5. A Multiplicação e a Divisão
5.1. O campo concetual das estruturas multiplicativas
Do ponto de vista de Gérard Vergnaud (1994) as estruturas multiplicativas são um campo concetual que abarca um largo conjunto de situações e conceitos intimamente ligados. Os conceitos ganham sentido dentro de um vasto leque de situações e dentro de uma situação há vários conceitos envolvidos. Não é, portanto, possível analisar o campo concetual das estruturas multiplicativas sem englobar, por um lado, o conjunto de situações e, por outro, o conjunto de conceitos e teoremas que lhe são próprios. A análise que Vergnaud faz das situações multiplicativas e a classificação que daí
resulta difere das acima apresentadas por se basear, essencialmente, nos conceitos e teoremas matemáticos necessários para lidar com as situações. Entre os vários conceitos necessários estão, por exemplo, os de proporção simples e múltipla, função linear e n-linear, razão escalar direta e inversa, quociente e produto de medidas, combinação e aplicação linear, fração, razão, número racional, múltiplo e divisor. Entre os teoremas que envolvem estes conceitos são essenciais as propriedades de isomorfismo da função linear, as propriedades respeitantes ao coeficiente constante entre duas variáveis linearmente ligadas e as propriedades particulares da bilinearidade (Vergnaud, 1990).
Os alunos podem não ser capazes de formalmente explicitar as definições e enunciados dos conceitos e teoremas, embora os usem quando resolvem os problemas nos quais estão implícitos. Por serem implicitamente usados pelos alunos, não sendo estes capazes de explicitar corretamente as suas definições e enunciados, Vergnaud designa-os por conceitos-em-ação e teoremas-em-ação. São conceitos e processos matemáticos mobilizados pelos alunos na resolução de problemas ou outras situações problemáticas.
Dentro do campo das estruturas multiplicativas, Vergnaud (1983) define três classes principais de situações consoante os conceitos e teoremas nelas envolvidos: Isomorfismo de medidas, Produto de medidas e Múltipla proporção.
O Isomorfismo de medidas compreende as situações de proporcionalidade direta simples entre duas grandezas. São problemas de partilha equitativa, preço constante, velocidade uniforme ou velocidade média constante, a densidade constante numa linha, numa superfície, ou em um volume. Encontram-se quatro subclasses de problemas na classe do Isomorfismo de medidas correspondendo a quatro estruturas (Vergnaud, 1983). A Figura 5 mostra cada uma destas subclasses, em que M1 e
M2 correspondem a duas grandezas, as letras a, b, c representam os dados dos problemas e o ponto
de interrogação corresponde à incógnita expressa na pergunta.
Multiplicação Divisão I Divisão II Cálculo do 4º termo
Figura 5: Representação dos esquemas que traduzem as operações envolvidas nas subclasses do Isomorfismo de medidas.
O conjunto de situações abrangida pelo caso geral da proporcionalidade (esquema à direita na Figura 5), que Vergnaud (1997) designa por “Cálculo do quarto termo”, distingue-se dos restantes, entre outros aspetos, pelo facto do primeiro termo ser diferente de 1. Compreende-se então que as
operações de multiplicação e divisão sejam consideradas por Vergnaud como casos particulares de proporcionalidade direta, nos quais o primeiro termo é igual a 1. Os procedimentos para resolução destas situações dentro do Isomorfismo de medidas assentam nas propriedades da função linear:
- a forma canónica da função linear em que k é a constante de proporcionalidade 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥
- as propriedades de isomorfismo
𝑓(𝑥 + 𝑥′) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥′) 𝑓(𝑎𝑥) = 𝑎𝑓(𝑥)
Considere-se, por exemplo, o seguinte problema: Uma loja vende conjuntos de 4 iogurtes por 1,60€. Qual o custo de 24 iogurtes iguais? Esta situação enquadra-se na subclasse Cálculo do quarto termo do Isomorfismo de medidas. O cálculo do quarto termo envolve duas operações, uma de divisão e outra de multiplicação. Usando o procedimento da regra de três simples escrever-se-ia:
i) 𝑥 =24×1,60
4 que é equivalente a ii) 𝑥 = 24
4 × 1,6 ou iii) 𝑥 = 24 × 1,6
4
As duas últimas expressões (ii e iii) dão visibilidade a dois procedimentos distintos. A Figura 6 mostra uma representação que permite visualizar os dois processos para se encontrar o valor de x e que estão relacionados com propriedades da função linear acima enunciadas: por um lado, a multiplicação de 24 pela constante de proporcionalidade (1,6/4), que Vergnaud designa por operador funcional, e que corresponde a f(x)=kx; por outro lado a multiplicação de 1,6 por um operador escalar (24/4), que corresponde ao isomorfismo f(ax)=af(x).
