CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
Hygor Vinicius Costa Silva
MÉTODO COOPERATIVO ASSISTIDO DO ENXAME DE PARTÍCULAS APLICADO À OTIMIZAÇÃO DO CONTROLE DAS VAZÕES DOS
POÇOS EM RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO
Recife 2019
MÉTODO COOPERATIVO ASSISTIDO DO ENXAME DE PARTÍCULAS APLICADO À OTIMIZAÇÃO DO CONTROLE DAS VAZÕES DOS
POÇOS EM RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da Universi-dade Federal de Pernambuco, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil.
Área de concentração: Simulação e Ge-renciamento de Reservatórios de Petróleo
Orientadora: Prof.ªDr.ªSilvana Maria Bas-tos Afonso da Silva
Coorientador: Prof. Dr. Ramiro Brito Will-mersdorf
Recife 2019
Catalogação na fonte
Bibliotecária: Rosineide Mesquita Gonçalves Luz / CRB4-1361 (BCTG)
S586c Silva, Hygor Vinicius Costa.
Método cooperativo assistido do enxame de partículas aplicado à otimização do controle das vasões dos poços em reservatórios de petróleo / Hygor Vinicius Costa Silva. – Recife, 2019.
155 folhas, il., fig., gráfs e tabs.
Orientadora: Prof.ª Dr.ª Silvana Maria Bastos Afonso da Silva. Coorientador: Prof. Dr. Ramiro Brito Willmersdorf.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco. CTG. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil e Ambiental. 2019.
Inclui Referências e Apêndice e Anexos.
1. Engenharia Civil. 2. Simulação de reservatórios. 3. Otimização da produção. 4. Método do Enxame de Partículas. 5. Modelos substitutos. 6. Critério de preenchimento. I. Silva, Silvana Maria Bastos Afonso da (Orientadora). II. Willmersdorf, Ramiro Brito. (Coorientador). III. Título.
624 CDD (22. Ed.) UFPE/BCTG/2019- 75
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
A comissão examinadora da Defesa de Dissertação de MestradoMÉTODO COOPERATIVO ASSISTIDO DO ENXAME DE PARTÍCULAS APLICADO À OTIMIZAÇÃO DO CONTROLE DAS VAZÕES DOS
POÇOS EM RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO
defendida por Hygor Vinicius Costa Silva Considera o candidato APROVADO
Recife, 18 de fevereiro de 2019
Prof.ª Dr.ª Silvana Maria Bastos Afonso da Silva – UFPE – Orientadora _______________________
Prof. Dr. Ramiro Brito Willmersdorf – UFPE – Coorientador ________________________________
Banca Examinadora:
___________________________________________ Prof.ª Dr.ª Silvana Maria Bastos Afonso da Silva - UFPE
(orientadora)
__________________________________________ Prof. Dr. Leonardo Correia de Oliveira – UFPE
(examinador externo)
__________________________________________ Prof. Dr. Bernardo Horowitz – UFPE
Agradeço primeiro a Deus pela oportunidade dada a mim, pelo enorme carinho e cuidado que foi depositado em meu caminho, por vezes tortuoso, porém nunca solitário.
Agradecimentos especiais são direcionados aos professores e colegas que de diversas formas contribuíram para a realização deste trabalho. Destaco as oportunidades a mim dadas ainda enquanto aluno de graduação pela Professora Silvana Bastos, que foram essenciais para a construção do profissional que hoje venho a me tornar, sempre em paralelo com os comentários pontuais e de muita qualidade do Professor Ramiro Brito. Agradeço também aos professores e colegas Leonardo Correia e Jefferson Wellano, que acompanharam este processo e por muitas vezes foram inspiração para elaboração desta dissertação.
Gratidão enorme a minha esposa Natália Rangel, minha filha Clara Rangel, por serem a minha base e meu grande motivo de lutar cada dia para me tornar um melhor profissional e uma melhor pessoa. Agradeço o carinho, acolhimento e diversos ensinamentos que pude obter ao longo destes anos da minha sogra Josy Rangel e da minha cunhada Bruna Rangel.
À meus pais, José Ronaldo e Edna Lídia, que foram e sempre serão os meus grandes exemplos, os grandes responsáveis pela pessoa que hoje eu sou. Não tenho palavras para expressar minha gratidão, apenas gostaria de explicitar a admiração e amor que eu sinto por vocês.
Agradecimentos especiais são direcionados a todos do Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal de Pernambuco, aos membros do grupo SIGER, a FACEPE pelo suporte financeiro ao desenvolvimento deste trabalho e aos professores de forma geral.
O processo de gerenciamento da produção de reservatórios de petróleo é um problema matemático complexo, que envolve, não raro, a resolução através de métodos de otimização com um conjunto elevado de variáveis de projeto, além do uso de simuladores custosos computacionalmente. Neste ambiente, surgem diversas ferramentas capazes de solucionar os problemas de controle das vazões nos poços, levando em conta o aumento do retorno econômico, apresentado aqui em função do valor presente líquido (VPL) . As tradicionais técnicas de otimização matemática que envolvem o uso ou aproximação das derivadas são eficientes em situações de complexidade média, definido um ponto inicial adequado, porém, quando o problema cresce em complexidade e multimodalidade, geralmente, há um perda de desempenho e, não obstante, é necessário uma investigação extensiva do ponto inicial a ser adotado, de forma que a principal vantagem que era o reduzido custo computacional passa a ser prejudicado. Dentre os mecanismos que não utilizam a informação do gradiente, chamados algoritmos de busca estocástica, o método do Enxame de Partículas tem ganho um interesse crescente da comunidade científica, devido a sua simplicidade e velocidade de convergência, entretanto, em problemas mais complexos, especialmente com o aumento da dimensionalidade, seu desempenho é bastante degradado, efeito conhecido como convergência prematura. Nesta dissertação foi estudado o uso de uma nova versão do PSO, denominado de método cooperativo assistido do Enxame de Partículas (CAPSO). O CAPSO corresponde a uma técnica de multienxame que associa duas versões robustas do PSO: a primeira corresponde a uma versão adaptativa, enquanto a segunda é uma versão com mecanismos que aumentam a capacidade de exploração do método. Desta forma, a versão apresentada tem objetivo de superar as limitações apresentadas pelo método tradicional, validando seu uso em problemas analíticos e de controle de vazões de poços em reservatórios de petróleo. Para a aplicação no problema do gerenciamento ótimo dos reservatórios, devido ao elevado custo computacional das simulações envolvidas, foi utilizado o uso de modelos substitutos através das funções de base radial (RBF) gaussianas com fator de espalhamento adaptativo. O uso típico destes modelos envolvem a sua construção prévia, mantendo-se fixa ao longo de toda a otimização, este processo pode levar a um uso excessivo de amostras para construir um metamodelo adequado. Para tentar superar esta problemática, será estudado o uso de um critério de preenchimento através da minimização da função densidade que caracteriza a distribuição espacial das amostras. Os resultados obtidos procuram mostrar que o algoritmo apresentado CAPSO foi satisfatório na solução dos problemas do gerenciamento de vazões em reservatórios de petróleo, atualizando os parâmetros de forma adaptativa ao longo da otimização. Além disto, quando associado ao critério de preenchimento do modelo substituto reduziu o custo computacional, mantendo a qualidade das soluções, e em algumas situações melhorando os resultados encontrados em diversas referências.
