Nesta se¸c˜ao, vamos aplicar o teorema de constru¸c˜ao 4.2.1 para uma configura¸c˜ao muito especial de esferas de Heisenberg. Neste caso, o conjunto limite do grupo gerado pelos identificadores de lado ser´a um c´ırculo topol´ogico na fronteira do espa¸co hiperb´olico complexo.
Sejam g1, g2, . . . , glelementos de PU(n, 1) tais que o conjunto
{S1, S1′, . . . , Sl, Sl′},
das esferas isom´etricas de Ford destes elementos e de seus inversos, satisfa¸ca as condi¸c˜oes do teorema 4.2.1. Ent˜ao, o grupo G gerado por g1, g2, . . . , gl´e discreto e o exterior D de todas estas 2l esferas ´e um dom´ınio
fundamental para G em Hn C.
Vamos dizer que este conjunto de esferas {S1, S1′, . . . , Sl, Sl′} ´e um colar de p´erolas de Ford se
podemos organiz´a-lo em um conjunto como{A1, A2, . . . , A2l} tal que A1´e tangente a A2, que ´e tangente
a A3, e assim por diante, at´e A2l, que, por sua vez, ´e tangente a A1. Para fixar as id´eias, veja a figura 4.1,
de um desenho esquem´atico para um colar de p´erolas de Ford. Consulte tamb´em a referˆencia [41, se¸c˜ao VIII.F.2].
Figura 4.1: Vista esquem´atica para um colar de p´erolas de Ford
Na se¸c˜ao anterior, demonstramos que cada ponto de tangˆencia de duas destas esferas ´e ponto fixo de um elemento parab´olico de G. Ent˜ao, aplicando os argumentos utilizados na demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao [41, se¸c˜ao VIII.F.2], podemos demonstrar que o conjunto limite Λ(G) do grupo G ´e um c´ırculo topol´ogico na fronteira do espa¸co hiperb´olico complexo.
Vamos considerar agora o espa¸co hiperb´olico complexo H2
C de dimens˜ao 2. Suponhamos que um colar
de p´erolas de Ford esteja entrela¸cado (linked) no grupo de Heisenberg H = C × R (veja a figura 4.2). Ent˜ao, o n´o se reproduz a cada reflex˜ao do grupo G e, assim, em toda vizinhan¸ca U de um ponto limite, o conjunto limite de G ´e infinitamente entrela¸cado. Isto implica que U− Λ(G) tem grupo fundamental infinitamente gerado. Portanto, temos que Λ(G) ´e um n´o selvagem emH.
Observamos que, este fato tamb´em ´e uma consequˆencia do Teorema de Van Kampen. De fato, sabemos que o conjunto regular de G, em ∂H2
C, ´e a uni˜ao das imagens g(D) do dom´ınio fundamental D, por
elementos g∈ G. Mais ainda, estas imagens s˜ao coladas por faces do poliedro D. Assim, como o conjunto limite de G ´e o complementar do conjunto regular, vemos que, em cada uma destas faces, existe uma curva fechada n˜ao homot´opicamente trivial no conjunto regular de G. Portanto, pelo Teorema de Van Kampen, vemos que o complementar do conjunto limite de G tem grupo fundamental infinitamente gerado.
Lembramos que um n´o K em S3´e a imagem de uma fun¸c˜ao cont´ınua injetora S1→ S3. Dizemos que
´
E claro que esta defini¸c˜ao ´e equivalente a dizer que existe um homeomorfismo f de S3que transforma
K em um n´o f (K) diferenci´avel em S3. ´E importante observar que se K ´e um n´o d´ocil em S3, ent˜ao o
grupo fundamental π1(S3\ K) ´e finitamente gerado.
Por outro lado, um n´o K em S3 ´e chamado de n´o selvagem se K n˜ao ´e d´ocil. Assim, se o grupo
fundamental π1(S3\ K) ´e infinitamente gerado tem-se que K ´e um n´o selvagem em S3.
