Grupos c´ıclicos loxodrˆ omicos

Todo elemento loxodrˆomico de PU(2, 1) ´e conjugado, em PU(2, 1), a uma composi¸c˜ao g = Dk◦ Rθde uma

rota¸c˜ao de Heisenberg Rθ, ao redor da cadeia vertical V, seguida por uma dilata¸c˜ao de Heisenberg Dk, de

fator de escala k. Assim, esta aplica¸c˜ao g pode ser representada pela seguinte matriz em U(2, 1):

g =      eiθ 0 0 0 1 + k 2 2k 1_{− k}2 2k 0 1− k 2 2k 1 + k2 2k     .

Os autovalores desta matriz s˜ao k, 1 k e e

iθ_{. No caso de θ = 0, este elemento loxodrˆomico ´e chamado de}

hiperb´olico e ele ´e, portanto, conjugado a uma dilata¸c˜ao de Heisenberg.

O dom´ınio fundamental de Ford do grupo c´ıclico, gerado por um elemento loxodrˆomico de PU(n, 1), possui uma quantidade finita de lados.

Teorema 3.4.1 Seja g um elemento loxodrˆomico em PU(n, 1) com g(q_∞) _{6= q∞}. Ent˜ao, o dom´ınio fundamental de Ford do grupo c´ıclido G gerado por g possui um n´umero finito de lados.

Dem.: Suponhamos que x e y sejam os pontos fixos de g. Vamos denotar por I e por I′ _{as esferas}

isom´etricas de g e g−1_{, respectivamente. Sabemos, pela observa¸c˜ao apresentada ap´os o teorema 3.2.1, que}

Int (I) cont´em somente um destes pontos fixos, e que Int (I′_{) cont´em o outro ponto fixo de g. Suponhamos,}

ent˜ao, que x∈ Int (I) e que y ∈ Int (I′_{). Por esta mesma observa¸c˜ao, temos que, para todo inteiro positivo}

n, x∈ Int (In) e y ∈ Int (In′). Como o raio Rn de In e In′ tende a zero, quando n tende a infinito, isto

o dom´ınio fundamental de Ford de G pode ser limitado somente pelas esferas isom´etricas de Ford de g, g2_{, . . . , g}N0 e de seus inversos.

No caso de uma aplica¸c˜ao g loxodrˆomica ser hiperb´olica, podemos demonstrar que o dom´ınio funda- mental de Ford do grupo c´ıclico gerado por g sempre possui exatamente dois lados, limitados por I e por I′_{, as esferas isom´etricas de Ford de g e g}−1_{, respectivamente.}

Teorema 3.4.2 Seja g uma aplica¸c˜ao hiperb´olica em PU(n, 1) tal que g(q_∞) _{6= q∞}. Ent˜ao, o dom´ınio fundamental de Ford do grupo c´ıclido G gerado por g possui exatamente dois lados, limitados por I e I′_.

Dem.: Seja ω qualquer ponto no espa¸co hiperb´olico complexo H2

C. ´E claro que ω n˜ao ´e ponto fixo de

nenhuma aplica¸c˜ao em G. Portanto, podemos definir o dom´ınio fundamental de Dirichlet D(ω) para G, com ponto base ω. No artigo [48], prova-se que, para todo ω ∈ H2

C, este dom´ınio de Dirichlet D(ω) ´e

limitado por dois lados disjuntos. Estes lados s˜ao exatamente as esferas isom´etricas de Dirichelt, com respeito a ω, de g e de g−1_:

Bg(ω) = { z ∈ HnC : |hZ, W i| = |hZ, g−1(W )i| }

Bg−1(ω) = { z ∈ Hn_C : |hZ, W i| = |hZ, g(W )i| },

sendo que Z e W s˜ao quaisquer vetores negativos em C2,1 _{que se prejetam, respectivamente em z e ω.}

Mais ainda, temos que Bg(ω) e Bg−1(ω) n˜ao se interceptam em H2_C∪ ∂H2_C.