O isomorfismo diz respeito ao facto de que a relação multiplicativa (×6) verificada dentro da grandeza (nº de iogurtes) poder ser aplicada na grandeza custo dos iogurtes. Ou seja, o custo de 24 iogurtes é também 6 vezes mais que o custo de 4 iogurtes (setas verticais). Desse modo pode escrever- se que x=6×1,60. O operador escalar ×6 , segundo Vergnaud, não tem dimensão por se tratar de uma razão entre quantidades da mesma espécie (da mesma grandeza), neste caso, cardinais de conjuntos de iogurtes.
Figura 6: Representação de relações numa situação de proporcionalidade direta na classe do Isomorfismo de medidas.
O operador funcional, que corresponde à constante de proporcionalidade, resulta da razão entre quantidades das duas grandezas, neste caso, a razão entre o custo dos iogurtes e o número de iogurtes (1,60/4), que na Figura 6 está representada pela seta horizontal superior e que se aplica a 24 iogurtes para se obter o custo correspondente. Contrariamente ao operador escalar, que não tem dimensão, este operador funcional tem dimensão (Vergnaud, 1983), que neste caso é euros por número de iogurtes. Enquanto o operador escalar depende e varia com os dois valores dados na grandeza número de iogurtes, o operador funcional é uma constante que se aplica a qualquer valor da grandeza “número de iogurtes” para se obter o valor correspondente na grandeza “custo dos iogurtes”. No exemplo apresentado na Figura 6 os dados envolvidos permitem identificar facilmente o operador escalar, o que torna supérflua a aplicação formal da regra de três simples.
Vergnaud (1983) diz que a designação “Isomorfismo de medidas” dada a esta classe de problemas resulta da sua observação da preferência natural de muitos alunos pelo processo de resolução que usa as propriedades de isomorfismo da função linear na resolução deste tipo de problemas.
Considere-se agora outro problema que se enquadra nas situações de multiplicação dentro do Isomorfismo de medidas e os problemas de divisão de tipo I e II que lhe correspondem:
i) Multiplicação: A Maria quer embalar bombons em 12 caixas, colocando 8 bombons em cada caixa. Quantos bombons ficarão embalados?
ii) Divisão I: A Maria quer embalar 96 bombons em 12 caixas, tendo todas o mesmo número de bombons. Quantos bombons ficarão em cada caixa? iii) Divisão II: A Maria quer embalar 96 bombons em caixas com 8 bombons em
cada uma. De quantas caixas precisa?
A Figura 7 mostra as representações de cada um dos problemas acima expostos.
Figura 7: Representações dos problemas de multiplicação e divisão de tipo I e divisão de tipo II enquadrados na classe de situações do Isomorfismo de medidas.
A representação da multiplicação ilustrada na Figura 7 pretende mostrar os dois processos de resolução do problema já acima enunciados. Por um lado, x pode ser determinado pela multiplicação de 8 pelo operador escalar 12, isto é 12×8=96. Por outro lado, x pode ser determinado pela multiplicação de 12 pelo operador funcional 8, isto é 8×12=96. À primeira vista pode parecer que os dois procedimentos resultam da propriedade comutativa da multiplicação e que, portanto, são equivalentes, mas isto só é verdade se 8 e 12 forem encarados como números puros, sem ter em conta as grandezas a que estão referidos.
O procedimento representado pela expressão 12×8=96 traduz o raciocínio de que o número de bombons em 12 caixas é 12 vezes maior que o número de bombons em uma caixa, e pode-se escrever 12×8 bombons = 96 bombons. O operador ×12 é o multiplicador e 8 bombons é o multiplicando. Quer dizer que os 96 bombons resultam duma reunião de todos os bombons contidos nas 12 caixas. A adição repetida de parcelas iguais (de 8 bombons, 12 vezes) é usada com frequência para iniciar os alunos na multiplicação, mas Vergnaud (1983) ressalva que isso não corresponde verdadeiramente a um raciocínio multiplicativo. Também já foi acima referido que uma concetualização da multiplicação como adição repetida de parcelas iguais leva à conceção errada de que o produto da multiplicação é sempre maior que os fatores.
O procedimento representado pela expressão 8×12=96 carece de sentido porque não é concebível que 8 vezes 12 caixas resulte em 96 bombons. A aplicação do operador funcional ×8, que se observa na seta horizontal superior, a 12 caixas é possível porque ele corresponde à constante de proporcionalidade que resulta da razão entre duas quantidades de espécie diferente, neste caso número de bombons pelo número de caixas. Na perspetiva de Schwartz (1988), este operador é uma quantidade intensiva cujo referente é “número de bombons por caixa”. Daí se escreveria 8 bombons/caixa × 12 caixas = 96 bombons.