The management process of oil production is a complex mathematical problem, which often involves resolution through optimization methods with a high set of design variables, in addition to the use of computationally expensive simulaton codes. In this topic, there are several tools capable of solving the problems of flow control in wells, taking into account the increase of the economic return, presented here as a function of the net present value (NPV). The traditional mathematical optimization techniques that involve the use or approximation of derivatives are efficient in situations of medium complexity, defined an appropriate starting point, however, when the problem grows in complexity and multimodality, there is usually a drecrease in performance and, as a consequence, it is necessary an extensive investigation of the starting point to be adopted, so the main advantage that was the low computational cost is affected. Among the mechanisms that do not use requires gradient information, called stochastic search algorithms, the Particle Swarm method has gained an increasing interest in the scientific community, due to its simplicity and speed of convergence, however, in more complex problems, especially with the dimension increase, its performance is rather degraded, an effect known as premature convergence. In this dissertation will be studied the use of a new version of the PSO, called Cooperative Assisted Particle Swarm Optimization (CAPSO). The CAPSO corresponds to a technique of multi-swarms that associates two robust versions of the PSO: the first one corresponds to an adaptive version, while the second one is a version with mechanisms that increase the exploration capacity of the method. In this way, the presented version has the objective of overcoming the limitations presented by the traditional method. For validation were used analytical problems and control of well flows in oil reservoirs. For the applications in optimum reservoir management problem, due to the high computational cost of this type of simulations involved, the use of surrogate models through Gaussian radial basis functions (RBF) with adaptive spread factor was performed. The typical use of these models involves their previous construction, if kept fixed throughout the optimization, this process can lead to an excessive use of samples to build a suitable metamodel. In order to overcome this problem, the use of a infill criteria will be studied by minimizing the density function that characterizes the spatial distribution of the samples. The results obtained show that the algorithm presented CAPSO found satisfactory solutions to the waterflooding problems, updating the parameters adaptively throughout the optimization. In addition, when associated with infill criteria in surrogate models, it reduced the computational cost, maintaining the quality of the solutions, and in some situations improving the results found in several references.
Keywords: Reservoir simulation. Waterflooding optimization. Particle Swarm Method. Surrogate models. Infill criteria.
Figura 1 – Consumo de energia por combustíveis. . . 20
Figura 2 – Cruzamento de dois genitores. . . 30
Figura 3 – Esquema da seleção por roleta ou seleção proporcional. . . 31
Figura 4 – Exemplos de aproximação . . . 35
Figura 5 – Exemplos de amostragem . . . 37
Figura 6 – Estrutura da criação de modelos substitutos. . . 38
Figura 7 – RBF Network . . . 39
Figura 8 – Influência do fator de espalhamento na curva gaussiana. . . 41
Figura 9 – Aproximação da Função 3.14 através da RBF Gaussiana. . . 43
Figura 10 – Exemplo da Função Densidade aplicado ao problema da Equação 3.14. 45 Figura 11 – Sobreposição das curvas gaussianas dos pontos conforme a Tabela 3. . . 46
Figura 12 – Atualização do modelo substituto considerando a adição do ponto x11. 47 Figura 13 – Atualização da função densidade considerando a adição do ponto x11. . 47
Figura 14 – Campo de permeabilidade do reservatório sintético apresentado em Oliveira (2006). . . 48
Figura 15 – Modelos substitutos aplicados ao caso 2D do reservatório apresentado em Oliveira (2006). . . 50
Figura 16 – Função Densidade do reservatório sintético. . . 51
Figura 17 – Atualização da posição do PSO. . . 57
Figura 18 – Fase de Exploração - S1 . . . 58
Figura 19 – Fase de Explotação - S2 . . . 58
Figura 20 – Fase de Salto - S4 . . . 59
Figura 21 – Funções dos grupos difusos dos quatro estados evolucionários. . . 61
Figura 22 – Fluxograma do APSO. . . 64
Figura 23 – Principais componentes do SLPSO . . . 67
Figura 24 – Relação entre os otimizadores . . . 71
Figura 25 – Evolução do valor de log(Gbest) ao longo da otimização - f1(x) com 30 dimensões . . . 73
Figura 26 – Evolução dos parâmetros adaptativos ao longo da otimização. . . 74
Figura 27 – Evolução do valor de log(Gbest) ao longo da otimização - f1(x) com 200 dimensões. . . 75
Figura 28 – Função Schwef - f2(x). . . . 76
Figura 29 – Evolução do valor de log(Gbest) ao longo da otimização - f2(x) com 30 dimensões. . . 77
Figura 30 – Estratégia de associação do modelo substituto com o otimizador. . . . 78
Figura 34 – Definição prévia do intervalo dos ciclos de controle para o reservatório 01. 91
Figura 35 – Esquema do diagrama de caixas. . . 92
Figura 36 – Boxplot dos valores de VPL obtidos na Tabela 18. . . 92
Figura 37 – Boxplot dos valores de VPL obtidos na Tabela 20. . . 94
Figura 38 – Taxa de produção de líquidos dos poços produtores. . . 95
Figura 39 – Pressão de fundo de poço dos produtores. . . 96
Figura 40 – Taxa de injeção de água dos poços injetores. . . 97
Figura 41 – Pressão de fundo de poço dos injetores. . . 97
Figura 42 – Valores da produção acumulada nos poços produtores. . . 98
Figura 43 – Controle adaptativos dos parâmetros do CAPSO. . . 99
Figura 44 – Boxplot dos valores de VPL obtidos na Tabela 22. . . 101
Figura 45 – Boxplot dos valores de VPL obtidos na Tabela 23. . . 101
Figura 46 – Parâmetros de controle dos poços no melhor resultado do caso OCNT-TV-3cc. . . 103
Figura 47 – Controle adaptativos dos parâmetros do CAPSO no caso OCNT-TV-3cc.104 Figura 48 – Boxplot dos valores de VPL obtidos na Tabela 26. . . 106
Figura 49 – Boxplot dos valores de VPL obtidos na Tabela 27. . . 107
Figura 50 – O controle das vazões dos poços para o caso OCNT-TF-6cc. . . 109
Figura 51 – Produção acumulada dos poços para o caso OCNT-TF-6cc. . . 110
Figura 52 – Parâmetros do otimizador. . . 111
Figura 53 – Boxplot dos três casos estudados no reservatório 01. . . 112
Figura 54 – Produções acumuladas das melhores soluções dos três casos tratados no reservatório 01. . . 113
Figura 55 – Campo de permeabilidade do reservatório 2. . . 114
Figura 56 – Divisão dos ciclos de controle ao longo do período de concessão. . . 116
Figura 57 – Modelo substituto x Modelo de alta fidelidade. . . 118
Figura 58 – Boxplot dos valores de VPL obtidos na Tabela 35. . . 119
Figura 59 – Parâmetros de controle e produção dos poços produtores no melhor resultado do caso OC-2cc. . . 120
Figura 60 – Parâmetros de controle dos poços injetores no melhor resultado do caso OC-2cc. . . 121
Figura 61 – Parâmetros do otimizador. . . 122
Figura 62 – Boxplot das situações C2 e C3 avaliadas no caso OC-4cc. . . 124
Figura 63 – Parâmetros de controle e produção dos poços produtores no melhor resultado do caso OC-4cc. . . 125
Figura 64 – Parâmetros de controle dos poços injetores no melhor resultado do caso OC-4cc. . . 126
02. . . 129
Figura 67 – Controle com o fechamento abrupto dos poços. . . 130
Figura 68 – Controle dos poços produtores. . . 130
Figura 69 – Controle dos poços apresentados na Tabela 41. . . 131
Figura 70 – Produções acumuladas de óleo. . . 131
Figura 71 – Produções acumuladas de óleo. . . 132