Estas observa¸c˜oes d˜ao a demonstra¸c˜ao do seguinte teorema.
Teorema 4.3.1 Sejam g1, g2, . . . , gl elementos de PU(2, 1) tais que o conjunto {S1, S1′, . . . , Sl, S′l}, das
esferas isom´etricas de Ford destes elementos e de seus inversos, forme um colar entrela¸cado de p´erolas de Ford. Se estes elementos satisfazem as hip´oteses do teorema 4.2.1, ent˜ao o grupo G, gerado por
g1, g2, . . . , gl, ´e discreto, e o seu conjunto limite ´e um n´o selvagem na fronteira do espa¸co hiperb´olico
complexo.
Cap´ıtulo 5
Espa¸co de Teichm¨uller
Seja G um grupo Fuchsiano que age sem pontos fixos no plano hiperb´olico D e que uniformiza uma superf´ıcie Σ = D
G de gˆenero g, p pontos retirados e, portanto, com caracter´ıstica de Euler χ(Σ) = 2−2g −p negativa. Se π1(Σ) denota o grupo fundamental de Σ, ent˜ao G e π1(Σ) s˜ao isomorfos. Durante este cap´ıtulo
estaremos sempre confundindo estes grupos. Neste sentido, representa¸c˜oes ρ : G→ PU(n, 1),
do grupo Fuchsiano G em PU(n, 1), tamb´em podem ser interpretadas como representa¸c˜oes ρ : π1(Σ) → PU(n, 1),
do grupo fundamental de Σ em PU(n, 1).
Defini¸c˜ao 5.0.1 Seja dada uma representa¸c˜ao ρ : G → PU(2, 1) de um grupo Fuchsiano em PU(2, 1). Se Γρ = ρ(G), ent˜ao
1. ρ ´e discreta se Γρ´e um subgrupo discreto de PU(2, 1);
2. ρ ´e exata se ρ ´e um monomorfismo;
3. ρ ´e C-Fuchsiana se Γρ deixa invariante uma linha complexa em H2C;
4. ρ ´e R-Fuchsiana se Γρ deixa invariante um R2-plano em H2C;
5. ρ ´e quase-Fuchsiana se ρ ´e discreta e o conjunto limite do grupo Γρ ´e um c´ırculo topol´ogico, que
n˜ao coincide com a fronteira de uma subvariedade totalmente geod´esica de H2 C;
6. ρ preserva o tipo de elemento se γ∈ G ´e parab´olico se, e somente se, ρ(γ) ´e parab´olico. 7. ρ ´e geometricamente finita se ρ ´e discreta, e se o grupo Γρ possui um poliedro fundamental
limitado por um n´umero finito de lados.
Vamos denotar por
T(Σ) = Hom
∗(π
1(Σ), PU(2, 1))
PU(2, 1)
o espa¸co de Teichm¨uller de Σ. Este ´e o conjunto, a menos de conjuga¸c˜oes, de todas as representa¸c˜oes discretas, exatas e que preservam o tipo de elemento de G≃ π1(Σ) em PU(2, 1). Este espa¸co est´a munido
Neste cap´ıtulo, vamos demonstrar que, para p > 0, isto ´e, Σ ´e um superf´ıcie n˜ao compacta de ´area finita, o espa¸co de Teichm¨uller n˜ao ´e conexo e que o invariante de Toledo n˜ao distingue as componentes conexas deste espa¸co. Este ´e um dos resultado principais desta tese, e pode ser enunciado do seguinte modo.
Teorema 5.0.1 Seja Σ uma superf´ıcie de Riemann hiperb´olica n˜ao compacta, de ´area finita, gˆenero
g = 0 e p pontos retirados. Ent˜ao o espa¸co de Teichm¨uller T(Σ) das representa¸c˜oes discretas, exatas e que preservam o tipo de elemento, de π1(Σ) em PU(2, 1), n˜ao ´e conexo. De fato, este espa¸co possui pelo
menos duas componentes conexas que n˜ao s˜ao distinguidas pelo invariante de Toledo.
