3. A Formulação e a Resolução de problemas
3.2. A resolução de problemas
Neste tópico aborda-se a resolução de problemas no sentido de caracterizar alguns aspetos essenciais, como as considerações sobre o que é um problema, como podem ser diferenciados de acordo com características próprias e referir algumas questões levantadas em torno da sua integração no ensino.
De acordo com Schoenfeld (1992) a resolução de problemas ganhou um papel de grande importância nos currículos a partir dos anos oitenta com a publicação da An Agenda for Action, pelo
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 1980). Em termos simples, a preocupação que estava por detrás deste movimento prendia-se com a necessidade de que a aprendizagem da Matemática se fizesse com sentido e que os alunos pudessem dar significado aos conceitos e procedimentos matemáticos. Até então os problemas eram tradicionalmente usados como meio de expor e praticar factos e procedimentos matemáticos, sem grande preocupação com uma compreensão abrangente dos seus significados (Schoenfeld, 1992). A ideia da resolução de problemas trazi também consigo a preocupação pela aprendizagem de habilidades de resolução de problemas e pela construção do conhecimento matemático que fizesse sentido para o aprendente. Para o desenvolvimento da investigação sobre a resolução de problemas foi decisivo a redescoberta das heurísticas propostas por George Polya na sua obra How To Solve It (Polya, 1945/1957) e outras publicações posteriores.
Schoenfeld (1992) fez uma análise crítica do que se passou na década de 1980 quanto aos esforços de colocar a resolução de problemas no centro do ensino da Matemática. Dá conta da dificuldade em definir o que é resolução de problemas, questionando o seu papel no ensino da Matemática. Para Schoenfeld a resolução de problemas deve sobretudo servir o ‘aprender a pensar matematicamente’, expressão abrangente que contempla i) o desenvolvimento de um ponto de vista matemático – de quem possui a capacidade e a predileção pelos processos de matematização e abstração, e ii) o desenvolvimento da capacidade de utilização das ferramentas matemáticas ao serviço da compreensão das estruturas matemáticas. De facto os problemas sempre fizeram parte do ensino da Matemática. O movimento em torno da resolução de problemas nasceu, em parte, por causa da insatisfação relativa aos resultados dos alunos evidenciados em estudos e testes padronizados, e trouxe consigo a reflexão sobre a função que os problemas devem desempenhar no ensino. A problemática sobre o papel dos problemas no ensino está intimamente ligada à definição de problema. Em 1980, Lester apresenta uma definição para problema e resolução de problemas que considera coerente com a definição de outros investigadores a que faz referência. Considera que um problema “is a situation in which an individual or group is called upon to perform a task for which there is no readily accessible algorithm which determines completely the method of solution” (Lester, 1980; p. 287). Consequentemente a resolução de problemas é o conjunto de ações necessárias para chegar à solução. Completa ainda com a condição necessária de que o/os solucionadores queiram resolver tal problema, sem a qual a tarefa não se constituiria como problema. Apesar deste sentido dado a problema e a resolução de problemas poder reunir um consenso alargado, a verdade é que o modo como aparece em diferentes currículos e como aparece em manuais escolares tem sido muito diverso (Lester, 1980; Schoenfeld, 1992).
Num artigo de 1994, Lester faz uma revisão das principais preocupações que orientaram a investigação sobre a resolução de problemas entre 1970 e 1994: i) a identificação das características
que tornam um problema mais difícil que outro, ii) o que distingue os alunos com maior e menor sucesso, iii) o ensino de estratégias e heurísticas para a resolução de problemas e a sua utilização pelos alunos, iv) a influência das atitudes e crenças bem como a capacidade dos alunos de monitorização dos seus processos de resolução e ainda v) a influência do meio no desenvolvimento da aprendizagem.
Numa proposta para caracterizar o que é um problema, Borasi (1986) procura semelhanças e diferenças que possam distinguir diferentes problemas e propõe uma classificação bastante alargada capaz de abarcar os mais diferentes tipos, quer pertençam ou não ao domínio da Matemática. A sua classificação baseia-se na estrutura dos problemas em si e, como a autora reconhece, não toma em consideração aspetos subjetivos do âmbito do solucionador. Toma como ferramenta de análise quatro categorias: a explicitação do contexto, as qualidades da formulação, o número e natureza das soluções e os possíveis métodos de abordagem para a resolução do problema. Define assim sete tipos de problemas:
Exercício: não apresenta qualquer contexto3, tem uma formulação única (não é ambígua), uma
solução única e exata e a resolução faz-se pela aplicação de um ou vários algoritmos já conhecidos.
Problema-de-palavras4: contexto bem explícito no enunciado, formulação única, tem maioritariamente uma solução única e exata e a resolução faz-se por meio de uma combinação de algoritmos já conhecidos.
Problema-enigma5: contexto completamente explícito, uma única formulação, normalmente a solução é exata e única e a resolução pode envolver a elaboração de um algoritmo, a reformulação do problema ou uma súbita intuição.
Prova de uma conjetura: contexto parcialmente explícito (assume-se que o aluno saiba a teoria necessária), a formulação única e explícita, a solução pode ser só uma, mas não necessariamente, e a resolução envolve a exploração do contexto ou reformulação do problema, ou ainda a elaboração de um novo algoritmo.
Problema da vida real: o contexto não é totalmente explícito (há outros aspetos da realidade a ter em conta), há várias formulações possíveis, há várias soluções (e são muitas vezes
3 A não ser que se considere como contexto as propriedades, relações e conceitos matemáticos presentes no
exercício, p. ex., do género 34 + 28 : 2 = ?.
4 “Word-problem” no original. A tradução literal para “problema de palavras”, no contexto da língua portuguesa,
conduz a um conceito redutor. Um exemplo dessa redução é a popular adivinha “Qual é a pata direita do cavalo de D. José?” – referindo-se à estátua equestre de D. José que está na Praça do Comércio em Lisboa.
5 “Puzzle-problem” no original. Borasi dá um exemplo que em português não seria tomado como sendo um puzzle: “Como formar 4 triângulos congruentes com 6 fósforos, considerando um fósforo como o lado de cada triângulo.”
aproximações), e a resolução envolve a reformulação, a exploração do contexto e criação de modelos.
Situação problemática: o contexto está parcialmente explícito no enunciado e sugere uma problemática, é normalmente necessário definir melhor a formulação, há várias soluções e o processo de resolução envolve a exploração do contexto a reformulação ou a formulação de outros problemas.
Situação: o contexto está apenas parcialmente explícito e não sugere propriamente uma problemática, não há, portanto, qualquer formulação, a solução depende da formulação do problema e a estratégia implica e tem a ver com o problema formulado.
Esta caraterização tem servido como referência e algumas adaptações foram feitas posteriormente por outros investigadores. Por exemplo, Boavida (1993) introduz duas novas categorias: problemas para equacionar e problemas para demonstrar.