Figura 72 – Parâmetros de controle dos poços injetores no melhor resultado do caso OC-6cc. . . 132
Figura 73 – Produções acumuladas de óleo e água para os melhores resultados do reservatório 02. . . 133
Tabela 1 – Principais funções de base radial. . . 39
Tabela 2 – Pontos de treinamento da RBF. . . 44
Tabela 3 – Pontos de treinamento da RBF. . . 46
Tabela 4 – Condições de Operação dos poços . . . 48
Tabela 5 – Características Gerais do Reservatório . . . 49
Tabela 6 – Estratégias de controle para c1 e c2 . . . 63
Tabela 7 – Estratégias de controle para c1, c2 e c3 . . . 71
Tabela 8 – Duas funções de teste: 1 unimodal e 1 multimodal . . . 72
Tabela 9 – Parâmetros estatísticos do desempenho no problema f1(x) com 30 dimensões . . . 73
Tabela 10 – Parâmetros estatísticos do desempenho no problema f1(x) com 200 dimensões. . . 75
Tabela 11 – Parâmetros estatísticos do desempenho no problema f2(x) com 30 dimensões. . . 76
Tabela 12 – Estratégias de produção. . . 86
Tabela 13 – Características das formulações do problema de injeção de água. . . 86
Tabela 14 – Parâmetros do APSO. . . 88
Tabela 15 – Parâmetros gerais do otimizador e do modelo substituto. . . 88
Tabela 16 – Características petrofísicas e econômicas do reservatório 1. . . 89
Tabela 17 – Dados de operação dos poços. . . 90
Tabela 18 – Parâmetros estatísticos dos resultados obtidos no problema OCNT-TF-3cc. . . 91
Tabela 19 – Comparação dos resultados obtidos no problema OCNT-TF-3cc . . . . 93
Tabela 20 – Resultados estatísticos para o caso OCNT-TF-3cc com a reinicialização das partículas. . . 94
Tabela 21 – Valor das vazões, em m3/dia, obtidas pelo CAPSO com reinicialização das partículas no caso OCNT-TF-3cc. . . 95
Tabela 22 – Resultados estatísticos obtidos no problema OCNT-TV-3cc. . . 100
Tabela 23 – Resultados estatísticos para o caso OCNT-TV-3cc com a reinicialização das partículas. . . 101
Tabela 24 – Comparação dos resultados obtidos no problema OCNT-TV-3cc. . . . 102
Tabela 25 – Valor das vazões, em m3/dia, obtidas pelo melhor resultado do caso OCNT-TV-3cc. . . 103
Tabela 26 – Resultados estatísticos obtidos no problema OCNT-TF-6cc do reserva-tório 1. . . 106
Tabela 28 – Comparação dos resultados obtidos no problema OCNT-TF-6cc. . . 108 Tabela 29 – Valor das vazões, em m3/dia, obtidas pelo CAPSO com reinicialização
das partículas no caso OCNT-TF-6cc. . . 108 Tabela 30 – Comparação dos resultados obtidos com o CAPSO para o reservatório 01.112 Tabela 32 – Características petrofísicas do reservatório 2. . . 114 Tabela 33 – Condições de operação dos poços. . . 115 Tabela 34 – Dados econômicos do reservatório 2. . . 115 Tabela 35 – Resultados estatísticos obtidos no problema OC-2cc para o reservatório
2 com até 15 × ndv pontos amostrais. . . 116 Tabela 36 – Resultados estatísticos obtidos no problema OC-2cc para o reservatório 2.117 Tabela 37 – Valor das vazões, em m3/dia, da melhor solução encontrada pelo
CAPSO no caso OC-2cc. . . 119 Tabela 38 – Resultados estatísticos obtidos no problema OC-4cc para o reservatório 2.123 Tabela 39 – Valor das vazões, em m3/dia, da melhor solução encontrada pelo
CAPSO no caso OC-4cc. . . 124 Tabela 40 – Resultados estatísticos obtidos no problema OC-6cc para o reservatório 2
através da minimização da função densidade com fator de escalonamento (C3). . . 128 Tabela 41 – Valor das vazões, em m3/dia, da melhor solução encontrada pelo
ACO Método da Colônia de Formigas
APSO Método do Enxame de Partículas adaptativo BHP Pressão de Fundo de poço
CAPSO Método cooperativo assistido do Enxame de Partículas DoE Projetos de Experimentos
EA Algoritmos Evolucionários
ELS Estratégia de aprendizagem elitista
GA Algoritmo Genético
Geofac Fator geométrico do elemento de poço
LHS Hipercubo Latino
PSO Método do Enxame de Partículas RBF Funções de base radial
SA Recozimento Simulado
SLPSO Método do Enxame de Partículas com aprendizagem social VPL Valor presente líquido
Wfrac Fração efetiva da área do poço Símbolos Gregos
Fator de influência social do SLPSO
φ Funções de base da RBF
σ Fator de espalhamento da função gaussiana (spread)
% Taxa de mutação
Símbolos Romanos
c1 Confiança pessoal da partícula
d Vetor direção de busca viável
D(x) Função densidade da funções de base gaussiana. E Conjunto finito de restrições de igualdade
f Fator evolucionário
fobj Função objetivo
g Restrição de desigualdade
Gbest Melhor posição encontrada pelo enxame
Gworst Partícula com pior aptidão dentre o enxame
h Restrição de igualdade
I Conjunto finito de restrições de desigualdade
kh Permabilidade horizontal
kv Permeabilidade vertical
L Função Lagrangiana
M População base do SLPSO
m Número de dimensões
N Número de amostras do modelo substituto
np Número de indivíduos da população
P description
Pbest Melhor posição individual obtida pela partícula PL
i Fator de probabilidade de aprendizado do SLPSO
Psat Pressão de saturação
R Conjunto dos números reais
S1 Estado evolucionário de exploração
S2 Estado evolucionário de explotação
s Fator de escalonamento da RBF gaussiana
Tres Temperatura no interior do reservatório v Vetor velocidade das partículas do PSO
x Vetor posição
xlb Limite inferior do vetor posição xub Limite superior do vetor posição ˆ
y Valor aproximado fornecido pelo modelo substituto Outros Símbolos
1 INTRODUÇÃO . . . . 19 1.1 Motivação . . . . 19 1.2 Objetivos . . . . 22 1.3 Metodologia . . . . 23 1.4 Organização do texto . . . . 23 2 OTIMIZAÇÃO . . . . 25 2.1 Formulação Padrão . . . . 25 2.2 Terminologia e Classificação . . . . 25 2.3 Programação Matemática . . . . 27 2.4 Algoritmos Evolucionários . . . . 29 2.4.1 Algoritmo Genético . . . 29 3 MODELOS SUBSTITUTOS . . . . 33 3.1 Terminologia e classificação . . . . 33 3.2 Técnicas de amostragem . . . . 35 3.2.1 Hipercubo Latino . . . 37 3.3 Técnicas de interpolação . . . . 37
3.3.1 Funções de base radial . . . 38
3.4 Função densidade . . . . 43
3.5 Técnica de escala adaptativa . . . . 52
4 MÉTODO DO ENXAME DE PARTÍCULAS . . . . 53
4.1 Introdução . . . . 53
4.2 Formulação tradicional do PSO . . . . 56
4.3 Método adaptativo do Enxame de Partículas . . . . 56
4.3.1 Controle adaptativo dos parâmetros . . . 61
4.4 Método de aprendizagem social . . . . 65
4.4.1 Descrição do algoritmo . . . 66
4.4.2 Parâmetros de controle variando com a dimensão . . . 68
4.5 Método Cooperativo Assistido . . . . 69
4.5.1 Acoplamento APSO - SLPSO . . . 70
4.5.2 Associação com o modelo substituto . . . 77
4.6 Método da penalidade adaptativa . . . . 80
5 PROBLEMAS E RESULTADOS . . . . 82
5.1 Gerenciamento das vazões . . . . 82
5.2 Parâmetros econômicos . . . . 84
5.3 Formulação do problema . . . . 85
definição prévia dos três ciclos de controle para o reservatório 1. . . . 91
5.5.2 Problema 2 - OCNT-TV-3cc: Operação em capacidade não topada com durações dos três ciclos de controle adotadas como variáveis de projeto para o reservatório 1. . . 100
5.5.3 Problema 3 - OCNT-TF-6cc: Operação em capacidade não topada com definição prévia dos seis ciclos de controle para o reservatório 1. . . 105
5.6 Reservatório 2 - Egg Model . . . 113
5.6.1 Problema 1 - OC-2cc: Otimização dos controles com definição prévia dos dois ciclos de controle. . . 115
5.6.2 Problema 2 - OC-4cc: Otimização dos controles com definição prévia dos quatro ciclos de controle. . . 123
5.6.3 Problema 3 - OC-6cc: Otimização dos controles com definição prévia dos seis ciclos de controle. . . 128
6 CONCLUSÃO . . . 135
6.1 Trabalhos futuros . . . 138
REFERÊNCIAS . . . 139
APÊNDICE A – PSEUDOCÓDIGO DO CAPSO . . . 146
ANEXO A – FUNDAMENTOS DOS RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO . . . 148
1 INTRODUÇÃO
Esta seção apresenta o cenário que motivou a elaboração desta dissertação, incluindo o contexto econômico e os desafios acadêmicos.
