Grupos c´ıclicos parab´olicos

3.4 Grupos c´ıclicos

3.4.2 Grupos c´ıclicos parab´olicos

Todo elemento parabólico g em PU(2, 1) é conjugado, em PU(2, 1), a uma rota¸cão de Heisenberg ao redor da cadeia vertical V seguida por uma transla¸cão de Heisenberg. Estes elementos podem ser classi- ficados como unipotentes ou el´ıptico-parabólicos, e os elementos unipotentes podem ainda ser principais ou não principais (veja [48, página 223]). Vamos detalhar estas defini¸cões para um elemento parabólico g_{∈ PU(2, 1).}

• g é unipotente se, e somente se, g pode ser representado por uma matriz em U(2, 1) possuindo somente o autovalor 1. Isto é, se e somente se, g é conjugado a uma transla¸cão de Heisenberg (a componente de rota¸cão é trivial). Os elementos unipotentes se dividem em duas sub-classes:

– g é parabólico não principal se for conjugado à uma transla¸cão de Heisenberg vertical. Neste caso, g possui uma infinidade de cadeias invariantes.

– g é parabólico principal se for conjugado à uma transla¸cão de Heisenberg não vertical. Neste caso, g não possui nenhuma cadeia invariante.

• g é el´ıptico-parabólico se for parabólico, mas não unipotente. Neste caso, g é conjugado à uma transla¸cão de Heisenberg vertical seguida por uma rota¸cão ao redor da cadeia vertical V. Assim, g possui autovalores 1 e eiθ_{, onde θ ´}_{a o ˆ}_{angulo de rota¸cão ao redor da cadeia vertical V. Isto é,}

g possui uma única linha complexa invariante Σ, na qual g age como um elemento parabólico, e g age como um automorfismo unitário não trivial no fribrado normal à Σ. Esta linha complexa Σ é chamada de eixo de g.

Vejamos agora algumas proposi¸cões a respeito de um elemento parabólico de PU(2, 1). A primeira proposi¸cão segue imediatamente da defini¸cão de um elemento parabólico unipotente.

Proposi¸c˜ao 3.4.1 Seja g ∈ PU(2, 1) parab´olico com ponto fixo P no grupo de Heisenberg H = C × R.

Então, g é parabólico unipotente se, e somente se, a derivada dg_|EP : EP → EP de g restrita ao plano de

contato EP, definido por P , ´e a aplica¸c˜ao identidade.

Proposi¸c˜ao 3.4.2 Sejam R e L dois R-c´ırculos distintos em ∂H2

C que se interceptam somente no ponto

P ∈ H. Então, R e L são tangentes em P se, e somente se, as restri¸cões das inversões nestes R-c´ırculos iR|EP e iL|EP, ao plano de contato EP, são iguais.

Dem.: Pelo lema [20, 5.2.9, página 167], os R-c´ırculos R e L são tangentes em P se e somente se, existe um elemento parabólico unipotente g∈ PU(2, 1), com ponto fixo P , tal que g(R) = L. Então, iL = giRg−1.

Como a restri¸c˜ao dg|EP ´e a identidade, obtemos que

Como um corolário destas duas últimas proposi¸cões podemos enunciar: Corol´ario 3.4.1 Sejam R e L dois R-c´ırculos distintos na ∂H2

C que se interceptam somente no ponto

P ∈ H. Então, a composi¸cão g = iR◦ iL, das inversões nestes R-c´ırculo, é parabólico unipotente se, e

somente se, R e L s˜ao tangentes em P .

Lema 3.4.1 Seja L um R-c´ırculo infinito em ∂H2

C, e seja π um plano Euclidiano, no grupo de Heisenberg

H = C × R, contendo L. A invers˜ao iL, em L, deixa o plano π invariante e permuta os semi-espa¸cos

limitados por π em _H.