Na divisão de tipo I (ver Figura 7) pretende-se determinar o número de bombons em cada caixa, sabendo que existem 96 bombons para 12 caixas. Alcançar este objetivo corresponde a inverter o operador escalar (×12) que relaciona as quantidades presentes na grandeza número de caixa, aplicando-o ao número de bombons contidos em 12 caixas. Ou seja, o número de bombons em uma caixa é 12 vezes menor que o número de bombons em 12 caixas. A dificuldade das crianças em fazer a inversão do operador escalar (×12 para ÷12) leva a que pensem quantas vezes 12 cabe em 96, muitas vezes por tentativa e erro. Este procedimento é tão mais usado quanto os números envolvidos se relacionem facilmente de uma forma multiplicativa.
Na divisão de tipo II (ver Figura 7) procura-se determinar o número de caixas necessárias para embalar os 96 bombons, sabendo que 8 é o número de bombons existentes numa caixa. Isto pode fazer-se invertendo o operador funcional ×8 que relaciona uma caixa com 8 bombons, e aplicar ÷8 a 96 bombons. Este procedimento é difícil de compreender pelas crianças mais novas e, por isso,
preferem encontrar o operador escalar que relaciona 8 bombons com 96 bombons (×12) e aplicá-lo ao número de caixas, ou seja, o número de caixas é tantas vezes maior que uma caixa quanto 96 é maior que 8.
De acordo com a classificação apresentada por Greer (1992), a divisão de tipo I corresponde à divisão de partilha equitativa, e a divisão de tipo II corresponde à divisão de medida.
As situações enquadradas na classe Produto de medidas definida por Vergnaud envolvem os problemas cuja estrutura consiste na composição cartesiana de duas grandezas numa terceira e problemas de cálculo de áreas, volumes, e outras grandezas físicas. Um exemplo da composição cartesiana de uma grandeza pode ser dado pelo problema muito comum atualmente nos primeiros anos de escolaridade, onde se procura determinar um conjunto das diferentes maneiras de vestir pelo produto do conjunto de diferentes camisolas pelo conjunto de diferentes calções que podem ser usados. Outro exemplo é a medida da área de um retângulo que é o produto de duas medidas correspondentes a duas dimensões, a largura e o comprimento.
Na situação da composição de diferentes maneiras de vestir, a unidade de medida é um par calção-camisola que é função de 1 calção e 1 camisola. No mesmo sentido, Vergnaud (1983) afirma que, no caso da área, a unidade de medida 1m2 está em função de 1m (largura) e 1m (comprimento).
Este modo de composição da unidade de medida marca distinção entre as situações envolvidas nesta classe das que pertencem à Múltipla proporção.
Nestas situações do Produto de medidas, estão em jogo três variáveis e, por isso, é mais fácil visualizar as relações numa tabela de dupla entrada, em vez das tabelas de simples correspondência usadas nas situações do Isomorfismo de medidas. A Figura 8 apresenta duas situações, I - a área de um quarto (retangular) a partir do comprimento e da largura; II – o número de diferentes modos de combinar 3 calções (A, B, C) com 4 camisolas (D, E, F, G).
I II
Figura 8: Representação das relações multiplicativas em situações de Produto de medidas: situação I referente à area, situação II referente ao produto cartesiano (Vergnaud, 1983).
Vergnaud chama a atenção para o facto de algumas situações poderem ser analisadas tanto do ponto de vista do Isomorfismo de medidas como do ponto de vista do Produto de medidas. É o caso, por exemplo da velocidade que resulta do produto da distância pelo tempo.
Há duas subclasses de problemas na classe Produto de medidas: multiplicação e divisão. Diferentemente do que se passa no Isomorfismo de medidas, há apenas um tipo de divisão na qual se procura um fator sabendo o produto e o outro fator.
As situações enquadradas na classe Múltipla proporção definida por Vergnaud envolve os problemas com uma estrutura semelhante à estrutura do Produto de medidas porque, do ponto de vista aritmético, estão em relação três variáveis, uma das quais é proporcional a outras duas variáveis independentes. A diferença está em que cada uma das três grandezas envolvidas tem um significado próprio que não resulta do produto de outras duas, como é o caso da área ou do volume. Um exemplo de problemas com esta estrutura é o da despesa que um número de pessoas faz num determinado número de dias: “Um grupo de 4 pessoas decidiu passar 13 dias num hotel. O preço por pessoa é 35€ por dia. Qual será o montante da despesa?” (Vergnaud, 1983). A Figura 9 representa esta situação.
Figura 9: Representação das relações multiplicativas em situações de Múltipla proporção.