1.1 Motivação
A energia, nas suas formas mais variadas, corresponde a uma necessidade da espécie humana que acompanha o progresso de desenvolvimento de sua sociedade. Com o advento da era moderna e a revolução industrial, o consumo se eleva a níveis nunca vistos e a necessidade recorrente por avanços tecnológicos na área de produção de energia surge naturalmente para acompanhar a crescente demanda.
Dessa forma, com o advento dos motores a gasolina e a óleo diesel, o petróleo passou a ser a grande matriz energética mundial, chegando a representar aproximadamente 50% do consumo de energia primária no início dos anos de 1970 (ANEEL, 2008), o que foi reduzido progressivamente com o incremento da matriz renovável.
O cenário global para a indústria do petróleo possui alguns indicadores de cres-cimento interessantes e que reforçam a necessidade de investimentos em tecnologia e inovação, visto os novos desafios a serem enfrentados nos próximos anos, como o aumento do consumo de energia, que em 2017 cresceu 2.2%, segundo Petroleum (2018), o maior desde 2013.
A respeito do óleo cru, por exemplo, pode-se destacar o seguinte contexto (PE-TROLEUM, 2018):
• O preço médio do barril de óleo aumentou de $43.73 em 2016 para mais de $70 em 2018. Este é o segundo ano consecutivo de alta desde 2012.
• O consumo global de óleo aumentou em média 1.8% por ano nos últimos 10 anos, sendo puxado pelo crescimento econômico da China e dos Estados Unidos mais recentemente.
• A produção global de óleo aumentou em 0.6 milhões de barris por dia, sendo ainda assim abaixo da média pelo segundo ano consecutivo. Efeito da redução na produção pela Arábia Saudita e Venezuela.
O ambiente apresentado reforça a importância desta indústria atualmente e para o futuro, sendo toda a cadeia tecnológica influenciada pela crescente demanda.
A Figura 1 ilustra a projeção feita por Conti et al. (2018) para o consumo de combustíveis, evidenciando que o petróleo, juntamente com seus derivados, em especial o gás natural, permanecerão dominando a maior parcela do mercado até no mínimo 2050,
por consequência, o desenvolvimento de tecnologias para recuperação eficiente e otimização da produção serão necessárias.
Figura 1 – Consumo de energia por combustíveis.
45
40
35
30
25
20
15
10
05
0
1990 2000 2010 2020
2017
2030 2040 2050
Energia consumida por combustíveis
Quadrilhões de BTUs
histórico
projeção
petróleo
gás natural
carvão
outras energias
renováveis
nuclear
hídrica
biocombustíveis
Fonte: Adaptado de Conti et al. (2018)
Os problemas da engenharia vêm aumentando de forma contínua sua complexidade, de forma que as tradicionais técnicas empíricas para definição de vários de seus parâmetros deixaram de ser uma boa opção em várias situações. Nesse contexto, os processos de otimização vêm sendo aplicados com eficiência para auxiliar na tomada de decisão de diversas áreas, dentre elas, da engenharia de reservatórios de petróleo, devido ao elevado valor monetário aplicado.
A engenharia de reservatórios de petróleo faz parte do complexo da Indústria do Petróleo e Gás, sabidamente uma das principais industrias do mundo. Esta engenharia desenvolve vários dos aspectos de exploração e produção (E&P), que é conhecido como setor upstream, envolvendo a definição de novos campos para exploração, técnicas de extração e recuperação, posição e operação dos poços, dentre outros.
A principal função deste segmento é definir o conjunto citado de forma que a solução mais eficaz seja encontrada, para isso, os processos de otimização estão sendo usados de
forma constante. No entanto, os problemas de otimização estão sujeitos às mais variadas condições, que impõem o uso de diferentes técnicas para sua solução. Tradicionalmente, as formulações matemáticas são as mais utilizadas, pois resultam, em condições normais, em um número menor de avaliações de função, estando sujeitas ao uso ou aproximação das derivadas em frações do espaço de projeto.
Mais recentemente, com a introdução do algoritmo Genético na década de 60, um novo conjunto de otimizadores passou a ser utilizado em diversos problemas reais da engenharia, algoritmos estes conhecidos como meta-heurísticos ou de busca estocástica. A grande vantagem destes algoritmos consiste na ausência do uso de derivadas, que em vários problemas reais passa a ser um termo praticamente impossível de se obter analiticamente ou se torna custoso computacionalmente.
Este tipo de algoritmo possui uma maior chance de obter a melhor resposta em termos da exploração global do problema, ou seja, aquela contida em todo o espaço de projeto, no entanto, o custo computacional é elevado devido ao número excessivo de avaliações de funções requerido.
Como já salientado, a definição de qual algoritmo melhor resolve determinado problema estará bastante associado às suas condições. O Algoritmo Genético (Genetic
Algorithm - GA) , por ser um dos pioneiros, passou a ser utilizado com bastante frequência
para buscar soluções ótimas deste tipo de problema, todavia, outros otimizadores de busca estocástica vêm ganhando interesse da comunidade científica, em especial o Método do Enxame de Partículas (Particle Swarm Optimization - PSO) , devido à maior velocidade de convergência e simplicidade.
O PSO tradicional, apesar de ser aplicado com sucesso em diversas temáticas, apresenta, como maior barreira ao seu uso, a degradação do desempenho com o aumento da dimensionalidade do problema, termo conhecido como convergência prematura (EL-ABD, 2009), representado pelo aprisionamento das partículas em mínimos locais.
Nesse contexto, o presente trabalho visa introduzir uma nova versão do PSO capaz de reduzir o efeito desta desvantagem do algoritmo, de forma que as suas qualidades possam ainda ser aproveitadas na solução de problemas como o da engenharia de reservatórios. Para isso, um sistema de multienxame foi apresentado, através de um processo de cooperação entre diferentes versões do PSO, são elas: o PSO adaptativo (ZHAN et al., 2009) e o PSO com aprendizagem social (CHENG; JIN, 2015), resultando na fuga da tradicional evolução monotônica do método e inserindo mecanismos para melhorar sua capacidade de exploração.
Outro aspecto relevante nos processos de otimização em reservatórios de petróleo é que o custo computacional das simulações são bastante elevados, o que pode resultar em análises que duram alguns minutos ou até semanas. Para reduzir este custo computacional serão utilizados modelos substitutos, baseados no emprego de técnicas de regressão, que criam uma superfície de resposta da função objetivo. A definição das amostras que serão
utilizadas para criar esta superfície é também um ponto de inúmeros estudos, neste trabalho será avaliado o uso de critérios de preenchimento (BALREIRA, 2018) durante o processo de otimização através da minimização de uma função densidade atrelada a técnica das funções de base radial (Radial Basis Function - RBF) (FORRESTER; KEANE, 2009), assistindo o otimizador na definição da melhor solução.
1.2 Objetivos
Esta dissertação tem como objetivo geral apresentar uma formulação nova do método do Enxame de Partículas associado ao uso de modelos substitutos adaptativos, permitindo a obtenção de soluções através de um processo mais eficiente do uso de avaliações no simulador, principalmente, quando associado a problemas de elevada complexidade e número de dimensões.
Para atingir tal meta, um conjunto de objetivos específicos podem ser definidos:
• Desenvolver um algoritmo com o esquema multienxame e técnicas de fuga do efeito de aprisionamento em mínimos locais.
• Apresentar uma estratégia para controle adaptativo dos parâmetros do otimizador. • Avaliar a reinicialização das partículas durante o processo de otimização como
estratégia de melhoria da busca global.
• Avaliar o desempenho da versão proposta do PSO em relação a versão tradicional em problemas de funções analíticas com diferente número de dimensões.
• Analisar o uso de funções de base radial gaussiana como modelo substituto para os problemas de gerenciamento de vazões em poços de petróleo.
• Nestas funções de base, avaliar o uso de fatores de espalhamento adaptativos. • Utilizar a função densidade dos pontos amostrais como critério de preenchimento. • Avaliar a qualidade do modelo adaptativo em diferentes condições de restrição do
problema de otimização.