Dem.: Vamos utilizar coordenadas horoesfércias (ζ, v) para o grupo de Heisenberg _{H = C × R, onde} ζ = x + iy. Observe que, se π não é um plano paralelo à cadeia vertical V, então π é um plano de contato EP para algum ponto P ∈ π. Então, π é uma esfera espinal em ∂H2C, e L é um meridiano de

π. Assim, este corolário segue do fato de que a inversão no meridiano de um bissetor deixa este bissetor invariante. Suponhamos agora que o plano π seja paralelo à cadeia vertical V. Neste caso, o resultado segue por absurdo. De fato, suponhamos que exista um ponto P ∈ π qual que iL(P )6∈ π. Então, o plano

α, contendo a reta L e o ponto iL(P ) é uma esfera espinal e L é um meridiano de α. Então, iL(α) = α e

iL(iL(P )) = P∈ α, que ´e um absurdo visto que α 6= π.

Vamos estudar agora o dom´ınio fundamental de Ford do grupo c´ıclico gerado por um elemento parabólico em PU(2, 1). Para isto, seja g _{∈ PU(2, 1) um elemento parabólico com ponto fixo P ∈ H.} Denote por I a esfera isométrica de Ford de g e denote por I′_{a esfera isométrica de Ford de g}−1_{. Sabemos}

que esta duas esferas de Heisenberg possuem o mesmo raio, e que elas est˜ao centradas, respectivamente, nos pontos α = g−1_(q

∞) e α′ = g(q∞). Pelo teorema 3.2.1, temos que P ∈ ITI′. Tamb´em, pela

proposi¸cão 1.5.10, podemos escrever g como g = iL◦ iR, sendo que iR é a inversão em um meridiano R

de I e iL é a inversão em um R-c´ırculo infinito tal que iL(I) = I′. Como g é parabólico, pelo teorema

1.5.1, temos que estes dois R-c´ırculos R e L se interceptam somente em P . Para caracterizar o dom´ınio fundamental de Ford do grupo c´ıclico gerado por g, ´e importante analisarmos alguns casos particulares.

CASO 1: P ´e um v´ertice de I

Neste caso, o plano de contato EP, definido por P , e o plano tangente TPI `a esfera de Heisenberg I

em P são iguais. Também temos que a cadeia vertical através de P é invariante por g = iL◦ iR. Então,

I′ _{= i}

L(I) ´e uma esfera de Heisenberg, centrada em um ponto nesta cadeia vertical, com um v´ertice

em P e com plano tangente em P igual à iL(EP) = EP. Então, I e I′ = g(I) são esferas de Heisenberg

externamente tangentes em P . Pelo teorema 3.3.3, o dom´ınio fundamental de Ford do grupo c´ıclico gerado por g possui exatamente dois lados limitados por I e I′_{. (veja a figura 3.7)}

Observe, pelo corolário 3.4.1, que g pode ser parabólico unipotente não principal se L e R são tangentes em P , e que g pode ser el´ıptico-parabólico se L e R não são tangentes em P . Neste caso, observe que o ponto ideal q∞ pertence ao eixo deste elemento el´ıptico-parabólico.

I′

I R

Figura 3.7: O dom´ınio fundamental de Ford do grupo c´ıclico gerado por um elemento parabólico unipotente não principal em PU(2, 1) ou de um elemento el´ıptico-parabólico tal que o ponto ideal pertence ao seu eixo.

CASO 2: P não é um vértice de I

Neste caso, o plano de contato EP, definido por P , e o plano tangente TPI, a esfera de Heienberg I em

P , são distintos, e eles se interceptam segundo uma reta Euclidiana no grupo de Heisenberg. Observe que esta interse¸cão é um R-c´ırculo infinito tangente à R em P . Aqui, precisamos considerar mais dois casos.

CASO 2.a: P não é um vértice de I, e R e L são tangentes

Neste caso, o R-c´ırculo infinito L é igual à interse¸cão EP T TPI. Pelo lema 3.4.1, temos que iLdeixa o

plano tangente TPI invariante, e que iLpermuta os semi-espa¸cos limitados por TPI. Assim, as esferas de

Heisenberg I′_{= i}

L(I) e I possuem o mesmo plano tangente em P , o que implica que elas s˜ao externamente

tangentes em P . Pelo teorema 3.3.3, o dom´ınio fundamental de Ford do grupo c´ıclico gerado por g possui exatamente dois lados limitados por I e I′_{. (veja a figura 3.8)}

Observe, pelo corolário 3.4.1, que g é parabólico unipotente principal.

