Acoplamento APSO SLPSO

É relevante destacar a diferença entre um processo de múltiplos enxames e o de cooperação. Este último pressupõe alguma troca de informação direta, portanto, é necessário reformular as expressões básicas, buscando manter a forma simples.

A primeira e mais relevante representa o compartilhamento da região promissora encontrada pelo grupo de exploração (SLPSO) com o grupo de convergência (APSO), modificando a Equação 4.1. A velocidade da partícula do APSO passa a ser calculada por:

v_id(t + 1) = vd_i(t) + c3(t) · rd3(t) · (Gbest d SLP SO− x d i(t)) , (4.20) no qual vd

i(t + 1) corresponde exatamente a Equação 4.1, adicionada de um vetor que levará em conta a melhor solução do SLPSO, através do termo GbestSLPSO, em relação

ao vetor posição anterior xd_i, além da adição de um novo termo de confiança c3.

A relação entre os dois grupos pode ser enfatizada pela Figura 24.

Para manter a estabilidade sugerida por Eberhart e Kennedy (1995), a soma dos parâmetros de confiança deveria ser igual a 4. Para este fim, Sun et al. (2017) propõem uma reparametrização destes coeficientes, dividindo a confiança no grupo de forma igualitária entre o APSO e SLPSO e adicionalmente mantendo a sugestão dada em Carlisle e Dozier

(2001), que limitam tais parâmetros entre [1.5, 2.5]. O intervalo para os coeficientes de aceleração ou confiança será dado por: c1 ∈ [1.5, 2.5], c2 ∈ [0.75, 1.25] e c3 ∈ [0.75, 1.25].

Figura 24 – Relação entre os otimizadores

REP

Simulador

Modelo Substituto

SLPSO

APSO

Avaliação de alta fidelidade Avaliação de alta fidelidade

ˆy

ˆy

SLPSO

Gbest

Fonte: O Autor (2018)

Neste ponto deve-se estar atento ao fato que o APSO se utiliza do conceito de estado evolucionário para atualizar tais parâmetros, portanto, propõe-se uma alteração auxiliar na Tabela 6, admitindo algumas distinções, que podem ser sumarizadas na Tabela 7.

Tabela 7 – Estratégias de controle para c1, c2 e c3

Estado c1 c2 c3

Exploração Aumenta Diminui Diminui

Explotação Aumenta levemente Diminui levemente Diminui levemente Convergência Aumenta levemente Aumenta levemente Diminui

Salto Diminui Aumenta Aumenta

Fonte: O Autor (2018)

A Tabela 7 representa o processo de atualização dos coeficientes de confiança baseado no estado evolucionário, seguindo as Equações 4.10 e 4.11. Na fase de exploração, ao contrário do que se imagina, há uma diminuição do valor de c3, apesar deste estar

associado ao grupo de exploração (SLPSO), no entanto, tal escolha é razoável, visto que durante o início do processo de exploração todas as partículas estão em busca livre, sem grande enviesamento pelas regiões promissoras encontradas até então, pois, o próprio

grupo de exploração ainda não possui informações suficientes para orientar o restante do enxame.

Quanto a explotação, a ideia central é valorizar a busca da partícula em sua própria região, portanto, diminui-se a influência do grupo e aumenta-se a confiança no desempenho individual da partícula. No estado de convergência, deve-se assumir que uma região promissora já foi localizada e que o grupo se encaminha a uma solução, portanto, diminuindo a influência do grupo de exploração, que só viria a ser significante caso fosse encontrada uma solução nova, distante da atual, entrando no estágio de salto, e, portanto, ganhando influência sobre o enxame. Na fase de salto, c2 permanece alto, pois

deve-se lembrar que o APSO também possui mecanismos para isto através do método de aprendizagem elitista, como já mencionado, fator reforçado pelo teste em funções analíticas.

De forma geral, observa-se que para aumentar a capacidade de exploração do método o conceito é priorizar a própria capacidade de busca da partícula representado por

c1, limitando os efeitos de aglomeração representados por c2 e c3.