• Analisar a variação do valor presente líquido do projeto, função objetivo, com o aumento do número de ciclos de controle e, portanto, do número de dimensões. • Comparar as soluções obtidas com as principais referências.
1.3 Metodologia
O problema de fluxo de fluidos no interior do reservatório foi resolvido através do simu-lador comercial IMEX (COMPUTER MODELLING GROUP LTD., 2017), que defini, segundo as características petrofísicas do reservatório, a vazão dos poços produtores. Estas vazões permitiram a análise da viabilidade econômica do reservatório, representada nesta dissertação pelo valor presente líquido (VPL), através das receitas pela venda do óleo cru e das despesas pela produção e injeção de água.
Devido ao elevado custo computacional destas avaliações no simulador, foi cons-truído um modelo substituto através da técnica das Funções de Base Radial (RBF) (FORRESTER; KEANE, 2009), que permitem a criação de uma superfície de resposta que aproxima o valor obtido na função real. Foi analisado o uso de funções de base gaussiana com fator de espalhamento adaptativo (KITAYAMA; ARAKAWA; YAMAZAKI, 2011) nesta dissertação.
Estes metamodelos foram atualizados de maneira adaptativa durante o processo, segundo duas amostras de preenchimento: os pontos que minimizam a função densidade do conjunto amostral de treinamento da RBF e as melhores soluções obtidas pelo otimizador. Este esquema visa definir um estratégia de escolha mais efetiva dos pontos amostrais, de forma que o custo computacional possa ser reduzido sem degradar o valor obtido como solução.
Os problemas de otimização do gerenciamento das vazões em poços de petróleo são bastante não lineares e podem estar sujeitos a um conjunto vasto de variáveis de projeto, assim, a escolha do otimizador passa pela análise das características do problema. Nestas condições, o PSO tradicional tende a sofrer uma degradação do seu desempenho, devido ao aprisionamento em mínimos locais (BERGH; ENGELBRECHT, 2004), de forma que foram sugeridas modificações na estrutural original para reduzir estes efeitos, entre as principais mudanças está o uso de um sistema multienxame associado ao controle adaptativo dos parâmetros do otimizador.
1.4 Organização do texto
No Capítulo 2 foram apresentados os conceitos gerais que envolvem o processo de otimização, apresentando sua formulação geral, terminologias, um conceito breve sobre programação em caráter matemático, em seguida será apresentado o conceito geral sobre os algoritmos meta-heurísticos, com destaque para o GA que foi aplicado no subproblema resultante do critério de preenchimento.
O Capítulo 3 apresenta toda a temática que envolve o uso de modelos substitutos, passando pela suas classificações, métodos de amostragem, destacando o método das Funções de Base Radial Gaussiana e a definição de uma função densidade que será utilizada como critério de preenchimento.
O Capítulo 4 é totalmente dedicado a uma análise extensiva do método do Enxame de Partículas, apresentando sua formulação tradicional e as novas versões, primeiro o método adaptativo e em seguida o de aprendizagem social, explicando as condições de cooperação entre eles.
No Capítulo 5 é apresentado os problemas estudados e os resultados obtidos, onde serão comparados as principais soluções com referências do campo.
Conclusões são apresentadas no Capítulo 6 para finalizar a presente dissertação. As referências bibliográficas estão listadas em seguida.
2 OTIMIZAÇÃO
Uma das formas mais simples de definir o processo otimização é buscar o melhor resultado utilizando a menor quantidade possível de recursos (GOMEZ; OAKES, 2004). O propósito da otimização é, portanto, definir um conjunto de parâmetros que leva a um melhor objetivo, personalizada por um conjunto de restrições. Tal situação é bastante frequente nos problemas de engenharia, que através de metodologias distintas, busca definir as soluções para problemas limitados a uma quantidade de recursos disponíveis.
2.1 Formulação Padrão
O problema clássico de otimização pode ser apresentado da seguinte forma (SILVA, 2001): Minimize x fobj(x) Sujeito à g(x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , p h(x) = 0, j = 1, 2, . . . , q xlb ≤x ≤ xub (2.1)
O termo fobj(x) representa a função objetivo e consiste no termo de referência para o projeto, podendo ser minimizado ou maximizado conforme a necessidade do problema. A função objetivo depende de um conjunto de parâmetros, dentre eles, alguns tem grande influência sobre a função e podem assumir diversos valores, denominados variáveis de projeto x, cabendo ao responsável técnico pelo projeto muitas vezes definir tais valores em torno de sua própria experiência ou de estratégias empíricas.
Do ponto de vista da engenharia, com o aumento da complexidade dos projetos e a busca pela ampliação do retorno econômico, ficou evidente a necessidade da escolha adequada destas variáveis, que deveriam, portanto, passar por uma análise matemática capaz de definir seus valores ótimos, garantindo ainda que o projeto respeite um conjunto de limitações, sendo estas, características da própria física do problema, escrito por exemplo como uma restrição de desigualdade g(x) ≤ 0 (deslocamento, custo, vazão limite da plataforma, manutenção da pressão média do reservatório, entre outros.), ou como uma restrição de igualde h(x) = 0, sendo p e q o número de equações de desigualdade e igualdade respectivamente, além da imposição de valores mínimos, xlb, e máximos, xub, também chamados de limites inferiores (lower bound) e superiores (upper bound), geralmente imposição de normas reguladoras ou de condições de operação.
2.2 Terminologia e Classificação
O otimizador é em si uma metodologia proposta para a obtenção dos valores ótimos das variáveis de projeto, compreendo diversas estratégias, que variam desde uma concepção
mais matemática até métodos estocásticos que se inspiram no comportamento da natureza. A definição de qual otimizador é mais adequado à solução de um determinado problema fica limitado às características deste, que irão depender do custo computacional, facilidade de se obter uma descrição analítica do problema, uso de simuladores, facilidade ou não da obtenção das derivadas, precisão da solução, confiança no resultado, entre outros.
Neste contexto, uma classificação simplória diria respeito apenas ao uso ou não de derivadas, separando estes otimizadores em dois grupos, os tracionais, que fazem o uso das derivadas em sua formulação matemática, e os estocásticos ou de busca, que não fazem uso destes valores.
Para uniformizar o entendimento a respeito dos termos utilizados serão apresentadas suas terminologias no esquema abaixo:
• Variáveis de Projeto: são os termos que podem ser modificados ao longo do processo de otimização. Elas podem assumir valores contínuos (reais), inteiros ou discretos, abordados de maneira determinística ou estocástica.
Do ponto de vista do problema de gerenciamento de reservatórios, essas podem representar por exemplo:
– Vazões nos poços produtores e injetores
– Definição dos intervalos de tempo de cada ciclo de controle – Pressão no fundo dos poços (BHP - bottom hole pressure) – Posição dos poços (análise topológica)
• Restrições: são limites impostos ao projeto, que podem ser apresentados através de funções de igualdade ou desigualdade. Segundo Silva (2001) pode-se dividir tais restrições em dois grupos:
– Restrições Laterais: Efetuadas diretamente sobre as variáveis de projeto, limi-tando seus valores.
– Restrições de Comportamento: Condições desejáveis ou necessárias ao projeto (e.g., limite de produção e injeção total da plataforma, reposição de vazios do
reservatório, produção máxima de água, relação gás-óleo).
• Espaço de Busca ou Espaço de Projeto: é o conjunto, espaço ou região de valores que as variáveis de projeto podem assumir ao longo da otimização. Este espaço ainda pode ser definido em função das restrições, dividindo-o em viável, que atende ao conjunto de restrições, ou inviável, que não atende uma ou mais restrições.
• Função Objetivo: expressão que representa uma função pré-especificada para a melhoria do projeto, em termos de maximizar ou minimizar o seu valor, cujo comportamento é apresentado dentro do espaço de projeto. Nos problemas de otimização podemos de forma simples dividi-las em dois grupos:
– Uniobjetivo: Apresenta uma única função como parâmetro de escolha do projeto. – Multiobjetivo: Apresenta mais de uma função como parâmetro, sendo estas
geralmente conflitantes, suas respostas, portanto, não correspondem a um único ótimo, mas sim a um grupo de soluções que caracteriza o comprometimento entre os diversos objetivos (ÁVILA, 2006).