I I′

L R

Figura 3.8: O dom´ınio fundamental de Ford para o grupo c´ıclico gerado por um elemento parab´olico unipotente principal em PU(2, 1).

CASO 2.b: P não é um vértice de I, e R e L não são tangentes

Neste caso, o R-c´ırculo infinito L intercepta a esfera de Heisenberg I em P e em um outro ponto. Então, g = iL◦ iRé el´ıptico-parabólico, e I′= iL(I) intercepta I segundo uma curva fechada contendo P .

Portanto, I e I′ não são tangentes em P . Observe também que o ponto ideal q∞ não pertence ao eixo de

g. Nestas condi¸c˜oes, prova-se, veja a referˆencia [18], que o dom´ınio fundamental de Ford do grupo c´ıclico gerado por g possui uma quantidade infinita de lados. (veja a figura 3.9)

I I′

L R

Figura 3.9: Algumas faces para o dom´ınio fundamental de Ford para o grupo c´ıclico gerado por um elemento el´ıptico-parab´olico de PU(2, 1) tal que o ponto ideal n˜ao pertence ao seu ao seu eixo.

Para terminar esta se¸c˜ao, vamos resumir o que foi demonstrado acima nos seguintes teoremas.

Teorema 3.4.3 Suponhamos que g seja um elemento parab´olico unipotente em PU(2, 1) com ponto fixo

P _{6= q}_∞. Denote por I e I′ _{as esferas isom´etricas de Ford de g e g}−1_{, respectivamente. Ent˜}_ao,

1. Se g é unipotente não principal, então P é um vértice comum de I e I′_{, e estas esferas s˜}_{ao externa-}

mente tangentes em P .

2. Se g é unipotente principal, então P não é um vértice de I nem de I′_{, e estas esferas s˜}_{ao externamente}

tangentes em P .

Teorema 3.4.4 O dom´ınio fudamental de Ford do grupo c´ıclico gerado por um elemento parab´olico unipo- tente g em PU(2, 1) ´e limitado por dois lados tangentes Ig e Ig−1.

Observe que este teorema é análogo ao teorema de Phillips [48] que afirma que o dom´ınio de Dirichlet para o grupo c´ıclico gerado por um elemento parabólico unipotente em PU(2, 1) possui exatamente dois lados.

Teorema 3.4.5 Seja g_{∈ PU(2, 1) um elemento parabólico tal que g(q}_∞)_{6= q}_∞. Se as esferas isométricas de Ford de g e g−1 _n˜_{ao s˜}_{ao tangentes ent˜}_{ao, g é el´ıptico-parab´}_olico.

Teorema 3.4.6 Seja g uma isometrica el´ıptica-parab´olica do espa¸co hiperb´olico complexo H2

C tal que

g(q∞)6= q∞. Denote por F (G) o dom´ınio fundamental de Ford do grupo c´ıclico G gerado por g.

1. Se o ponto ideal q∞ pertence ao eixo de g, ent˜ao F (G) possui precisamente dois lados.

2. Se o ponto ideal q_∞ n˜ao pertence ao eixo de g, ent˜ao F (G) possui uma infinidade de lados.

Observe que este resultado ´e an´alogo ao teorema do Parker [45] que afirma que o dom´ınio fundamental de Dirichlet Dz0(G), com ponto base z0 ∈ H

C, para o grupo c´ıclico G gerado por um elemento el´ıptico-

parab´olico de PU(2, 1) possui dois lados se z0 pertence ao eixo de G e Dz0(G) possui uma infinidade de

lados que z0 n˜ao pertence ao eixo de g.

Dos teoremas enunciados acima, a única afirma¸cão que não está demonstrada nesta tese é a segunda afirma¸cão do teorema 3.4.6. Na próxima se¸cão, vamos demonstrar esta afirma¸cão para um exemplo espec´ıfico. A demonstra¸cão geral pode ser encontrada em [18].

No documento Representações de Grupos Fuchsianos no Espaço Hiperbólico Complexo (páginas 72-76)