A estrutura dos Principia e as Leis de Kepler

Nos Principia, logo a partir do primeiro teorema enunciado começa a perceber-se que

a explicação dinâmica dos movimentos planetários, descritos pelas três leis cinemáticas de Kepler, é o grande objectivo da obra. A resolução deste problema, a determinação do tipo de acção responsável por esta cónica harmonia celestial ocupava outros grandes espíritos da época como é o caso de Borelli, Hooke, Halley e Leibnitz e já merecera de Descartes, bem como do próprio Kepler, um esboço de uma teoria global do movimento dos corpos celestes.

Em 1600, Gilbert na sua obra De Magnete, primeira exposição sistemática do

magnetismo terrestre, perante a natureza da força magnética que se manifestava na sua capacidade de actuar à distância originando movimento, extrapola

«(...) este movimento, que é a inclinação em direcção à fonte, não pertence só às partes da Terra, mas também às partes do Sol, da Lua e aos outros corpos celestes (...)» (GILBERT: 2).

E Newton associará os dois fenómenos, aceitando a sua mesma natureza, confundindo-os nos seus efeitos, escrevendo na nota à Definição V:

«Desta espécie é a gravidade, pela qual os corpos tendem para o centro da terra; é o magnetismo, através do qual o ferro tende para a magnetite; e é a força, qualquer que seja, através da qual os planetas são continuamente afastados dos movimentos rectilíneos, em que, caso contrário, persistiriam, e que os forçam a girar em órbitas curvilíneas (...)» (PRINCIPIA: 2).

Esta parecia ser a única forma capaz de materializar a acção à distancia... Já Galileu, na parte final da terceira Jornada dos seus Diálogos procurara discutir as particularidades dos

movimentos da Terra procurando relacioná-los com o facto desta ser um magnete gigante, invocando amiúde o trabalho de Gilbert.

Para Kepler, a aceitação do movimento dos planetas em torno do Sol obrigava a que este astro fosse o centro de forças magnéticas. Kepler concebia o Sol como animado de movimento de rotação, «movimento que transmitia aos planetas por intermédio de uma species

imaterial, análoga, por sua vez, à luz e à força magnética» (KOYRÉ, 1968: 14). Esta species

atravessaria o espaço e, à medida que se afasta do Sol, o seu efeito vai enfraquecendo, o que explicava o movimento mais lento dos planetas mais afastados. Há uma certa analogia entre esta fonte de movimento e a propagação dos raios luminosos (DUGAS, 1988: 215), pois, relembre-se Euclides, a intensidade da luz emitida por uma fonte varia na razão inversa do quadrado da distância a esta. Daí que Kepler, arrastado por esta semelhança, suspeite que a acção proveniente do Sol, virtus movens, e sentida pelos diversos planetas,

deve respeitar a lei do inverso do quadrado das distâncias. Kepler fica-se pela suspeita porque, devido a erros de cálculo e à sua concepção aristotélica do movimento, é impelido para uma força proporcional ao inverso da distância. De qualquer modo, embora muito perto da solução que Newton virá a encontrar, seria impossível ao astrónomo polaco vislumbrá-la, visto que a sua força magnética não é de forma alguma uma alternativa para a gravitação: «(...) ela não é responsável pela manutenção dos planetas nas suas órbitas (...) para Kepler, tal como para Aristóteles, o movimento circular é um movimento simples e natural (...)» (KOYRÉ, 1968:

14).

Descartes substituía o virtus movens de Kepler pelo seu éter pleno de vórtices. O

filósofo francês renegava a interacção à distância no vazio, substituindo todo o espaço por qualquer coisa como um líquido cheio de turbilhões que seriam os responsáveis pelo transporte dos planetas no seu movimento em torno do Sol. Embora senhor de ferramentas analíticas para tratar os problemas geométricos, Descartes não fez qualquer tentativa para explicar as célebres Leis de Kepler, no sentido de as adaptar ao seu sistema.

Hooke, num artigo publicado em 1674 e intitulado An Attempt to prove the annual Motion of the Earth, aderia, sem qualquer prova, à hipótese de acção à distância entre os

planetas :

«Todos os corpos celestes, sem excepção, exercem uma força[power] de atracção ou peso que é dirigido em direcção ao seu centro, em virtude do qual não só mantêm as suas próprias partes, impedindo que eles se soltem, tal como podemos

ver para o caso da terra, mas também atraem todos os corpos celestes, o que acontece dentro da sua esfera de actividade. Por exemplo, não só o Sol e a Lua que actuam sobre o movimento da Terra, na mesma forma em que esta actua sobre eles, mas também Mercúrio, Vénus, Marte Júpiter e Saturno têm, devido à sua força [power] de atracção, uma influência considerável no movimento destes corpos» (in DUGAS, 1988: 216).