• Ponto Ótimo: é o ponto apresentado pelo vetor de variáveis x∗ = (x∗1, x∗2, · · · , x∗m), formado pelos valores das variáveis que obtiveram a melhor resposta da função objetivo e simultaneamente atenderam a todas as restrições.
• Valor Ótimo: é o valor da função objetivo fobj(x∗) avaliado no ponto ótimo. • Solução Ótima: é o par solução formado pelo valor ótimo e ponto ótimo, podendo
ser descrito como:
– Local: melhor solução dentro de uma determinada vizinhança. – Global: melhor solução dentro do espaço de projeto viável. – Restringida: atende a todas as restrições.
– Não-restringida ou Violada: não atende a alguma das restrições.
De acordo com Silva (2001) os otimizadores tradicionais, ou baseados em métodos matemáticos, geralmente possuem a convergência provada, no entanto, não há garantia que a solução obtida será a melhor solução de todo o espaço de projeto, ou seja, a solução global, pois o método é extremamente dependente do ponto de partida, ficando, não raro, preso em mínimos locais.
2.3 Programação Matemática
Os métodos de programação matemática foram desenvolvidos para resolver o problema de otimização de forma iterativa e determinística, utilizando gradientes, funções e operações matriciais (CASTRO, 2001).
Uma forma tradicional de resolver o problema de otimização é admitir uma função Lagrangiana L(x, λ) que relaciona a função objetivo com as suas respectivas restrições. De acordo com o problema geral exposto na Equação 2.1, pode-se escrevê-la como:
L(x, λ) = f(x) + p X i=1 λigi(x) + q X j=1 λjhj(x) , (2.2)
onde λ corresponde aos multiplicadores de Lagrange associados às restrições g e h, que correspondem respectivamente as restrições de desigualdade e igualdade, avaliadas no vetor de variáveis x.
Em Nocedal e Wright (2006) são apresentadas propriedades que são fundamentos da maioria dos algoritmos de programação matemática, tais propriedades podem ser definidas através do Teorema 1.
Teorema 1 Admita que x∗ é uma solução local da Equação 2.1, sendo as funções f, g e
h continuamente diferenciáveis e linearmente independentes, então, existirá um vetor dos multiplicadores de Lagrange λ∗ de tal forma que as seguintes equações são atendidas:
∇xL(x∗, λ∗) = 0, (2.3a)
gi(x∗) ≤ 0, para todo i ∈ I, (2.3b)
hi(x∗) = 0, para todo j ∈ E, (2.3c)
λ∗i ≥ 0, para todo i ∈ I, (2.3d)
λ∗igi(x∗) = 0, i ∈ I. (2.3e) As condições apresentadas em 2.3 são conhecidas como condições de
Karush-Kuhn-Tucker, ou condições KKT (NOCEDAL; WRIGHT, 2006) . As Equações 2.3b e 2.3c
verificam a viabilidade do problema, ou seja, é verificado se a solução encontrada atende as restrições impostas, onde I e E são conjuntos finitos de restrições de desigualdade e igualdade, respectivamente; a Equação 2.3d é conhecida como condição de positividade do multiplicador; enquanto a Equação 2.3e é conhecida como condição complementar, responsável por verificar se a restrição i está ativa ou λ∗i = 0. Em especial, quando a restrição não está ativa, pode-se retirá-las do conjunto de forma que a Equação 2.3a pode ser reescrita como:
0 = ∇xL(x∗, λ∗) = ∇xf (x) + I X i λi∇xgi(x) + E X j λj∇xhj(x) , (2.4) conhecida como condição estacionária.
A maioria destes métodos se baseia em um processo iterativo, partindo do ponto inicial x0 e atualizando a nova posição de acordo com as informações obtidas pelas derivadas,
convergindo para a solução x∗. Tradicionalmente este processo pode ser escrito como:
xk+1 =xk+ αdk+1, (2.5)
onde xk+1 é a nova posição, atualizada em função da anterior xk, associada ao tamanho do passo α e a direção de busca viável dk+1.
2.4 Algoritmos Evolucionários
Na década de 60, começaram a surgir nas ciências da computação um conjunto de algoritmos baseados no comportamento da natureza, denominados evolucionários (EA - Evolutionary
Algorithms) . O conceito geral envolve a criação de uma população e a busca de maneira
estocástica pelo espaço de projeto, afastando a necessidade do uso das derivadas, sendo especialmente útil em problemas altamente complexos (WONG; LEUNG; WONG, 2009). Além disto, a melhor chance de localização do ótimo global acabou gerando o interesse de vários campos da ciência e das engenharias produzindo inúmeros artigos nas últimas décadas (HADKA; REED, 2013), sendo considerados um tipo de inteligência artificial. Este campo da otimização também foi aplicado em problemas reais com sucesso em diversos casos, como: design mecânico (LAMPINEN; ZELINKA, 1999), proteção ambiental (BERTINI et al., 2010) e projetos de reatores nucleares (SACCO et al., 2009).
Atualmente o algoritmo genético (GA) é o mais conhecido dentre os evolucionários, no entanto, existem um conjunto de outras propostas envolvendo as mais diversas metodo-logias, dentre as mais tradicionais temos: o algoritmo do enxame de partículas (Particle
Swarm Optimization - PSO), resfriamento simulado (Simulated Annealing - SA) e colônia
de formigas (Ant Colony Optimization - ACO).
De forma geral, os algoritmos evolucionários começam com a inicialização randô-mica da população, evoluindo sua posição ao longo das gerações. Os indivíduos novos são selecionados a partir da população anterior, realizando processos de cruzamento do vetor de dimensões e avaliados na nova posição. Através de um processo iterativo os membros evoluem e melhores soluções são alcançadas. Segundo Simon (2013), os Algoritmos Evolu-cionários ainda podem ser considerados como uma subclasse das técnicas de Inteligência Artificial, metodologia que tem ganhado bastante destaque nos últimos anos.
Nesta dissertação, o otimizador adotado para o processo principal foi o PSO, mais precisamente será apresentada uma nova versão deste, no entanto, o tradicional Algoritmo Genético será utilizado em um subproblema do processo e por este motivo será apresentado de forma sucinta abaixo.
2.4.1 Algoritmo Genético
Proposto inicialmente por Holland (1975), o algoritmo genético (GA - Genetic Algorithm) tradicional se baseia no conceito da evolução das espécies de Darwin, em especial, na transformação genética oriunda deste processo.
O algoritmo básico do GA segue o esquema:
Passo 1. Criação da população inicial de forma randômica no espaço de projeto. Passo 2. Avaliação da função aptidão de cada indivíduo.
Passo 3. Seleção dos indivíduos que serão admitidos como "genitores", baseado no valor da sua função aptidão.
Passo 4. Criação da nova população através do cruzamento e/ou mutação dos membros selecionados.
Passo 5. Verificação da convergência. Caso ocorra, o processo é interrompido, caso não, retorne ao passo 2.
O passo número 3 aplica a pressão evolutiva, na qual a técnica da roleta é utilizada para selecionar genitores que formaram a nova população. O valor da função aptidão ordena estes genitores, de forma que a probabilidade de escolha seja proporcional ao seu valor. Após a seleção, a nova população é gerada pelo cruzamento dos genitores selecionados, bem como pode sofrer a influência de mutações nestes cromossomos, introdução de pertubações aleatórias no gene originário do genitor, o que eleva a diversidade da população e garante ao GA uma alta capacidade de exploração (JONES, 1998).
A Figura 2 mostra o cruzamento dos genes de dois genitores, formando dois novos indivíduos.
Figura 2 – Cruzamento de dois genitores.