Para exemplificar o comportamento do algoritmo cooperativo será apresentado abaixo alguns resultados obtidos para a minimização de duas funções analíticas tradicio- nalmente usadas como referência e apresentadas na Tabela 8.

Tabela 8 – Duas funções de teste: 1 unimodal e 1 multimodal

Função D [lb, ub] Nome

f1(x) =PDi=1x2i 30 e 200 [−100, 100]D Esfera

f2(x) = 418.9829D −PDi=1xisin( q

kxik) 30 [−500, 500]D Schwefel

Fonte: O Autor (2018)

A função da esfera f1(x) é unimodal e largamente utilizada na literatura para validar

o desempenho dos otimizadores. Os resultados abaixo serão fornecidos para comparar o desempenho da versão tradicional do PSO com a variante aqui sugerida CAPSO, em duas situações: a primeira com um número reduzido de dimensões e em seguida um aumento significativo deste número. Tal comparação aqui é posta para permitir a análise do desempenho dos otimizadores, ausente da influência qualitativa do modelo substituto. A Tabela 9 ilustra o comportamento do otimizador na otimização da função f1(x) com 30

dimensões, fixado um conjunto de 130 partículas para cada otimizador, considerando um total de 20 rodadas.

Os resultados em negrito representam os melhores valores no quadro comparativo e todos são da versão sugerida CAPSO.

A Figura 25 pode ilustrar a evolução do valor da função objetivo ao longo do processo de otimização em escala semi-log, foram fixados o valor de 130 partículas e 300

Tabela 9 – Parâmetros estatísticos do desempenho no problema f1(x) com 30 dimensões

Função Resultados fornecidos em 20 rodadas

f1(x) Melhor Média Pior Desvio Padrão

CAPSO 2.4289e − 11 9.7553e − 11 4.2287e − 10 8.5550e − 11 PSO 1.3245e − 05 3.1462e − 04 0.0010 3.1500e − 04

Fonte: O Autor (2018)

iterações para ambos os otimizadores.

Figura 25 – Evolução do valor de log(Gbest) ao longo da otimização - f1(x) com 30 dimensões

0 50 100 150 200 250 300 Número de iterações 10-15 10-10 10-5 100 105 log ( G best ) f 1(x) - 30D CAPSO PSO Fonte: O Autor (2018)

Observa-se da Figura 25, que além do melhor desempenho final, o CAPSO ainda possui um maior capacidade de exploração, identificando novas regiões promissoras de forma mais rápida, como nos mostra a maior declividade da curva, qualidade importante para problemas complexos.

De forma complementar, pode-se apresentar os parâmetros adaptativos do APSO de acordo com a Figura 26.

Depreende-se da Figura 26 que o otimizador foi capaz de localizar nas iterações iniciais uma região promissora e passou a evoluir o processo de convergência ao longo da otimização, dessa forma, devido à proximidade entre as partículas o valor do fator evolucionário foi reduzido. Conforme apresentado anteriormente, o termo de inércia w é função do fator evolucionário e conforme a etapa de convergência se confirma, a confiança na solução encontrada pela própria partícula diminui, induzindo o conjunto ao entorno das melhores soluções globais. Simultaneamente, os coeficientes de aceleração ou confiança

foram alterados para acompanhar tal cenário, no qual a confiança na melhor solução do grupo de convergência APSO é aumentada, enquanto a do grupo de exploração SLPSO é reduzida.

Figura 26 – Evolução dos parâmetros adaptativos ao longo da otimização.

0 50 100 150 200 250 300 Número de Iterações 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Valor do Fator Evolucionário - f

f

(a) Fator Evolucionário

0 50 100 150 200 250 300 Número de Iterações 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Inércia - w w (b) Inércia 0 50 100 150 200 250 300 Número de Iterações 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 Coeficiente de Aceleração c₁ - confiança pessoal

c₂ - confiança no grupo de convergência c₃ - confiança no grupo de exploração

(c) Coeficientes de aceleração Fonte: O Autor (2018)

Para salientar o desempenho dos dois otimizadores, será elevado o número de dimensões para 200, ainda na análise da função esfera f1(x), fato este que tende a aumentar

a dificuldade de obtenção da solução pelo algoritmo, efeito do aumento exponencial no volume do hiperespaço de projeto.

