Esta se¸c˜ao apresenta algumas aplica¸c˜oes deste estudo de representa¸c˜oes de grupos triangulares em PU(2, 1) e, particularmente, do estudo do grupo Γ(4, η).
Teorema 6.6.1 Para todo g≥ 2, existe um caminho cont´ınuo ρη: π1(Sg) −→ PU(2, 1)
de representa¸c˜oes do grupo fundamental de uma superf´ıcie compacta de gˆenero g em PU(2, 1), parame- trizado por 0 ≤ η < π
4, e que se inicia em um representa¸c˜ao ρ0 R-Fuchsiana. Mais ainda, neste
caminho n˜ao existem representa¸c˜oes conjugadas em PU(2, 1), e todas elas possuem invariante de Toledo igual a zero.
Dem.: Observe que, tendo em vista o teorema 6.4.4, para demonstrarmos este resultado, basta resolvermos o seguinte problema: dado um triˆangulo regular no plano hiperb´olico D, com v´ertices A, B e C, ˆangulos internos π/n e com reflex˜oes i, j e k nos lados BC, AC e AB, respectivamente, existe um subgrupo de ´ındice finito G do grupo triangular R(π/n) tal que o quociente D/G seja homeomorfo a Sg, uma superf´ıcie
compacta de gˆenero g≥ 2 ? Se este for o caso, ent˜ao G ´e isomorfo ao grupo fundamental π1(Sg) de Sg.
Se sabemos da existˆencia de G para um dado gˆenero g, usando a deforma¸c˜ao de triˆangulos regulares descrita em 6.4.4, obtemos uma fam´ılia ρη, a um parˆametro, de representa¸c˜oes do grupo fundamental de Sg
no grupo de isometrias holomorfas do espa¸co hiperb´olico complexo H2
C A B
D
Figura 6.20: Um triˆangulo A, B, C de ˆangulos π/4 no disco hiperb´olico e o seu quadril´atero de Schwarz.
uma representa¸c˜ao R-Fuchsiana, e o invariante de Toledo para uma representa¸c˜ao do grupo fundamental de uma superf´ıcie compacta assume um conjunto discreto de valores, cada elemento ρη desta fam´ılia faz
satisfazer a igualdade τ (ρη) = 0.
Uma vez que para cada gˆenero g≥ 3, existe um recobrimento finito Sg → S2(com g− 1 folhas), basta
construir G para g = 2. Observe que, do recobrimento acima, π1(Sg) < π1(S2).
Para resolver o problema, considere primeiramente o grupo de Schwarz Γ0 = hki, kji, subgrupo de
´ındice 2 de R(π/n). Se D = k(C), o quadril´atero Q0 = ACBD ´e um dom´ınio fundamental para a a¸c˜ao
de Γ0 em D, cujos ˆangulos s˜ao A = B = 2π/n e C = D = π/n.
Vamos identificar quais s˜ao as restri¸c˜oes a uma constru¸c˜ao de um subgrupo G do grupo triangular R(π/n), de ´ındice finito, e tal que D/G seja homeomorfo a uma superf´ıcie compacta S2de gˆenero g = 2.
Nesse caso, D/G ´e homeomorfo a um recobrimento finito com, digamos, m folhas do quociente S0= D/Γ0,
que por sua vez pode ser descrito como uma esfera com trˆes pontos marcados, cada um deles com ordem n, isto ´e, S0 tem assinatura (0 : n, n, n). Lembre-se de que uma superf´ıcie de Riemann marcada com
assinatura (g : ν1, . . . , νq) ´e uma superf´ıcie de gˆenero g, que tem q pontos marcados com ordens ν1, . . . , νq
[2, defini¸c˜ao 10.4.1, p´agina 268]. Quando se quer incluir tamb´em superf´ıcies n˜ao compactas de ´area finita, o s´ımbolo νj=∞ ´e usado para significar um ponto retirado. A caracter´ıstica de Euler de uma tal superf´ıcie
´e dada por χ = 2− 2g −
q
X
j=1
(1− 1/νj) (onde considera-se 1/νj = 0 para pontos retirados).
Assim, χ(S0) = 2− 3(1 −
1 n) =
3− n
n e o n´umero m, de folhas do recobrimento D/G→ S0, satisfaz −2 = χ(D/G) = mχ(S0) = m3− n
n , ou seja, m = 2n n− 3 .
Como partimos de um triˆangulo regular com ˆangulos π/n em D, temos n≥ 4, e como m = n2n − 3 ´e decrescente com n, segue que m(n) ≤ m(4) = 8. Assim, uma condi¸c˜ao necess´aria para a constru¸c˜ao do recobrimento ´e que existam n´umeros inteiros n≥ 4 e 2 < m ≤ 8 satisfazendo
Nestas condi¸c˜oes, as ´unicas solu¸c˜oes (n, m) desta equa¸c˜ao s˜ao (4, 8), (5, 5), (6, 4) e (9, 3). A primeira das solu¸c˜oes listadas leva `a tentativa de construir um pol´ıgono com 8 c´opias de um quadril´atero Q0= ACBD
como acima (Schwarz), gerado por um grupo triangular com ˆangulo π/4. A menos de uma transla¸c˜ao em Isom(D), podemos pensar que um dos v´ertices com ˆangulo π/4 (por exemplo C) ´e o centro de D (veja figura 6.20). Agora, colamos mais 7 c´opias de Q0 adjacentes a C, cada c´opia obtida da anterior por uma
invers˜ao num lado que cont´em C, invers˜ao esta que ´e um elemento de R(π/4). (veja figura 6.21). O resultado ´e um oct´ogono regular ∆ no plano hiperb´olico com todos os ˆangulos iguais a π/4.