Nesta classe de problemas de múltipla proporção, Vergnaud (1983) dá exemplo de três subclasses de problemas: multiplicação e dois tipos de divisão: a divisão de tipo I, em que se pretende saber o valor por unidade (neste caso, a despesa por pessoa por dia) sabendo o produto (despesa total) e dois fatores (o n.º de pessoas e o número de dias), e a divisão de tipo II em que se pretende saber um dos fatores (ou o n.º de pessoas ou o número de dias) sabendo o produto (despesa total), o valor por unidade (neste caso, a despesa por dia e pessoa) e o outro fator (ou o n.º de dias, ou o número de pessoas.
Greer (1992) inclui sete das suas categorias na classe de situações abrangidas pelo Isomorfismo de medidas de Vergnaud: Grupos iguais, Medidas iguais, Rate, Conversão de medidas, Comparação multiplicativa, Parte-todo e Mudança multiplicativa. No entanto, é preciso notar que só podem ser incluídas no Isomorfismo de medidas as situações em que há duas variáveis que se relacionam proporcionalmente. Uma situação problemática envolvendo a comparação multiplicativa
entre a idade de duas pessoas não é uma situação de proporcionalidade: se a Maria tiver 12 anos e o Manuel tiver 18, pode dizer-se que o Manuel é 1,5 vezes mais velho que a Maria, mas esta razão (1,5) não se mantém igual no ano seguinte, isto é, quando a Maria tiver 13 anos e o Manuel 19. Para além do contexto não ser multiplicativo é discutível o número de variáveis presentes na situação. Há quatro classes definidas por Greer cuja inclusão no Isomorfismo de medidas merece reflexão. Apresentam-se de seguida as quatro situações dadas por Greer (1992, p. 280) como exemplos dessas quatro classes.
a) Conversão de medidas: “Uma polegada é aproximadamente 2,54 centímetros. Quanto aproximadamente mede em centímetros 3,1 polegadas?”
b) Comparação multiplicativa: “A densidade do ferro é 0,88 da densidade do cobre. Se um pedaço de cobre tem uma massa de 4,2 kg, qual é a massa de um pedaço de ferro com o mesmo volume do pedaço de cobre?”
c) Parte todo: Uma faculdade passou 3/5 dos seus alunos num exame. Se 80 alunos fizeram o exame, quantos passaram?
d) Mudança multiplicativa: “Um pedaço de elástico pode ser esticado para 3,3 vezes o comprimento original. Qual é o comprimento de uma peça de 4,2 metros de comprimento quando totalmente esticada?”
Como se pode ver, nas alíneas a) e d) a grandeza é comprimento, na alínea b) é massa e na alínea c) é o cardinal de um conjunto. A diferença entre a situação na alínea b) e a da alínea d) está nos referentes: na alínea b) a massa refere-se a dois materiais diferentes enquanto na alínea d) é o mesmo material; daí a diferença entre “comparação” e “mudança”.
Na alínea c) os alunos pertencem ao mesmo conjunto, ou melhor, o conjunto dos alunos que passaram no exame é um subconjunto do conjunto dos alunos que foram a exame e, portanto, é lícito questionar se há duas variáveis de grandeza ou dimensão diferente. Além disso é também forçado considerar que o contexto pode ser modelado pela proporcionalidade, isto é, 3/5 será sempre a razão entre qualquer número de alunos que passam e os que vão a exame?
Na alínea a) a grandeza é a mesma, mas é significativo o facto de serem diferentes as unidades de medida. A situação de conversão de unidades de medida (dentro da mesma grandeza), é um contexto de proporcionalidade.
Com exceção da alínea a), não há grandes dúvidas que impeçam considerar que as duas medidas estão relacionadas por um escalar que não tem dimensão porque é uma razão entre duas medidas da mesma espécie (Vergnaud, 1983, p. 130). Schwartz (1988, p. 49-50) critica esta posição atribuindo um referente a este operador, assemelhando-o ao fator de conversão de medidas. No caso da situação a) o fator é 2,54 cm/in, na alínea b) 0,88 Kg/Kg, na alínea c) 3/5 aluno/aluno e na alínea d) 3,3 m/m. Para que estas quatro situações possam ser enquadradas no Isomorfismo de medidas, se
bem se interpreta, cada uma das medidas tem de referir-se a espaços de medidas diferentes e o operador tem de ser considerado não um escalar mas um operador funcional, como se mostra na Figura 10. Assim, por exemplo, uma situação em que se diz que o José recebe o dobro do ordenado do Manuel tem de se considerar que a variável não é apenas o dinheiro, mas o dinheiro do José e o dinheiro do Manuel. Para além disso é preciso que a relação “dobro” seja um operador funcional, i.e., seja a constante de proporcionalidade e não um operador escalar.
Figura 10: Representação dos esquemas de isomorfismo de medidas para quatro das situações apresentadas por Greer (1992).