Hooke acabou por defender, influenciado pela analogia óptica, que o valor da atracção variava na razão inversa do quadrado da distância. Halley, o grande instigador da publicação dos Principia, aplicou alguns teoremas enunciados por Huygens sobre a força

centrífuga, publicados sem demonstração no final da obra Horologium Oscillatorum, à

hipótese de Hooke e assumindo a terceira lei de Kepler _      =cons te T a tan 2 3 , concluiu sobre a lei do inverso do quadrado da distância9_.

Assim, tudo leva a crer que Newton estaria na posse de todos as hipóteses necessárias para inferir a sua célebre lei... o que faltava era a construção de um edifício coerente que ostentasse no seu cume a explicação do Sistema do Mundo !

A estrutura do Livro I («On Motion of Bodies») dos Principia obedece a uma sequência

de secções que se apresenta no QUADRO II. QUADRO II

Secção Título Proposições

I O métodos das razões primeira e última de quantidades, com a ajuda do qual

demonstraremos as proposições seguintes Lema I a XI

II A determinação das forças centrípetas I a X III O movimento dos corpos em secções cónicas excêntricas XI a XVII IV A determinação das órbitas elíptica, parabólica e hiperbólica sendo dado o foco XVIII a XXI

V Como as órbitas podem ser encontradas quando o foco não é dado XXII a XXIX VI Como pode ser determinado o movimento em órbitas dadas XXX a XXXI VII Ascensão e queda rectilínea dos corpos XXXII a XXXIX VIII A determinação das órbitas de revolução dos corpos quando actuados por qualquer

tipo de força centrípeta XL a XLII

IX O movimento dos corpos em órbitas movíveis e o movimento das absides XLIII a XLV X O movimento dos corpos em determinadas superfícies e o movimento pendular

oscilatório dos corpos XLVI a LVI

XI O movimento dos corpos que são atraídos entre si por forças centrípetas LVII a LXIX XII As forças atractivas de corpos esféricos LXX a LXXXIV XIII As forças atractivas de corpos que não são esféricos LXXXV a XCIII XIV O movimento de corpos muito pequenos quando agitado por forças centrípetas que

tendem para diversas partes de qualquer corpo grande. XCIV a XCVIII

Na primeira secção apresentam-se 11 Lemas cujo objectivo principal é apresentar os utensílios matemático-geométricos para trabalhar com uma «acção contínua das forças», isto é, a força centrípeta que actua entre os planetas e o Sol não actua como um impulso, mas, ao contrário, age continuadamente. É aqui que vão intervir as descobertas do cálculo das fluxões, uma secante a uma curva, no limite de aproximação entre os dois pontos de corte, tende para a sua tangente num ponto; é o Lema VII:

9 _{Leis de Kepler: 1) As órbitas dos planetas são elipses em que o Sol ocupa um foco; 2) O raio vector de um}

planeta varre áreas iguais em intervalos de tempos iguais; 3) Os quadrados dos períodos de revolução são proporcionais aos cubos dos eixos maiores das elipses.

«A mesma coisa acontece, a última razão que existe entre o arco, a corda e a tangente, é a razão de igualdade» (PRINCIPIA[TA]: 40).

No essencial os lemas aqui apresentados vão permitir a Newton evitar longas e aborrecidas demonstrações geométricas à moda dos «antigos geómetras», como ele próprio escreve,

«Estes Lemas foram permitidos para evitar as deduções fastidiosas envolvidas nas demonstrações ad absurdum, de acordo com o método dos antigos geómetras. Pelo método dos indivisíveis as demonstrações são mais curtas, mas, porque a hipótese dos indivisiveis parece ser, até certo ponto, desarmoniosa e, portanto esse método é considerado para o cálculo menos geométrico» (PRINCIPIA[TA]: 38).

No primeiro teorema da Secção II, Proposição I, estabelece-se que um corpo sujeito à acção de uma força central tem que obrigatoriamente obedecer à segunda lei de Kepler e que a sua órbita é plana:

«As áreas varridas pelos raios que descrevem o movimento de revolução dos corpos em torno de centros imóveis da força permanecem no mesmo plano imóvel e são proporcionais aos tempos gastos no percurso» (PRINCIPIA[TA]: 40).

