Algebras de Lie ´

Uma classe especialmente importante de ´algebras ´e formada pelas chamadas ´algebras de Lie. Por raz˜oes hist´oricas o produto de dois elementos de uma ´algebra de Lie ´e denotado pelo s´ımbolo [a, b] em lugar dea·b, nota¸c˜ao que seguiremos aqui.

Uma ´algebraL(sobre um corpoK) ´e dita ser uma´algebra de Lie²⁶se seu produto, al´em das propriedades distributivas gerais dos itensaebda p´agina 104, satisfizer tamb´em

a. Para todoa∈Lvale [a, a] = 0.

A primeira propriedade tem uma implica¸c˜ao importante. Como [a, a] = 0 para todo a ∈ L, vale tamb´em que [a+b, a+b] = 0 para todos a, b∈L. Expandindo o lado esquerdo teremos que 0 = [a+b, a+b] = [a, a] + [b, b] + [a, b] + [b, a] = [a, b] + [b, a], ou seja, valer´a a importante propriedade de anticomutatividade: [a, b] = −[b, a] para todos a, b ∈ L. Reciprocamente, se assumirmos v´alida a propriedade de anticomutatividade ent˜ao, tomando b =a, a mesma afirmar´a que [a, a] =−[a, a] o que implica [a, a] = 0 exceto se o corpo K tiver caracter´ıstica igual a2.

Assim, para corpos com caracter´ıstica diferente de 2 (como ´e o caso do corpo dos racionais, dos reais ou dos complexos, que tˆem caracter´ıstica 0) nossa defini¸c˜ao de ´algebra de Lie, acima, equivale `a seguinte: L´e dita ser uma ´algebra de Lie se seu produto satisfizer:

a. Anticomutatividade. Para todosa, b∈Lvale [a, b] =−[b, a].

b. Identidade de Jacobi. Para todosa, bec∈Lvale a, [b, c]

+

c, [a, b]

+

b, [c, a]

= 0. (2.25)

E evidente pelas considera¸c˜´ oes acima que uma ´algebra de Lie L s´o pode ser comutativa se seu produto for trivial [a, b] = 0 para todos a, b∈L, um caso que raramente merece considera¸c˜ao especial. Uma ´algebra de Lie L tamb´em n˜ao pode ter uma unidade, pois see∈L fosse uma identidade, ter´ıamose= [e, e] = 0. Logo, para todo a∈L valeria tamb´ema= [a, e] = [a, 0] = 0, implicando queLpossui apenas o vetor nulo, novamente um caso trivial que n˜ao merece considera¸c˜ao. Por fim, se uma ´algebra de Lie L for associativa, ent˜ao a identidade de Jacobi e a anticomutatividade implicam [a, [b, c]] = 0 para todosa, b, c∈ L(prove isso!). Um exemplo de uma ´algebra de Lie com tal propriedade

´e a ´algebra de Heisenberg (vide Se¸c˜ao 21.3.2, p´agina 1044). Note que em tal caso a identidade de Jacobi ´e trivialmente satisfeita.

E. 2.36 Exerc´ıcio. Para ´algebras de Lie de dimens˜ao finita escreva a condi¸c˜ao de anticomutatividade e a identidade de Jacobi (2.25)

em termos das constantes de estrutura. 6

• Algebras associativas e ´´ algebras de Lie

Seja A uma ´algebra associativa. Podemos associar a A uma ´algebra de Lie definindo o produto [a, b] = ab−ba, denominadocomutadordeaeb∈A. Com essa defini¸c˜ao, ´e claro que [a, a] = 0 para todoa∈Ae a identidade de Jacobi segue do fato que

a, [b, c]

+

c, [a, b]

+

b, [c, a]

= a(bc−cb)−(bc−cb)a+c(ab−ba)−(ab−ba)c+b(ca−ac)−(ca−ac)b

= abc−acb−bca+cba+cab−cba−abc+bac+bca−bac−cab+acb

= 0, como facilmente se constata.

E. 2.37 Exerc´ıcio. SejaAuma ´algebra associativa e sejas∈A, arbitr´ario. Defina emAo produto[a, b]s:=asb−bsa. ´E ´obvio que esse produto satisfaz[a, a]s= 0para todoa∈A. Mostre que ele tamb´em satisfaz a identidade de Jacobi e, portanto, define uma

´

algebra de Lie emA. 6

• Exemplos b´asicos de ´algebras de Lie

A maioria dos exemplos exibidos nos exerc´ıcios abaixo ´e relevante na teoria dos grupos de Lie.

