proje¸cão canônica. Vamos definir os grupos de cohomologia de Σ de uma maneira

diferente. Para k = 0, 1, 2, G atua no produto D_{× . . . × D, de k + 1 c´opias de D, do seguinte modo} γ(x0, . . . , xk) = (γx0, . . . , γxk). O quociente

Dk+1

G está em correspondência biun´ıvoca com o conjunto de k-simplexos singulares geodésicos em Σ. Isto é, cada ponto [x0, . . . , xk]∈

Dk+1

G define k + 1 pontos em Σ,_{πΣ(x0), . . . , πΣ(xk)}, que por sua vez, definem um k-simplexo singular geod´esico ligando estes pontos

por geodésicas em Σ. Definimos então, o conjunto de k-cocadeias geodésicas de Σ por Cgeok (Σ, R) = { c : Dk+1→ R tal que c(x0, . . . , xk) = c(γx0, . . . , γxk), ∀ γ ∈ G }.

Este é, precisamente, o conjunto das fun¸cões reais definidas em Dk+1_{invariantes pela a¸cão de G.}

Naturalmente, toda k-cocadeia geod´esica c : Dk+1

→ R induz uma fun¸c˜ao c : D

k+1

G → R e, portanto, define uma fun¸cão c : Σ_{× . . . × Σ → R, do produto de k + 1 cópias de Σ em R. Neste sentido, uma} k-cocadeia geodésica em Σ nada mais é do que uma fun¸cão c : Σ_{× . . . × Σ → R que associa a cada} conjunto de k + 1 pontos de Σ um número real.

O operador de cofronteira de Σ

δk: Cgeok (Σ, R) −→ Cgeok+1(Σ, R)

´e definido por: se c_{∈ C}k

geo(Σ, R) e (p0, . . . , pk, pk+1) s˜ao k + 2 pontos em Σ, ent˜ao

δkc(p0, . . . , pk, pk+1) = k+1

i=0

(₋₁₎ic(p0, p1, . . . , bpi, . . . , pk, pk+1).

Como sempre, a composi¸c˜ao δk◦ δk−1 ´e o homomorfismo trivial. Assim podemos definir o grupo de

cohomologia geod´esico de Σ por Hgeok (Σ, R) =

Ker δk

Im δ_k−1 =

k− cociclos geod´esicos k_{− cobordos geod´esicos}.

O próximo teorema, que afirma que o grupo de cohomologia geodésico computa a cohomologia singular da superf´ıcie Σ, é devido a Gromov. Uma demonstra¸cão pode ser encontrada em [4, lema C.4.3, página 106].

Teorema 5.3.2 Para todo k_{≥ 0, H}k

geo(Σ, R) ≃ Hk(Σ, R).

5.3.4 Cociclo de Toledo

Um dos mais importantes exemplos de cocadeias geodésicas é o cociclo de Toledo, que será definido nesta se¸cão.

Seja Σ uma superf´ıcie de Riemann n˜ao necessariamente compacta, D o recobrimento universal de Σ e G≃ π1(Σ) um grupo Fuchsiano agindo livremente em D tal que Σ =

G. Seja ρ : G≃ π1(Σ)→ PU(n, 1) uma representa¸c˜ao qualquer, e seja f : D→ Hn

C uma fun¸c˜ao ρ-equivariante qualquer que induz ρ, isto ´e,

O cociclo de Toledo c(ρ, f ) _{∈ C}2

geo(Σ, R) é a 2-cocadeia geodésica de Σ definida pela fórmula

c(ρ, f )(p0, p1, p2) =

(f x0,f x1f x2)

ω. Nesta equa¸cão, ω é a forma de Kähler de Hn

C, p0, p1 e p2 s˜ao trˆes pontos quaisquer em Σ, e x0, x1 e x2

são levantamentos destes pontos, em D_{× D × D, relativos à composi¸cão:} D_{× D × D −→} D× D × D

G −→ Σ × Σ × Σ. A integral acima ´e calculada sobre qualquer 2-simplexo em Hn

Ccom v´ertices f x0, f x1e f x2e cuja fronteira

é formada por geodésicas conectando estes pontos. Como ω é uma forma exata, esta integral depende apenas da fronteira deste 2-simplexo: linhas geodésicas conectando estes pontos. Mais ainda, sendo f ρ-equivariante, c(ρ, f ) não depende da escolha do levantamento (x0, x1, x2).