Repare-se que no enunciado deste teorema nada é dito sobre o tipo de curva. A dificuldade desta demonstração reside principalmente no tratamento da «acção contínua» da força centrípeta, pois a acção da força aplicada foi conceptualizada na segunda Lei sobre o modelo do «impulso» da percussão ou do choque. Observe-se como Newton fez intervir os Lemas apresentados na secção 1. Recorrendo à Fig.-4: aproxima a trajectória curvilínea

descrita por pequenos segmentos de recta, AB, BC, CD, DE, EF,...; a força central, sempre dirigida para o ponto S, actua por impulsos nos pontos (instantes) A, B, C, D, E, F, ...,

desviando o corpo da sua trajectória rectilínea. Considere-se um

intervalo de tempo dividido em duas partes iguais. Na primeira parte o corpo percorre AB e, caso nenhuma força actuasse sobre ele, na segunda percorreria Bc, de tal modo que AB=Bc (Primeira Lei). Os triângulos ABS e BcS, porque têm bases iguais (AB=Bc) e altura comum, So, as suas áreas são iguais. Se em B intervier

uma força centrípeta, um novo impulso, o corpo é desviado de Bc e passa a deslocar-se segundo a direcção BC. Aplique-se a regra do paralelogramo (Corolário I): pelo ponto c

traça-se uma paralela à direcção SB que vai encontrar a recta BC no ponto C pertencente ao plano do triângulo ASB. Os triângulos BcS e BCS possuem a mesma base, BS, como a distância dos pontos C e c a este segmento é a mesma (Cc é paralela a BS), então a área dos triângulos é igual. As áreas de ABS e BCS são iguais. Repetindo os argumentos utilizados conclui-se pela igualdade das áreas BCS e CDS, CDS e DES, ... e, por composição, as diversas somas destas áreas elementares estão entre si como os intervalos de tempo gastos em percorrê-las. Para terminar esta demonstração leia-se o que escreveu Newton,

«(...) aumente-se o número de triângulos, e a sua base diminuiu in infinitum; e o seu perímetro final ADF (pelo Corolário IV do Lema III) será uma linha curva: e portanto a força centrípeta, pela qual o corpo é continuamente afastada da tangente a esta curva actuará continuamente, e quaisquer áreas descritas SADS, SAFS que são sempre proporcionais aos tempos de descrição, serão, também neste caso, proporcionais a esses tempos. Q.E.D.» (PRINCIPIA[TA]: 40).

Daqui se compreende a importância dos Lemas da secção I no tratamento da força centrípeta, enquanto «acção contínua» ao longo do tempo.

Na Proposição II,

«Qualquer corpo que se movimente numa linha curva descrita num plano e através do raio desenhado a partir de um ponto imóvel, ou que se movimente segundo um movimento rectilíneo e uniforme, descreve em torno desse ponto áreas proporcionais ao tempo, são solicitados por uma força centrípeta dirigida para esse ponto» (PRINCIPIA[TA]: 40),

prova-se a afirmação recíproca. Está assim encontrada (provada) a Segunda Lei de Kepler e que as órbitas são planas. Na Proposição IV (Teorema IV) e nos nove corolários que lhe estão associados, são afirmados os resultados (segunda e terceira Leis de Kepler) decorrentes do movimento circular descrito por acção da força centrípeta, comentando Newton no Escólio:

«O caso do sexto Corolário obtido para os corpos celestes (tal como rigorosamente observaram Sir Christopher Wren, Dr.Hooke e Dr.Halley) e portanto no que se segue tenciono tratar mais daquilo que está relacionado com a força centrípeta que decresce com o quadrado da distância ao centro» (PRINCIPIA[TA]: 46),

e referindo-se a Huygens, no seu «excelente livro De horologio oscillatorio, comparou a força da gravidade com a força centrifuga de revolução dos corpos» (PRINCIPIA[TA]: 46). Aparece pela

primeira vez a menção explícita à força variando na razão inversa do quadrado da distância e Newton parte para a determinação da lei a que obedece a força centrípeta partindo do conhecimento da órbita.