E. 2.38 Exerc´ıcio. Mostre queR³ dotado do produto vetorial usual ´e uma ´algebra de Lie. 6

E. 2.39 Exerc´ıcio. Mostre queMat (R, n)(ouMat (C, n)), o espa¸co vetorial de todas as matrizesn×nreais (complexas) ´e uma

´

algebra de Lie com rela¸c˜ao ao produto[A, B] :=AB−BA. 6

E. 2.40 Exerc´ıcio. Seja S ∈ Mat (C, n). Mostre que Mat (C, n) ´e uma ´algebra de Lie com rela¸c˜ao ao produto [A, B]S :=

ASB−BSA. 6

E. 2.41 Exerc´ıcio. Mostre que o subespa¸co vetorial deMat (R, n)(ou de Mat (C, n)) formado pelas matrizes com tra¸co nulo ´e

uma ´algebra de Lie com rela¸c˜ao ao produto[A, B] =AB−BA. 6

E. 2.42 Exerc´ıcio. Mostre que o subespa¸co vetorial deMat (R, n)(ou deMat (C, n)) formado pelas matrizes antissim´etricas, ou seja, tais que A^T =−A, ´e uma ´algebra de Lie com rela¸c˜ao ao produto[A, B] = AB−BA. Sugest˜ao: mostre que se A e B s˜ao antissim´etricas, ent˜ao[A, B]^T =−[A, B]e, portanto, o comutador de matrizes antissim´etricas ´e tamb´em uma matriz antissim´etrica.

Um coment´ario relevante aqui ´e o seguinte. No espa¸co vetorial das matrizes reais sim´etricas (i.e., que satizfazemA^T =A) tem-se tamb´em que[A, B]^T =−[A, B]. Por essa raz˜ao, o comutador sequer define um produto no espa¸co vetorial das matrizes reais (ou complexas) sim´etricas, pois o comutador de duas matrizes sim´etricas n˜ao ´e novamente uma matriz sim´etrica, mas sim uma matriz

antissim´etrica. 6

E. 2.43 Exerc´ıcio. Mostre que o subespa¸co vetorial real deMat (C, n)formado pelas matrizes antiautoadjuntas, ou seja, tais que A^∗=−A, ´e uma ´algebra de Lie (sobre o corpo dos reais!) com rela¸c˜ao ao produto[A, B] =AB−BA. 6

E. 2.44 Exerc´ıcio. Conclua igualmente que o subespa¸co vetorial real deMat (C, n) formado pelas matrizes antiautoadjuntas, ou seja, tais que A^∗ = −A, e de tra¸co nulo (Tr(A) = 0) ´e uma ´algebra de Lie (sobre o corpo dos reais!) com rela¸c˜ao ao produto

[A, B] =AB−BA. 6

E. 2.45 Exerc´ıcio. Fixada uma matrizM ∈Mat (R, n), mostre que o subconjunto deMat (R, n)formado pelas matrizesAcom a propriedadeAM=−M A^T ´e uma ´algebra de Lie real com rela¸c˜ao ao produto[A, B] =AB−BA. 6

E. 2.46 Exerc´ıcio. Fixada uma matrizM∈Mat (C, n), mostre que o subconjunto deMat (C, n)formado pelas matrizesAcom a propriedadeAM=−M A^∗´e uma ´algebra de Lierealcom rela¸c˜ao ao produto[A, B] =AB−BA. 6

Tratemos agora de exibir um exemplo b´asico de uma ´algebra de Lie de dimens˜ao infinita.

• Colchetes de Poisson

Sejam f(p, q) e g(p, q), com f :R² →R e g : R² → R, duas fun¸c˜oes reais, infinitamente diferenci´aveis, de duas vari´aveis reaispeq. Definimos oscolchetes de Poisson²⁸ def eg, denotados por{f, g}, por

{f, g} := ∂f

∂p

∂g

∂q −∂f

∂q

∂g

∂p . E claro que´ {f, g}´e igualmente uma fun¸c˜ao infinitamente diferenci´avel depeq.

Os colchetes de Poisson satisfazem as seguintes propriedades: para quaisquer fun¸c˜oesf, gehcomo acima, valem a. Linearidade: {f, αg+βh} = α{f, g}+β{f, h} para quaisquer α, β ∈ R. Analogamente, {αf +βg, h} =

α{f, h}+β{g, h}.

b. Antissimetria: {f, g}=−{g, f}. c. Identidade de Jacobi²⁹:

f, {g, h} +

h, {f, g} +

g, {h, f} = 0.

d. Identidade de Leibniz³⁰: {f, gh}={f, g}h+g{f, h}.

E. 2.47 Exerc´ıcio importante. Verifique a validade das quatro propriedades acima. 6

28Sim´eon Denis Poisson (1781–1840).

29Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851).

30Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716).

As propriedades 1 e 2 e 3 indicam que o conjunto das fun¸c˜oesR²→Rinfinitamente diferenci´aveis ´e uma ´algebra de Lie com o produto definido pelos colchetes de Poisson. Trata-se de uma ´algebra de Lie de dimens˜ao infinita.

A defini¸c˜ao acima dos colchetes de Poisson pode ser facilmente generalizada para variedades diferenci´aveis de dimens˜ao par, mas n˜ao trataremos disso aqui por ora. Os colchetes de Poisson desempenham um papel importante na Mecˆanica Cl´assica.

E. 2.48 Exerc´ıcio. Mostre que matrizesA,B,CdeMat (R, n)(ou deMat (C, n)) tamb´em satisfazem uma identidade de Leibniz:

[A, BC] = [A, B]C+B[A, C]. Em verdade, essa identidade ´e v´alida em qualquer ´algebra associativa. Mostre isso tamb´em (a prova ´e

idˆentica ao caso de matrizes). 6