O próximo teorema, veja [20, página 218], apresenta uma rela¸cão entre o cociclo de Toledo e o invariante angular de Cartan.

Teorema 5.3.3 Sejam p0, p1 e p2 trˆes pontos distintos em HnC∪ ∂H n

C. Ent˜ao,

(p0,p1,p2)

ω = 2 A(p0, p1, p2) ,

onde a integral ´e calculada sobre qualquer 2-simplexo (p0, p1, p2) com v´ertices p0, p1 e p2 e com fronteira

formada por geod´esicas conectando estes pontos.

Como o invariante angular de Cartan ´e limitado por _{−π/2 ≤ A ≤ π/2, obtemos o seguinte corol´ario do} teorema anterior.

Corol´ario 5.3.2 O cociclo de Toledo representa uma classe de cohomologia limitada de Σ e sua ℓ∞_-norma

simplicial satisfaz a desigualdade

k c(ρ, f) k ≤ π.

O próximo resultado é o teorema principal da técnica de cohomologia limitada de Gromov [31]. Este teorema nos permite calcular o invariante de Toledo de uma representa¸cão ρ : π1(Σ)→ PU(n, 1).

Teorema 5.3.4 Se [Σ] denota a classe fundamental de homologia de Σ, ent˜ao para qualquer representa¸c˜ao

ρ : π1(Σ)→ PU(n, 1) e qualquer fun¸c˜ao ρ-equivariante f : D → HnC, o invariante de Toledo de ρ pode ser

calculado como

τ (ρ) = 1

2πc(ρ, f ) [Σ].

Finalmente, para o caso de uma superf´ıcie de Riemann não compacta de área finita, através deste teorema, vamos poder exibir um limitante superior e um limitante inferior para o invariante de Toledo de uma representa¸cão ρ : π1(Σ)→ PU(n, 1) que preserva o tipo de elemento. Mas, para isto, vamos precisar

Lema 5.3.1 Seja G um grupo Fuchsiano que uniformiza uma superf´ıcie Σ = D

G de gˆenero g, p > 0 pontos

retirados e caracteristica de Euler χ(Σ) = 2_{− 2g − p negativa. Ent˜ao, existe um dom´ınio fundamental}

∆, para G, formado por uma união de triângulos ideais em D. Mais precisamente, ∆ é limitado por um poligono geodésico com ℓ = 4g + 2(p− 1) lados e com todos os vértices na fronteira do plano hiperbólico D_{. Assim, ∆ é formado por}

T = ℓ − 2 = 4g + 2p − 4 = 2|χ(Σ)|

triˆangulos geod´esicos ideais.

Dem.: Considere um poligono geod´esico ideal ∆∗ _{em D com ℓ = 4g + 2(p}_{− 1) lados e com todos os}

v´ertices na fronteira de D. Vamos descrever uma identifica¸c˜ao de lados de ∆∗ _{de modo que: o grupo}

G∗ _{gerado por estes identificadores de lados seja discreto, ∆}∗ _{seja um dom´ınio fundamental para G}∗_{, e}

Σ∗= D

G∗ seja uma superf´ıcie Riemanniana de gˆenero g e com p pontos retirados.

Para isto, seguindo um sentido de percurso na fronteira do plano hiperb´olico D, nomeie os lados consecutivos de ∆∗ _{da seguinte maneira:}

• l1, k1, l′1, k1′, . . . , ln, kn, l′n, kn′, para n = 1, 2, . . . , g. Observe que estes lados somente devem ser

considerados se g > 0.