1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0
{
Dois Genitores{
{
Dois Sucessores ponto de cruzamentoFonte: Adaptado de Simon (2013)
Um forma comum de selecionar os genitores é através da técnica da roleta ou seleção pelo ajuste proporcional. Admita, para exemplificar, um conjunto de quatro indivíduos que compõe a população do GA. Suponha que a função aptidão, em um problema de maximização, destes indivíduos é dada da seguinte forma:
Indivíduo 1: fobj = 10 Indivíduo 2: fobj = 20 Indivíduo 3: fobj = 30 Indivíduo 4: fobj = 40
Segundo a teoria da evolução de Darwin, os indivíduos que melhor se ajustaram ao ambiente terão maior chance de evoluir e gerar novas gerações, desta forma, a técnica do ajuste proporcional determina que a chance de escolha seja ponderada pela aptidão, porém a seleção continua sendo aleatória. A Figura 3 apresenta este esquema para os quatro indivíduos da Equação 2.6.
Figura 3 – Esquema da seleção por roleta ou seleção proporcional.
40
30
20
10
Indivíduo 4
Indivíduo 3
Indivíduo 2
Indivíduo 1
Fonte: Adaptado de Simon (2013)
Outra característica do GA é o processo de mutação, que dentro do conceito biológico representa uma variação relativamente rara no gene durante a propagação entre os genitores e os novos indivíduos. Isso permite ao otimizador explorar novas soluções potenciais, reforçando os aspectos de diversidade do grupo. O parâmetro de mutação é geralmente um valor baixo, em torno de 1%, ou seja, existe 1% de chance do gene selecionado não ser transmitido, aplicando então o gene alternativo.
Se a população possui um conjunto denp indivíduos xi, onde cada indivíduo possui
m genes, e a taxa de mutação é %, então no final de cada geração os genes são trocados se
um valor randômico r, com distribuição uniforme no intervalo [0, 1], for inferior à taxa de mutação %. A Equação 2.7 resume este efeito:
xi(k) = xi(k), se r ≥ % 0, se r < % e xi(k) = 1 1, se r < % e xi(k) = 0 , (2.7) no qual, i ∈ [1, N ] e k ∈ [1, m].
Nesta dissertação o Algoritmo Genético será utilizado apenas em um subproblema de otimização, que será tratado mais a frente, para isso será utilizada a biblioteca do MATLAB (THE MATHWORKS, INC., 2016) que já possui uma versão bastante robusta do GA. Informações adicionais sobre o método podem ser vistas em Oliveira (2013), Simon (2013) e Kumar et al. (2010).
O Algoritmo do Enxame de Partículas (PSO - Particle Swarm Optimization) é a ferramenta principal do processo de otimização desta dissertação e será tratado de forma particular no Capítulo 4.
3 MODELOS SUBSTITUTOS
Os problemas da engenharia são representados, geralmente, através de modelos matemáti-cos, que por si só já admitem algum grau de simplificação. Salvo os casos mais simples que podem ser descritos através de expressões analíticas, grande parte dos problemas de alta complexidade estarão associados ao uso de soluções numéricas.
Com o avanço da capacidade computacional, atrelado a necessidade de modelos cada vez mais próximos a realidade, o uso de simuladores numéricos passou a ser mais frequente. Dentro deste cenário, a engenharia de reservatórios, em especial, vem exigindo uma maior fidelidade da resposta obtida pelo simulador em relação ao encontrado no campo de exploração, de modo que os novos modelos devem corresponder às heterogeneidades dos parâmetros geológicos, descrever o comportamento de falhas geológicas, a relação química entre os componentes existentes no reservatório, bem como o uso de poços direcionais, dessa forma, o custo computacional da simulação neste cenário é muito significativo, em certos casos, pode até se tornar critério proibitivo, em especial do processo de otimização, que não raramente necessita de um número elevado de avaliações de função, portanto, do uso do simulador.
Assim, busca-se reduzir os custos da simulação utilizando com frequência modelos de aproximação da função, de forma que o gasto computacional com as simulações seja feito da forma mais eficiente possível, tais modelos são chamados de substitutos, metamodelos, pois procuram representar o comportamento do problema, sem o uso direto dos simuladores.
3.1 Terminologia e classificação
No contexto da modelagem dos problemas engenharia e otimização, o modelo substituto representa uma alternativa mais barata de processamento, sendo, no entanto, geralmente menos acurado, o que leva a um processo de dualidade da escolha entre o custo computa-cional e a alta fidelidade do modelo.
Do ponto de vista da terminologia existem diversos termos que podem ser utilizados com este significado. Frequentemente na literatura é possível verificar o termo metamodelo como sinônimo de modelo substituto, como apresentado em Johnson et al. (1996), sendo este apenas um dos exemplos, de forma que muitos termos são empregados na literatura, exigindo um exame cuidadoso na descrição do que está sendo utilizado.
Uma primeira classificação foi proposta por Serafini (1999), neste trabalho o autor propõe a divisão dos modelos da engenharia em dois: modelos funcionais e modelos físicos.
• Modelos funcionais: correspondem a aproximação da função resposta através de funções algébricas, sem acréscimo de conhecimento do comportamento físico, apenas relacionando os dados de entrada aos termos de saída.
A maioria destes modelos visa interpolar, sob certas condições, os dados fornecidos, resultando frequentemente em modelos cuja análise é muito barata. Os métodos mais conhecidos são: funções de base radial, krigagem, redes neurais, polinomiais, splines e mais recentemente o sistema de máquinas de vetores de suporte.
• Modelos Físicos: são esquemas baseados no conhecimento das equações físicas governantes do problema, envolvendo a solução numérica de equações diferenciais ou integrais. Não necessariamente o modelo físico será apresentado apenas em torno das equações, podendo também se utilizar de regressões para ajustar parâmetros da análise, não perdendo a sua conexão com a física subjacente. Um exemplo muito famoso da engenharia de estruturas é o uso do modelo de grelhas para descrição do comportamentos de elementos de laje (SILVA, 2009).
A presente dissertação fará uso de modelos funcionais e por este motivo aprofunda-remos a classificação quanto a estes modelos abaixo.
Segundo Barthelemy e Haftka (1993) os modelos funcionais ainda admitem uma classificação quanto a zona do espaço de projeto aproximada, podendo ser descrita como:
• Aproximações locais: estimam o valor resposta em uma zona limitada do espaço de projeto. Este tipo de aproximação possui interesse especial nos métodos que utilizam o conceito de região de confiança (trust region) (ZHOU et al., 2007). • Aproximações globais: apresentam uma aproximação da função resposta em
todo o espaço de projeto, sendo ferramentas fundamentais para exploração e o entendimento deste, especialmente associado ao uso de otimizadores meta-heurísticos (GORISSEN; DHAENE; TURCK, 2009) .
A Figura 4 ilustra a classificação proposta por Barthelemy e Haftka (1993). A acurácia do modelo deve, portanto, estar associada a uma adequada escolha do espaço amostral. Nesse contexto, os métodos que apresentam tal abordagem são denominados projetos de experimentos (Design of Experiments - DoE).
Figura 4 – Exemplos de aproximação -0.2 0 0.2 5 0.4 6 0.6 4 0 0.8 2 0 -2 -5 -4 -6 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
(a) Modelo de alta fidelidade
-0.2 0 0.2 5 0.4 5 0.6 0 0.8 0 -5 -5 (b) Aproximação Global -0.2 6 0 4 0.2 6 0.4 2 4 0.6 0 2 0.8 0 -2 -2 -4 -4 -6 -6 (c) Aproximação Local Fonte: O Autor (2018) 3.2 Técnicas de amostragem
Segundo Montgomery (2012), experimentos são testes ou uma série de rodadas na qual mudanças significativas são feitas nas variáveis de entrada para que se possa observar e identificar as razões pelas quais as variáveis de respostas ou saída se modificaram.
As técnicas de amostragem (DOE -Design of Experiments) são, portanto, ferramen-tas que permitem uma adequada escolha das variáveis de entrada, que aplicada no início do projeto podem resultar em benefícios, tais como a redução da variabilidade e consequente aproximação do alvo do projeto, bem como a redução do tempo de processamento.
No contexto do processo de otimização de reservatórios, tal escolha é de fundamental importância, pois para cada amostra criada será necessário avaliar a função real, onde estes resultados serão salvos e darão origem ao modelo substituto (OLIVEIRA, 2013).
