Tarefa: “Caixas de gelados”

Figura 18: Enunciado da tarefa “Caixas de gelados”.

Esta tarefa (Figura 18) foi resolvida pelos participantes na entrevista realizada no segundo dia de aulas do 2.º período do 4.º ano (2015.01.06).

Tratando-se de uma tarefa que apresenta o enunciado do problema ao qual foi omitida a pergunta e que, consequentemente é preciso formulá-la, enquadra-se esta tarefas na categoria das estruturadas (Stoyanova e Ellerton, 1996). Por se tratar de aproveitar os dados apresentados (a história) para formular o problema, pode associar-se à resolução da tarefa o processo Editar definido por Christou et al. (2005).

Esta situação permite formular perguntas que colocam problemas envolvendo relações de proporcionalidade direta e que, nessa medida, se enquadram no Isomorfismo de medidas dentro das estruturas multiplicativas (Vergnaud, 1983). Permite também formular outros problemas cuja solução não se obtém simplesmente através de multiplicações ou divisões e que, por tal, não caem dentro dessa categoria de situações. Umas e outras podem ser arrumadas em grupos de acordo com os dados ou condições que colocam em relação:

A. número de caixas e número de gelados;

B. número do que foi adquirido e do que foi efetivamente pago C. custo de caixas ou de gelados, considerando ou não a promoção;

Grupo A

As perguntas que podem ser formuladas dentro do grupo A partem da informação de que há 6 caixas (iguais – especificação que não consta no enunciado escrito, mas foi assim entendida) que, no total, contêm 24 gelados. Essas perguntas procuram a determinação de:

a) o número de gelados por caixa, b) o número de gelados em n caixas, c) o número de caixas para n gelados.

No caso da alínea a), há apenas uma única pergunta possível. O enunciado fornece o número de gelados em 6 caixas e é procurado o número de gelados numa só caixa. A operação que resolve a situação é uma divisão. Estes problemas são muito vulgares no ensino da divisão e foi um dos problemas formulados pelos alunos. De acordo com (Greer, 1992) são contextos que dão à divisão o sentido de partilha equitativa. O problema colocado por esta questão é resolvido pela divisão dos dois números fornecidos no enunciado, neste caso 24 gelados ÷ 6 caixas. O quociente desta divisão, no quadro das classes de situações enquadradas por Vergnaud no Isomorfismo de medidas, é o valor da relação funcional 4 pastéis por caixa, isto é,

24 pastéis ÷ 6 caixas = 4 pastéis/caixa

No caso da alínea b) só estão definidos explicitamente no contexto fornecido dois números (6 caixas iguais com 24 gelados ao todo) e a pergunta tem de acrescentar irremediavelmente um novo dado (n) que se refere ao número de caixas. A resolução desta situação acarreta várias dificuldades consoante o valor de n, acrescentado pela pergunta, e a relação que esse número tem com as 6 caixas do enunciado. Seja como for há dois processos básicos para resolver este problema: usar a relação escalar ou a relação funcional.

Se n assumir o valor de um número que tenha uma relação de metade, dobro, ou outra dentro dos múltiplos de 6 (e próxima de 6) a resolução do problema é muito intuitiva. Se n for 3, é fácil reconhecer a relação de que 3 é metade de 6 e que, consequentemente, o número de gelados é metade de 24; se n for 12, basta reconhecer que 12 é o dobro de 6 e que o número de gelados será o dobro de 24. Trata-se, portanto, de reconhecer a relação multiplicativa, o escalar, entre os dois valores dentro da mesma grandeza (número de caixas) e aplicar essa relação ao valor da outra grandeza (número de gelados). Se a relação escalar não for facilmente identificável pode-se ainda recorrer a ela, mas é preciso encontrá-la primeiro, dividindo n por 6, e depois usar esse quociente para multiplicar por 24 pastéis e assim encontrar o número de pastéis em n caixas.

Figura 19: Representação das relações que permitem a determinação do número de gelados.

O outro processo de resolução passa por descobrir a razão (relação funcional) entre 24 e 6 (24 é 4 vezes maior que 6), e aplicar essa relação a n (a incógnita será 4 vezes maior que n). Ou seja, procura-se a relação multiplicativa entre dois valores de grandezas diferentes e aplica-se essa relação a n para descobrir a incógnita. São envolvidas duas operações que, na maioria dos casos, são ambas apresentadas explicitamente pelos alunos da resolução do problema: a divisão (24÷6) para saber o número de gelados por caixa e a multiplicação deste quociente pelo número de caixas definido (n). Uma das alunas formulou um problema deste tipo e mostrou conhecer os dois processos de resolução (Figura 19, na pág.90).

Entre as perguntas que incidem em c), só estão abrangidas pela proporcionalidade direta aquelas em que o número de gelados, que é acrescentado pela pergunta, é múltiplo de 416_{. Para se}

perceber esta situação, antes de mais, é preciso frisar que, de acordo com os dados fornecidos no enunciado da tarefa, não se sabe ainda o número de gelados por caixa. Os dados fornecidos continuam a ser 6 caixas e 24 gelados.

As situações mais simples são as que definem 48 ou 12 para o valor de n. Assim, como já acima se referiu, um aluno pode verificar que 48 é o dobro de 24 e, consequentemente o número de caixas será o dobro de 6, ou que 12 é metade de 24 e, então, o número de caixas será metade de 6.