• h1, h′1, . . . , hn, h′n, para n = 1, 2, . . . , (p−1). Estes lados somente devem ser considerados se p ≥ 2.

Observe que, na descri¸c˜ao acima, est˜ao sendo nomeados todos os ℓ = 4g + 2(p− 1) lados de ∆∗_.

ln kn l′ n k′ n hn h′n

Figura 5.2: Esquema de identifica¸c˜ao de lados do poligono ideal ∆∗_.

Agora vamos descrever uma identifica¸c˜ao para os lados de ∆∗_{. Isto deve ser feito da seguinte maneira:}

(veja a figura 5.2)

• para n = 1, 2, . . . , g o lado ln´e identificado com o lado l′n por um elemento hiperb´olico, e o lado kn

´e identificado com o lado k′

n também por um elemento hiperbólico. Observe que estas identifica¸cões

somente devem ser consideradas se g > 0.

• para n = 1, 2, . . . , (p − 1) o lado hn ´e identificado com h′n por um elemento parab´olico que fixa o

v´ertice comum, na fronteira de D, a estes dois lados. Esta identifica¸c˜ao somente deve ser considerada se p≥ 2.

Vamos denotar por G∗ _{o grupo gerado por estes identificadores de lados. Pelo teorema de Poincar´e}

[41, se¸c˜ao IV.H], vemos que G∗_{´e discreto, e que ∆}∗_{limita um poligono fundamental para G}∗ _{em D. Mais}

ainda, os vértices de ∆∗ _s˜_{ao pontos fixos de elementos parabólicos de G}∗_{. Desta constru¸cão também é}

claro que ∆∗ _{uniformiza uma superf´ıcie Riemanniana Σ}∗₌ D

G∗ de gˆenero g e com p pontos retirados.

E claro que G∗ _{≃ π}₁_(Σ∗_{) e G} _{≃ π}₁_(Σ).

A figura 5.3 representa este dom´ınio fundamental para o caso g = 2 e p = 3. Já a figura 5.4 representa este dom´ınio para o caso g = 1 e p = 1 e para o caso g = 0 e p = 5. Por outro lado, também na figura 5.3, vemos uma indica¸cão de uma triângula¸cão de um poligono geodésico ideal de ℓ lados por T = ℓ_{− 2} triângulos geodésicos ideais.

Como as superf´ıcies de Riemann Σ e Σ∗_{possuem a mesma assinatura (g, p), existe um homeomorfismo}

quase conforme h : Σ∗_{→ Σ, entre estas superf´ıcies, que induz um isomorfismo ϕ : G}∗_{→ G que preserva o}

tipo de elementos (veja, por exemplo, [38]). Sendo o homeomorfismo h quase conforme, um levantamento eh : D → D, de h ao recobrimento universal, é ϕ-equivariante e pode ser estendido, a um homeomorfismo, até a fronteira de D. Assim, fica claro que eh(∆∗_{) é um dom´ınio fundamental para G limitado por 4g + 2(p}₋₁₎

curvas tangentes em ∂D. Agora, mantendo os pontos finais destas curvas, trocamos cada uma destas curvas por geodésicas completas e consideramos o poligono ideal ∆, limitado por estas geodésicas, e com todos os vértices na fronteira do plano hiperbólico. Deste modo, ∆ também possui ℓ = 4g + 2(p_{− 1) lados.} Aplicando o Teorema de Poincaré [41], vemos que este poligono ∆ é um dom´ınio fundamental para o grupo Fuchsiano G, limitado por 4g + 2(p_{− 1) geodésicas tangentes na ∂D. Como ilustrado na figura 5.3,} este poligono ∆ é formado por T = ℓ_{− 2 = 4g + 2p − 4 = 2|χ(Σ)| triângulos ideais no plano hiperbólico.} Mais ainda, os vértices de ∆ são pontos fixos de elementos parabólicos de G.