A escolha apropriada deve visar reduzir o custo de processamento, garantindo simultaneamente o metamodelo mais acurado possível. Inicialmente a amostragem parece melhor conforme a maior uniformidade do espaço estudado, característica do Hipercubo Latino (LHS - Latin Hypercube Sampling), no entanto, por vezes, em problemas de otimização com restrições, boa parte do espaço de projeto pode ser inviável. Dessa forma, garantir que as amostras, ou uma parcela destas, estejam no espaço viável é fundamental, principalmente para algoritmos que possuem maior dependência destas posições como os
meta-heurísticos.
Em problemas de otimização cujo número de dimensões é elevado e as restrições limitam severamente o espaço de projeto, outro cuidado simples, é garantir que no mínimo uma parcelas dos pontos estejam na região viável, Oliveira (2013) recomenda que 60% da população seja inicializada desta forma, estratégia adotada nesta dissertação.
Além disso, o tamanho da amostra possui grande importância para a acurácia do modelo substituto. Em geral, o aumento da amostra leva a uma melhora na qualidade do metamodelo, no entanto, além do aumento do custo, em alguns métodos, como as funções de base radial, podem surgir problemas devido ao excesso de pontos em uma sub-região, termo conhecido na literatura como overfitting (AMOUZGAR; STRÖMBERG, 2017), resultando em um modelo que ajustará bem os pontos que estão inclusos na amostra de treinamento, porém, resulta em valores disformes em pontos não inclusos.
A amostra deve ser função das dimensões do problema, tradicionalmente uma aproximação mínima seria admitir um polinômio do segundo grau para ajustar os pontos da amostra. Considerando um problema de m número de variáveis, o tamanho mínimo da amostra deveria ser dado pela Equação 3.1:
N = (m + 1)(m + 2)
2 (3.1)
Considerando este valor como mínimo, Amouzgar e Strömberg (2017) propõem um aumento do tamanho da amostra conforme a complexidade do espaço a ser estudado e o número de variáveis de projeto, dividindo em três grupos: pequenas, médias e grandes amostras, além do número de dimensões.
• Pequenas dimensões: 1.5N pequena, 3.5N média, 6N grande. • Grandes dimensões: 1.5N pequena, 2.5N média, 5N grande.
Apenas para ilustrar, considerando um problema de 72 variáveis, conforme será apresentado nesta dissertação, o número indicado pelo autor seria de no mínimo 2701 pontos de amostragem, o que se torna inviável nos problemas de gerenciamento do reservatório de petróleo pelo custo computacional associado, variando de poucos minutos até horas uma única simulação.
Uma alternativa viável para este cenário seria admitir o valor acima como limite máximo e iniciar a geração do metamodelo com um número inferior de pontos, incluindo novos, devidamente escolhidos ao longo da otimização. Assim, o número de amostras iniciais adotados nos problemas desta dissertação foi de 10m gerados pela técnica LHS e a adição de novos pontos, chamado de critério de preenchimento de múltiplas fases (BALREIRA, 2018), foi feito através da minimização da função densidade.
3.2.1 Hipercubo Latino
O Hipercubo Latino foi originalmente proposto por McKay, Beckman e Conover (1979), sugerindo que cada porção do espaço amostral estivesse representada nas variáveis de entrada. Para isso, o espaço de projeto deveria ser dividido em N estratos de mesma probabilidade marginal 1/N , tal que só exista uma amostra por estrato.
A Figura 5 mostra uma comparação entre a amostra gerada pela técnica LHS e uma randômica.
Figura 5 – Exemplos de amostragem
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
(a) Hipercubo Latino
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 (b) Randômica Fonte: O Autor (2018)
Apesar da metodologia adotada, o LHS continua a ser um método aleatório e, portanto, existem inúmeras disposições possíveis. Diante disto, surgiram algumas estratégias para otimizar a distribuição das amostras, tradicionalmente as principais são: critério de máxima distância (MORRIS; MITCHELL, 1995) e da correlação (TANG, 1998). Keane e Nair (2005) propõem o uso de um termo ∆ para estabelecer qual destas gerações aleatórias seria a mais adequada, segundo a Equação 3.2:
∆ = N −1 X i=1 N X j=1 1 q (xj− xi)2+ (yj − yi)2 , (3.2)
na qual, N é o número total de amostras e (x, y) correspondem aos elementos do vetor que caracteriza o ponto amostral. A expressão acima busca maximizar a distância entre os pontos amostrais, de forma que o valor de ∆ seja o menor possível.
3.3 Técnicas de interpolação
A construção do modelo substituto está associada a criação de uma amostra de treinamento, que inclui um conjunto de variáveis de projeto, valores de entrada, associados às respectivas respostas dadas pelo simulador, as variáveis de saída.
Nesta situação escolhe-se um modelo de regressão que ajustará os pontos fornecidos e servirá como superfície de resposta para o otimizador. As avaliações nas amostras tratadas nesta dissertação foram obtidas considerando o simulador como uma ferramenta caixa-preta (na literatura - black-box), ou seja, não se possui acesso ao código computacional da simulação, apenas é obtido o valor de saída, dado os de entrada.
O procedimento básico de construção do modelo substituto está ilustrado na Figura 6, e corresponde a etapa de escolha da variável, associada a sua importância para a função objetivo, definição de uma estratégia para amostragem, aqui escolhido o hipercubo latino (LHS - Latin Hypercube Sampling), escolha do modelo substituto, uma busca é feita por
novos pontos para atualizar o modelo e em seguida este é refinado.
Figura 6 – Estrutura da criação de modelos substitutos.
Experimentos Preliminares Plano de amostragem Observação Construção do modelo substituto Critério de preenchimento Adicionar novas observações
Fonte: Adaptado de Forrester e Keane (2009)
3.3.1 Funções de base radial
RBFs são somas ponderadas de funções simples que tentam reproduzir o comportamento do espaço de projeto, mesmo que não linear. Sóbester (2003) faz uma analogia física com o uso do sintetizador, que para imitar um timbre específico usa uma soma ponderada de tons puros.
Admita uma função definida em um espaço Rm com m dimensões. Fornecendo ao simulador um total de N pontos do espaço de projeto, apresentados por [x(1),x(2), . . . ,x(N )],
onde x ∈ Rm é um vetor de variáveis independentes dados por x = [x
1, x2, . . . , xm]. As variáveis de resposta serão dadas por y = [y(1), y(2), . . . , y(N )].
Definindo um conjunto de funções, usualmente não-lineares, φ(·) , associadas as distâncias euclidianas em relação ao ponto de análise, dadas por r = kx − xik. Pode-se apresentar o valor aproximado como uma soma ponderada destas funções, assim como mostrado na Equação 3.3. ˆ y = ˆf (x) = N X i=1 wiφ (x − x i) . (3.3)
De forma que ˆy corresponde ao valor aproximado no ponto x; w os pesos de cada
função de base φ relacionada a norma da distância euclidiana.
O modelo de redes de funções de base radial é tradicionalmente ilustrado pela Figura 7. Figura 7 – RBF Network x1 x2 x3 φ1(x) φ2(x) φ3(x) w1 w2 w3 f(x)
Entrada Fun¸c~oes Sa´ıda
Fonte: O Autor (2018)
De acordo com Forrester e Keane (2009), entre os exemplos mais tradicionais de funções de base radial estão inclusos os elementos apresentados na Tabela 1, onde r corresponde a distância radial e σ ao fator de espalhamento.
Tabela 1 – Principais funções de base radial.
Linear φ(r) = r
Cúbico φ(r) = r3
Thin plate spline - TPS φ(r) = r2ln(r)
Gaussiana φ(r) = e−r2/σ2
Multi-quadrática φ(r) = (r2+ σ2)1/2 Multi-quadrática inversa φ(r) = (r2+ σ2)−1/2
Fonte: Adaptado de Forrester e Keane (2009)
Nesta dissertação será utilizada as funções gaussianas associada ao cálculo adapta-tivo do fator de espalhamento (spread).