Na secção III é tratado o movimento dos corpos ao longo de trajectórias que constituem secções cónicas, demonstrando-se que, no caso do corpo estar sujeito à acção atractiva de uma força central, esta variará na razão inversa do quadrado da distância entre a posição do corpo e o centro da força. Na Proposição XI, o resultado anterior é demonstrado para um movimento elíptico, enquanto que as proposições XII e XIII o fazem, respectivamente, para as trajectórias hiperbólica e parabólica. Enquanto que nas proposições XI, XII e XIII, se estabelece aquilo que se designa por problema directo, no

Corolário I da Proposição XIII, enuncia-se a inversa das proposições precedentes; escreve Newton:

«Das três últimas proposições [XI, XII e XIII] segue-se que, se qualquer corpo P vai de uma posição P com uma velocidade qualquer na direcção da linha recta PR, e no mesmo instante é a solicitado pela acção de uma força centrípeta que é inversamente proporcional ao quadrado da distância das posições ao centro, o corpo mover-se-á segundo uma secção cónica tendo como foco o centro da força, e reciprocamente. Sendo dados o foco, o ponto de contacto e a posição da tangente, pode descrever-se a secção cónica que nesse ponto tem uma dada curvatura. Mas a curvatura é dada pela força centrípeta e a velocidade do corpo; duas órbitas que se cruzem não podem ser descritas pela mesma força centrípeta e pela mesma velocidade» (PRINCIPIA[TA]: 61).

Utilizando uma linguagem analítica mais actualizada pode escrever-se que para uma força central do tipo ₂

r

λ _{,conhecido λ, dada a posição e a velocidade iniciais,} respectivamente, r0 e vo, o corpo movimenta-se segundo uma trajectória que satisfaz as condições iniciais e a equação de movimento F =ma ou r =r(t) em qualquer instante; para

além da existência de uma determinada solução, garante-se o seu tipo e a sua unicidade. O enunciado deste corolário é, na linguagem do seu autor, apresentado como uma evidência, uma decorrência lógica e imediata das proposições precedentes, não se alongando em qualquer pormenor demonstrativo de índole geométrica, limitando-se a relacionar as características geométricas do movimento com as suas condições dinâmicas, o que, na citação anterior, se ressalta através do sublinhado. Na primeira edição dos Principia este enunciado é escrito sem qualquer pista que apontasse para a sua demonstração, contudo ao preparar a segunda edição da sua obra, Newton reconhece a necessidade de juntar uma frase que aludisse aos passos justificativos da afirmação (CHANDRASEKHAR, 1995: 113). A forma parcimoniosa do novo texto, onde são dadas algumas indicações do caminho da prova, é significativo de quão trivial, sob o ponto de vista matemático, Newton pensava ser este enunciado.

Já está provado que, se o movimento é plano e a força é central, se verifica a segunda lei de Kepler; provou-se em seguida que se esta força central varia na razão inversa da distância, a trajectória do movimento terá de ser uma, e uma só, cónica e reciprocamente, mostrando-se que o tipo de trajectória depende das condições iniciais do problema. Após ter estabelecido a relação entre uma força central, variando na razão inversa do quadrado da distância, e o movimento dos corpos ao longo de secções cónicas, Newton enuncia na Proposição XV (Teorema VII) a proporcionalidade entre os cubos dos semi-eixos maiores das órbitas elípticas e os quadrados dos tempos gastos em percorrê-las. A existência de um certo tipo de força central implica a terceira lei enunciada por Kepler; está encontrada (e provada) a Terceira Lei de Kepler.

As três Leis de Kepler são uma consequência das Leis de movimento, aceitando ainda a hipótese de que a força responsável pelo movimento é central e inversamente proporcional ao quadrado da distância. E reciprocamente, as Leis de Kepler implicam uma força com os atributos atrás definidos. Contudo, embora se garanta a proporcionalidade,

ainda não foi calculada a sua constante, logo, na íntegra, não foi ainda estabelecida a Lei da Gravitação Universal.

De uma forma breve referem-se os conteúdos das outras secções do Livro I. Na Secção VII do Livro I trata do movimento de ascensão e queda de um corpo livre submetido à acção de uma força central, enquanto na Secção VIII resolve o problema inverso das forças centrais: determinar a trajectória de um corpo submetido à acção de uma força central e sujeito a determinadas condições iniciais do seu movimento. É só a partir da Secção XI que o centro da força central deixa de ser considerado como um ponto unicamente matemático e passa a ter massa10_{; é aqui que Newton trata o problema dos}

dois corpos, abordando o problema dos três corpos na Proposição 66. Na Secção XII aparecem os resultados relativos à atracção de massas distribuindo-se em esferas ocas ou plenas11_…