Lembre-se de que, as esferas isom´etricas de Ford de g e g−1 _{s˜ao caracterizadas pelas equa¸c˜oes:}

I = _{{ z ∈ H}nC : |hZ, Q∞i| = |hZ, g−1(Q∞)i| }

I′ = { z ∈ Hn

C : |hZ, Q∞i| = |hZ, g(Q∞)i| }.

Deste modo, como observado em [20, p´agina 294], quando ω tende ao ponto ideal q∞, as esferas isom´etricas

de Dirichlet tendem `as esferas isom´etricas de Ford dos respectivos elementos, isto ´e, I = lim

ω→q∞

Bg(ω) e I′ = lim ω→q∞

Bg−1(ω) .

Como, Bg(ω) e Bg−1(ω) s˜ao disjuntos para todo ω, obtemos que as esferas isom´etricas de Ford I e I′, de g e

g−1, ou s˜ao disjuntas, uma contida no exterior da outra, ou que estas esferas s˜ao tangentes exteriormente. Em ambos estes casos, podemos aplicar ou o teorema 3.3.2 ou o teorema 3.3.3 para garantir que o dom´ınio fundamental de Ford de G, grupo c´ıclico gerado por um elemento hiperb´olico, possui exatamente dois lados.

De fato, pode-se demonstrar que as esferas isom´etricas de Ford I e I′_{, de um elemento hiperb´olico}

em PU(2, 1), s˜ao sempre disjuntas, uma contida no exterior da outra. Ou seja, estas esferas nunca s˜ao tangentes. Veja esta demonstra¸c˜ao em [18].

Se g ´e uma aplica¸c˜ao loxodrˆomica qualquer, ent˜ao o teorema anterior nem sempre ´e verdadeiro. Isto ´e, o dom´ınio fundamental de Ford, do grupo c´ıclico gerado por g, pode possuir mais de 2 lados. Vejamos um exemplo espec´ıfico desta situa¸c˜ao.

Exemplo: Neste exemplo vamos determinar o dom´ınio fundamental de Ford para um certo elemento loxodrˆomico de PU(2, 1). Neste caso, este dom´ınio ser´a limitado por 4 esferas de Heisenberg. Por simpli- cidade, vamos descrever a a¸c˜ao deste elemento na fronteira do espa¸co hiperb´olico complexo, dado atrav´es de coordenadas horoesf´ericas (ζ, v), ζ = x + iy.

Seja i a invers˜ao na cadeia de raio 2 centrada em (_{−1, 0) ∈ H. Seja j a invers˜ao na cadeia vertical} V _{= { (ζ, v) ∈ H | ζ = 0 }, e seja k a invers˜ao na cadeia vertical sobre o ponto (1, 0) ∈ H. Matrizes} unit´arias representando estas aplica¸c˜oes s˜ao:

i =  −1/2 −1 −1/2₋₁ 1 1 1/2 _{−1 −3/2}   , j =  10 ₋₁0 00 0 0 ₋₁   e k =  ₋₂1 −2 −21 2 2 _{−2 −3}   .

O elemento a ser considerado ´e g = kji. Matrizes unit´arias representando as aplica¸c˜oes g e g−1 _s˜ao:

g =  −3/2 −1 −3/21 3 3 −3/2 −3 −7/2   g−1 =  −3/2₋₁ 13 3/23 3/2 _{−3 −7/2}   . As aplica¸c˜oes g2_{e g}−2 _{s˜ao representas pelas seguintes matrizes unit´arias:}

g2 =  7/2_{−3 −1}3 9/2₋₃ 9/2 3 11/2   g−2 =   7/23 −3 −9/2_{−1 −3} −9/2 3 11/2   .

Por um c´alculo direto, aplicando a proposi¸c˜ao 1.5.1 ou a proposi¸c˜ao 1.5.8, vemos que as esferas isom´etricas de Ford de g, g−1_{, g}2 _{e g}−2 _{tem raio 2 e est˜ao centradas, respectivamente, sobre os seguintes pontos do}

grupo de Heisenberg:

α = (−1, 0) , α′ = (1, 0) , β = (−3, 0) e β′ = (3, 0).