Figura 5.3: A figura da esquerda ilustra o dom´ınio fundamental ∆∗_{para o grupo que uniformiza a superf´ıcie}

de gênero g = 2 e p = 3 pontos retirados. A figura da direita ilustra como um poligono ideal geodésico ∆∗_{com ℓ lados pode ser formado por T = ℓ}_{− 2 triângulos geodésicos ideais em D.}

Agora vamos demonstrar que o invariante de Toledo, de qualquer representa¸cão ρ : G_{→ PU(n, 1),} que preserva o tipo de elemento, de um grupo Fuchsiano livre de torsão e com elementos parabólicos é limitado.

Figura 5.4: Dom´ınios fundamentais ∆∗ _{para os grupos que uniformizam a superf´ıcie de gˆenero g = 1 e}

p = 1 ponto retirado e a superf´ıcie de gˆenero g = 0 e p = 5 pontos retirados.

Teorema 5.3.5 Seja G um grupo Fuchsiano que uniformiza uma superf´ıcie Σ = D

G de gˆenero g, p > 0

pontos retirados e caracter´ıstica de Euler χ(Σ) = 2_{− 2g − p negativa. Para qualquer representa¸c˜ao que} preserva o tipo de elemento ρ : G_{→ PU(n, 1), tem-se que}

|τ(ρ)| ≤ |χ(Σ)| = 2g − 2 + p.

Dem.: Pelo lema anterior, sabemos que G possui um dom´ınio fundamental ∆ limitado por um poligono ideal geodésico com ℓ = 4g + 2(p− 1) lados e com todos os vértices na fronteira do plano hiperbólico. Isto implica que ∆ é formado por T = 2|χ(Σ)| triângulos ideais, com todos os vértices na fronteira de D. Vamos denotar cada um destes triângulo ideais por ∆i, ou seja,

∆ =

[

i=1

∆i,

e vamos denotar por ai, bi e ci os v´ertices, na fronteira de D, de ∆i. Mais ainda, seguindo um sentido

de percurso na fronteira de D, vamos nomear os lados consecutivos de ∆ como l1, l2, . . . , lℓ. Do mesmo

modo, vamos chamar, consecutivamente, os v´ertices de ∆ como v1, v2, . . . , vℓ.

Vamos construir agora, explicitamente, um fun¸c˜ao ρ-equivariante f : D→ Hn

Cque ser´a utilizada para

estimar os limitantes do invariante de Toledo da representa¸c˜ao ρ : G→ PU(n, 1).

O dom´ınio fundamental ∆ para G possui identificadores de lados g1, g2, . . . , gkque geram G (k = ℓ/2).

Estes geradores dividem o conjunto de vértices de ∆ em classes de equivalência de acordo com os identificadores de lados g1, g2, . . . , gk. Pelo Teorema de Poincaré, os elementos c´ıclicos correspondentes a

estas classes são parabólicos. Sejam p1, p2, . . . , pℓ elementos parabólicos de G tendo, respectivamente,

v1, v2, . . . , vℓ como pontos fixos.

Como a representa¸cão ρ : G→ PU(n, 1) preserva o tipo de elemento, temos que as seguintes aplica¸cões são elementos parabólicos em PU(n, 1): p∗

1= ρ(p1), . . . , p∗ℓ = ρ(pℓ). Sejam v1∗, v2∗, . . . , v∗ℓ os respectivos

pontos fixos destas aplica¸cões (todos eles pertencem à fronteira do espa¸co hiperbólico complexo). Observe também que o grupo G∗_{= ρ(G) é gerado por g}∗

1= ρ(g1), . . . , gk∗= ρ(gk).

Apesar da fun¸c˜ao ρ-equivariante f : D→ Hn

C, a ser construida, n˜ao estar definida na fronteira do plano

E importante observar que, no conjunto de vértices de ∆, esta fun¸cão f é ρ-equivariante. Isto significa que se vn é um vértice de ∆ e se g ∈ G, então f(g(vn)) = ρ(g) f (vn), para n = 1, 2, . . . , ℓ. De fato,

No documento Representações de Grupos Fuchsianos no Espaço Hiperbólico Complexo (páginas 89-101)