Se os valores fixados para n não estabelecerem com 24 relações multiplicativas, cujo fator escalar seja facilmente identificado por um aluno, então o processo de resolução tem de ser outro. Passa por determinar o número de gelados por caixa que será o divisor de n para se identificar o número de caixas.

Grupo B

Neste grupo, incluem-se as perguntas que se cingem ao que é possível saber a partir da condição proposta pela promoção “leve 3 caixas e pague 2”.

d) número de caixas pagas em 6 caixas adquiridas e) número de caixas pagas em n caixas adquiridas

16 _{Ou múltiplo de 12 caso a incógnita seja o número de conjuntos (packs) de 3 caixas para n gelados.} Não se considera necessário detalhar este caso nesta análise.

f) número de caixas adquiridas em n caixas pagas

A pergunta que incide em d) impõe-se por força do enunciado e descobre uma informação particularmente interessante ou necessária para ser usada nas perguntas que procuram saber o custo das caixas ou gelados sem ter em conta a promoção. Pode resolver-se recorrendo a dois processos: i) encontrar o escalar pelo qual se multiplica 3 caixas para se obter 6 caixas e usá-lo para multiplicar o número de caixas pagas em 3 adquiridas; ii) encontrar a razão de proporcionalidade dividindo 2 por 3 e usá-la para multiplicar 6. Este último processo não é espectável por não ter sido alvo de ensino. A dificuldade estaria em identificar e trabalhar com a fração 2/3 que representa a razão entre caixas pagas e adquiridas.

As alíneas e) e f) são sugestionadas pela alínea d) em virtude desta incidir sobre a relação entre caixas pagas e caixas adquiridas. Tal como se disse acima, (para a alínea c), nestas duas alíneas, n não pode assumir qualquer valor, sob pena de se criar um problema não abrangido pelo Isomorfismo de medidas. Para se manter o Isomorfismo de medidas, isto é, problemas resolvidos apenas por multiplicações ou divisões, é necessário que n seja um múltiplo de três caso a incógnita seja o número de caixas pagas em n adquiridas (alínea e), ou que seja um múltiplo de dois caso a incógnita seja o número de caixas adquiridas em n caixas pagas (alínea f).

Portanto, as perguntas para formulação de problemas situados na classe do Isomorfismo de medidas necessitam de incidir apenas em conjuntos (packs) de 3 caixas como unidade, ou seja, o artigo não pode ser vendido senão em pack de 3 caixas. Assim, o enunciado de uma pergunta dentro da alínea e) deverá questionar “número de caixas pagas em 3 (6, 9, 12, …) caixas adquiridas”. E uma pergunta feita dentro da alínea f) deverá questionar o número caixas adquiridas tendo sido pagas 2 (4, 6, 8, …) caixas. Entre as perguntas formuladas pelos alunos nenhuma incidiu nas alíneas e) e f), mas a alínea d) foi considerada por alguns.

Grupos C

Neste grupo as perguntas incidem sobre o custo mas, em cada alínea, há duas perguntas diferentes consoante a pergunta considere ou não a condição promocional.

g) custo de uma caixa de gelados h) custo de um gelado

i) custo de n caixas de gelados j) custo de n gelados

Considerar ou não a condição promocional permite comparar o custo dos artigos adquiridos com ou sem promoção. Esta comparação é uma questão interessante do ponto de vista da realidade. No primeiro caso trabalha-se com a informação de que foram adquiridas 6 caixas, com 24 gelados, por 7,20€. No segundo caso é preciso ter em conta que 7,20€ é o custo de 4 caixas, um total de 16

gelados. Assim sendo, a formulação de perguntas no âmbito destas alíneas exige que seja explícita a incidência no custo com promoção ou sem promoção. Por exemplo, a pergunta “Quanto custou uma caixa de gelados?” não é suficientemente clara quanto ao custo a considerar. Parece mais provável que um aluno a relacione com os dados explícitos (7,20÷6) e não coloque a hipótese de poder calcular o custo das caixas se não houvesse a condição promocional. De facto aconteceu: o Daniel e a Madalena fizeram a mesma pergunta, quanto custava uma caixa, mas o Daniel subentendendo o custo sem promoção e a Madalena subentendendo o custo com a promoção.

As perguntas que incidem nas alíneas i) e j)17 _{colocam problemas mais complexos, como se}

pode perceber pelo que já foi dito para a alínea f), quando se pretende que os problemas passíveis de serem formulados se mantenham dentro do Isomorfismo de medidas, isto é, a resposta a perguntas desse tipo só são resolvidas recorrendo unicamente às operações de multiplicação ou de divisão se os números atribuídos a n forem, por exemplo, múltiplos de 3, no caso de se pretender saber o custo de caixas considerando o preço promocional.

Neste grupo de perguntas temos ainda a considerar as que incidem sobre o k) número de caixas adquiridas com x euros,

l) número de gelados adquiridos com x euros.

Escolher um número para x na formulação de perguntas que incidam nestas duas alíneas é uma tarefa mais difícil quando se deseja que esse número corresponda ao valor exato de uma compra. É verdade que se pode escolher um número qualquer mas, nesse caso, a resolução implica a interpretação do resto nas divisões.

Seja como for, de acordo com Vergnaud, o envolvimento de números não inteiros torna as situações mais difíceis.

Outras perguntas

A liberdade tomada por quem realiza a tarefa pode conduzir a muitas outras perguntas. Por exemplo, as que incidem sobre o troco que o pai do Francisco tem de receber se pagar a compra com x euros.

17 _{Na verdade, não faz grande sentido determinar o custo de n gelados por que eles não podem ser} adquiridos avulso.