Para este fim, vamos exibir um subgrupo discreto geometricamente finito Γ⊂ PU(2, 1) cujo conjunto limite ´e um n´o selvagem, uma superf´ıcie Riemanniana n˜ao compacta Σ de gˆenero g = 0 e de ´area finita e uma representa¸c˜ao discreta e exata ρ : π1(Σ) → PU(2, 1) tal que ρ (π1(Σ)) = Γ. Por outro lado, vamos
exibir um subgrupo discreto geometricamente finito Γ∗⊂ PU(2, 1) cujo conjunto limite ´e um n´o d´ocil, e
vamos exibir um isomorfismo, que preserva o tipo de elemento, φ : Γ → Γ∗. ´E claro que isto implica a
existˆencia de uma representa¸c˜ao discreta e exata ρ∗: π
1(Σ) → PU(2, 1) tal que ρ∗(π1(Σ)) = Γ∗.
Pode ser demonstrado, veja por exemplo [40], que as representa¸c˜oes geometricamente finitas que preser- vam o tipo de elemento s˜ao estruturalmente est´aveis, isto ´e, qualquer deforma¸c˜ao pequena, deste tipo, de uma tal representa¸c˜ao, ainda possui as mesmas propriedades topol´ogicas da representa¸c˜ao original. Em particular, uma tal deforma¸c˜ao preserva o tipo topol´ogico do quociente M (ρ(π1(Σ))) = R(ρ(π1(Σ)))
ρ(π1(Σ))
, em que R(ρ(π1(Σ))) denota o conjunto regular de ρ(π1(Σ)). No caso dos grupos quase-Fuchsianos Γ e
Γ∗, constru´ıdos neste cap´ıtulo, vamos demonstrar que as variedades M (Γ) e M (Γ∗) n˜ao s˜ao homeomorfas.
Isto implica que as representa¸c˜oes ρ e ρ∗, a serem constru´ıdas, est˜ao contidas em componentes conexas
distintas do espa¸co de Teichm¨uller T(Σ). Mais ainda, iremos demonstrar que estas duas representa¸c˜oes possuem o mesmo invariante de Toledo. Assim, provaremos que o invariante de Toledo n˜ao distingue as componentes conexas do espa¸co de Teichm¨uller T(Σ).
Nas pr´oximas se¸c˜oes, vamos exibir estas representa¸c˜oes. Antes disso, por´em, vamos relembrar os conceitos de invariante angular de Cartan e de invariante de Toledo.
5.1
Invariante angular de Cartan
Dados trˆes pontos distintos A, B e C na fronteira do espa¸co hiperb´olico complexo Hn
C, o invariante angular
de Cartan de A, B e C ´e definido por
A = A(A, B, C) = arg−h ˜A, ˜Bi h ˜B, ˜Ci h ˜C, ˜Ai , sendo que ˜A, ˜B e ˜C s˜ao quaisquer levantamentos de A, B e C em Cn,1.
Sabe-se que A ´e independente da escolha dos levantametos, e que A satisfaz as seguintes propriedades: • −π2 ≤ A ≤ π2.
• A(A, B, C) = 0 se, e somente se, A, B e C est˜ao contidos em um R-c´ırculo. • A(A, B, C) = ±π2 se, e somente se, A, B e C est˜ao contidos em uma cadeia.
• A(A, B, C) = A(A′, B′, C′) se, e somente se, existe uma isometria g ∈ PU(n, 1) tal que g(A) = A′,
g(B) = B′ e g(C) = C′.
• A(A, B, C) = −A(A′, B′, C′) se, e somente se, existe uma isometria anti-homomorfa g de Hn Ctal que
g(A) = A′, g(B) = B′ e g(C) = C′.
• Se s ∈ S3´e uma permuta¸c˜ao dos pontos A, B e C ent˜ao
A(s(A), s(B), s(C)) = sign(s) A(A, B, C).
As demonstra¸c˜oes destes fatos podem ser encontradas em [20, se¸c˜ao 7.1].