Neste segundo caso, o número de partículas foi fixado em 150, o que inclui a população do APSO com 30 partículas e o SLPSO com 120, e uma quantidade máxima de 1000 iterações para ambos os otimizadores. Os parâmetros estatísticos dos resultados estão apresentados na Tabela 10, considerando um conjunto de 20 rodadas.

Tabela 10 – Parâmetros estatísticos do desempenho no problema f1(x) com 200 dimensões.

Função Resultados fornecidos em 20 rodadas

f1(x) Melhor Média Pior Desvio Padrão

CAPSO 0.0091 0.0164 0.0273 0.0054

PSO 1.3461e + 03 3.9437e + 04 8.0642e + 04 2.2577e + 04

Fonte: O Autor (2018)

A Figura 27 ilustra a evolução da solução ao longo da otimização no caso f1(x) −

200D.

Figura 27 – Evolução do valor de log(G_best) ao longo da otimização - f₁(x) com 200 dimensões.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Número de iterações 10-2 100 102 104 106 log ( G best ) f₁(x) - 200D CAPSO PSO Fonte: O Autor (2018)

Novamente o desempenho do CAPSO se mostrou superior em todos os parâmetros estatísticos. Salienta-se também que neste segundo caso o PSO tradicional teve bastante dificuldade em melhorar a solução encontrada, ficando preso em um mínimo local, efeito este denominado na literatura como convergência prematura ou aprisionamento das partículas. Contrariamente, o CAPSO manteve o bom desempenho se aproximando bastante do ótimo global f1(X∗) = 0 no ponto X∗ = (0, ...0)D.

A segunda função da Tabela 8, f2(x), é bastante complexa e possui muitos

mínimos locais, sendo utilizada para verificar a capacidade de exploração do otimi- zador, medida em termos da proximidade do ótimo global, que está localizado em

X∗ = (420.9687, . . . , 420.9687)D _{cujo resultado ótimo é f (X}∗_{) = 0. A Figura 28 apresenta}

Figura 28 – Função Schwef - f2(x).

Fonte: O Autor (2018)

Neste caso foi analisado o problema com 30 dimensões, fixado um conjunto de 130 partículas, das quais 30 fazem parte do APSO e 100 do SLPSO, e 5000 iterações para ambos os otimizadores. A Tabela 11 apresenta a análise estatística das soluções em 20 rodadas.

Tabela 11 – Parâmetros estatísticos do desempenho no problema f₂(x) com 30 dimensões.

Função Resultados fornecidos em 20 rodadas

f1(x) Melhor Média Pior Desvio Padrão

CAPSO 25.1237 366.6563 1.0712e+03 323.2235

PSO 2.0210e + 03 3.0130e + 03 3.8690e + 03 574.8834

Fonte: O Autor (2018)

A Figura 29 pode ilustrar a evolução da solução durante a otimização.

Observa-se da Figura 29 que rapidamente o PSO atingiu um platô no valor da função objetivo, efeito este já mencionado aqui como convergência prematura e que recorrentemente é apresentado na literatura com um dos principais empecilhos ao uso do PSO em problemas de larga escala. Diferentemente da versão tradicional, o CAPSO apresentou uma evolução progressiva da solução, mesmo sujeito a um espaço de projeto extremamente complexo, o que salienta sua maior capacidade de exploração e menor suscetibilidade ao efeito de convergência prematura.

Figura 29 – Evolução do valor de log(Gbest) ao longo da otimização - f2(x) com 30 dimensões. 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Número de Iterações 101 102 103 104 105 log (G best ) f 2(x) - 30D CAPSO PSO Fonte: O Autor (2018)