Vamos descrever agora uma identifica¸c˜ao dos lados de ∆ de modo que: os elementos identificadores de lados de ∆ geram um grupo discreto G, com dom´ınio fundamental limitado por ∆, e que uniformiza a superf´ıcie S2=
∆
G compacta de gˆenero 2. Esta identifica¸c˜ao deve ser feita da seguinte maneira. Como as invers˜oes nos lados do oct´ogono ∆, assim como as invers˜oes nos diˆametros (que s˜ao lados de alguma c´opia de Q0) s˜ao elementos de R(π/4), podemos identificar os pares de lados opostos de ∆ da seguinte
maneira. Cada par de lados opostos tem um diˆametro d perpendicular comum, portanto, s˜ao disjuntos. Da´ı, a invers˜ao num destes lados seguida da invers˜ao no diˆametro perpendicular a d, identifica os lados e ´e um elemento hiperb´olico do grupo R(π/4). Como o poligono ∆ tem lados identificados, pelo Teorema de Poincar´e [41], vemos que o grupo G gerado por estes identificadores de lados ´e discreto, e que ∆ ´e um dom´ınio fundamental para G. Para isto, deve ser observado que em ∆ existe apenas um ciclo de v´ertices com comprimento exatamente 8 e soma dos ˆangulos igual a 2π. Da´ı S2=
∆
G ´e uma superf´ıcie Riemanniana compacta de gˆenero 2 e sem pontos marcados. Mais ainda, G ´e isomorfo ao grupo fundamental π1(S2) e,
pela constru¸c˜ao, temos que
π1(S2) ≃ G < R(π/4).
Desta demonstra¸c˜ao, obtemos a seguinte inclus˜ao de grupos.
Teorema 6.6.2 Vamos denotar por π1(Sg) o grupo fundamental de uma superf´ıcie de Riemann compacta
de gˆenero g, e vamos denotar por R(π/4) o grupo gerado pelas reflex˜oes nos lados de um triˆangulo ∆⊂ D com ˆangulos internos iguais a π/4. Ent˜ao, para todo g≥ 2,
π1(Sg) < π1(S2) < R(π/4).
Mais ainda, nestas inclus˜oes, cada grupo ´e um subgrupo de ´ındice finito do grupo que o cont´em.
Lembre-se de que o invariante de Toledo τ (ρ), de uma representa¸c˜ao ρ : π1(Sg) −→ PU(2, 1), do
grupo fundamental de uma superf´ıcie compacta de gˆenero g em PU(2, 1), deve satisfazer as condi¸c˜oes (5.1), reproduzidas abaixo:
τ ∈ 2
3Z e 2− 2g ≤ τ(ρ) ≤ 2g − 2.
Mais ainda, temos que se ρ estabiliza um R2-plano, ent˜ao τ (ρ) = 0 e tamb´em temos o Teorema de
Rigidez de Toledo 5.2.1, que afirma que as representa¸c˜oes ρ : π1(Sg) −→ PU(2, 1) que preservam uma
linha complexa s˜ao r´ıgidas. Isto significa que qualquer perturba¸c˜ao pequena de uma tal representa¸c˜ao ainda preserva uma linha complexa em H2
C. Em contraste com este fato, o teorema que acabamos de
demonstrar afirma que as representa¸c˜aoes R-Fuchsianas n˜ao s˜ao r´ıgidas. Isto ´e, se ρ : π1(Sg) −→ PU(2, 1)
´e uma representa¸c˜ao R-Fuchsiana do grupo fundamental de uma superf´ıcie compacta Sgem PU(2, 1), ent˜ao
existem deforma¸c˜oes, t˜ao pequenas quanto se queira de ρ, de modo que o resultado seja uma representa¸c˜ao que n˜ao estabiliza nenhum R2-plano em H2
Figura 6.21: Um dom´ınio fundamantal para a superf´ıcie compacta de gˆenero 2, contendo 16 c´opias do triˆangulo de ˆangulos internos π/4.
Como π1(Sg) ´e um subgrupo de ´ındice finito de R(π/4), pelo que observamos na se¸c˜ao anterior, nem
sempre a representa¸c˜ao
ρη : π1(Sg) −→ PU(2, 1),
enunciada no teorema 6.6.1, ´e discreta e exata. De fato, para η = ηf = arccos
5√2 8
!
, observamos que esta representa¸c˜ao cont´em elementos parab´olicos acidentais. Isto ´e, o grupo ρη(π1(Sg)) cont´em
um elemento parab´olico que ´e a imagem, por ρη, de um elemento hiperb´olico. Daqui, podemos enunciar
o seguinte teorema.
Teorema 6.6.3 Seja Sg a superf´ıcie Riemanniana compacta de gˆenero g ≥ 2. Ent˜ao, na fronteira do
espa¸co de representa¸c˜oes
ρ : π1(Sg) −→ PU(2, 1)
existem representa¸c˜oes com elementos parab´olicos acidentais. De maneira mais exata, existe um caminho
ρη: π1(Sg) −→ PU(2, 1) parametrizado para 0≤ η ≤ ηf
tal que no ponto inicial η = 0, ρ0 ´e R-Fuchsiana e no ponto final η = ηf = arccos 5
√ 2 8
!
, ρηf ´e uma
representa¸c˜ao que cont´em elementos parab´olicos acidentais.
Um exemplo de uma representa¸c˜ao contendo elementos parab´olicos acidentais foi obtido por Belegradek [3]. O nosso m´etodo tem uma vantagem em rela¸c˜ao ao exemplo de Belegradek pois, mostramos que este
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