Isto implica que I1 e I2′ s˜ao externamente tangentes em α′ = (1, 0), e que I1′ e I2 s˜ao externamente

tangentes em α = (−1, 0).

Observamos que, neste exemplo, continuamos a utilizar a nota¸c˜ao introduzida anteriormente: para todo inteiro n, In e In′ denotam, respectivamente, as esferas isom´etricas de Ford de gn e g−n.

Vamos demonstrar que o dom´ınio fundamental de Ford, do grupo c´ıclico G, gerado por g, ´e limitado por estas quatro esferas de Heisenberg: I1, I1′, I2 e I2′. (veja a figura 3.5)

I2 I1 I′ 1 I′ 2 I2 I1 I′ 1 I′ 2

Figura 3.5: Duas vistas para o dom´ınio fundamental de Ford, com quatro lados, do grupo c´ıclico gerado por um elemento loxodrˆomico.

De fato, como I2e I1′ s˜ao externamente tangentes em α, pelo teorema 3.3.1, vemos que I3´e internamente

tangente a I1em β = g−1(α) (veja a figura 3.6). Do mesmo modo, como I1e I2′ s˜ao externamente tangentes

em α′_{, vemos que I}

3 ´e internamente tangente a I2 em α = g−2(α′). Por outro lado, como I−2 e I−1′ s˜ao

externamente tangentes em α′_{, ainda pelo teorema 3.3.1, vemos que I}

β′ _{= g(α}′_{). Mais ainda, como I}

−1 e I−2′ s˜ao externamente tangentes em α, vemos que I−3 ´e internamente

tangente a I₋₂ em α′_{= g}2_{(α). Daqui, podemos concluir que I}

1 e I−3 s˜ao externamente tangentes em α′,

e que I₋₁ e I3 s˜ao externamente tangentes em α.

Agora, como I1e I3′ s˜ao externamente tangentes em α′, vemos que I4´e internamente tangentes a I3em

β = g−3_(α′_{), e como I}

−1 e I−3′ s˜ao externamente tangentes em α, temos que I−4´e internamente tangente

a I₋₃ em β′ _{= g}3_{(α). Agora temos que I}

1 e I4′ s˜ao exteriores, uma a outra. Portanto, pelo teorema 3.3.1,

I5⊂ Int (I4). Do mesmo modo, como I−1 e I−4′ s˜ao exteriores, uma a outra, vemos que I−5 ⊂ Int (I−4).

Continuando desta maneira, por indu¸c˜ao, prova-se que In ⊂ Int (In−1) e In′ ⊂ Int In−1′

para todo inteiro n _{≥ 5.}

I2

I1 I1′

I′ 2

I2 I1 I1′ I2′

Figura 3.6: O dom´ınio fundamental de Ford, e sua proje¸c˜ao vertical, para o grupo c´ıclico gerado por um elemento loxodrˆomico.

Isto demonstra a nossa afirma¸c˜ao, de que o dom´ınio fundamental de Ford, do grupo c´ıclico G, gerado por g, possui exatamente quatro lados limitados por I1, I1′, I2 e I2′.

Vamos agora analisar os ciclos de arestas deste poliedro fundamental. Este poliedro possui exatamente 3 arestas, a saber,

I2∩ I1 , I1∩ I1′ e I1′ ∩ I2′,

mas apenas um ciclo de arestas. Vamos determinar este ciclo atrav´es das id´eias desenvolvidas na se¸c˜ao 3.1.2. Vamos come¸car o ciclo da aresta e1= I1∩I2. Aplicando o elemento identificador de lados g obtemos

a resta e2= g(e1) = I1′ ∩ I1. Devemos ent˜ao agora aplicar o elemento identificador de lados g. Obtemos

a aresta e3 = g(e2) = I1′ ∩ I2′. Finalmente, aplicando o elemento identificador de lados g−2, obtemos a

aresta g−2_(e

3) = e1 = I1∩ I2. Assim, o ciclo est´a completo e obtemos, ent˜ao, a seguinte rela¸c˜ao c´ıclica:

g−2_{g g = 1 .}