O Centro de Alguns Grupos de Interesse

Vamos na corrente se¸c˜ao determinar o centro de alguns grupos de interesse. Faremos uso de defini¸c˜oes e resultados do Cap´ıtulo 21, p´agina 1032, e utilizaremos preferencialmente recursos elementares de ´Algebra Linear, ainda que alguns dos resultados possam ser provados como consequˆencia de teoremas mais profundos da ´Algebra de Operadores.

Um resultado b´asico que empregaremos ´e o seguinte:

Proposi¸c˜ao 2.8 SejaA∈Mat (C, n)(ouA∈Mat (R, n)) uma matriz que comuta com todas as matrizes deMat (C, n) (deMat (R, n)). Ent˜ao,A=λ1n comλ∈C(ouλ∈R). Aqui,1_n ´e a matriz identidade n×n. 2

Prova. Tomemos o caso de matrizes complexas pois o caso real ´e tratado analogamente. Se A comuta com todas os elementos de Mat (C, n), ent˜ao, em particular, comuta com as matrizes unitaisE^{a, b}, coma, b∈ {1, . . . , n}, definidas da seguinte forma: E^{a, b} ´e a matriz cujo elemento ij ´e nulo a menos quei=a e quej =b, em cujo caso (E^{a, b})ij = 1.

Em s´ımbolos,

E^{a, b}

ij = δiaδjb. (2.53)

Pela regra de produto de matrizes, temos para os elementos de matriz de AE^{a, b} e deE^{a, b}A, (AE^{a, b})ij =

Xn k=1

Aik(E^{a, b})kj = Xn k=1

Aikδkaδjb = Aiaδjb, (2.54)

(E^{a, b}A)ij = Xn k=1

(E^{a, b})ikAkj = Xn k=1

δiaδkbAkj = Abjδia. (2.55) Assim, a condi¸c˜aoAE^{a, b}=E^{a, b}Aimplica que para todosa, b, i, j∈ {1, . . . , n}vale

Aiaδjb = Abjδia.

Tomando-se j = b, conclu´ımos Aia = Abbδia. Para i = a isso diz que Aaa = Abb e, como a e b s˜ao arbitr´arios, conclu´ımos dessa igualdade queAbb=λ, constante independente deb. Da´ı,Aia=λδia, o que significa queA=λ1.

• O centro de GL(n, C) e deGL(n, R)

Como exerc´ıcio vamos determinar o centro de GL(n, C). Se A ∈ Z GL(n, C)

, ent˜ao AB = BA para toda B∈GL(n, C). Tomemos, em particular, uma matrizB da formaB=1+E^{a, b}, coma, b∈ {1, . . . , n}, ondeE^{a, b} s˜ao as matrizes unitais definidas em (2.53).

Antes de prosseguir, conven¸ca-se que1+E^{a, b} ∈GL(n, C), notando que det(1+E^{a, b})6= 0. Mais especificamente, notando que det(1+E^{a, b}) = 2, casoa=be det(1+E^{a, b}) = 1, casoa6=b.

Agora, como supostamente AB =BA, segue queAE^{a, b} =E^{a, b}A para todos a, b∈ {1, . . . , n}. Pela Proposi¸c˜ao 2.8, p´agina 140, isso implica queA´e um m´ultiplo da matriz identidade.

Afora isso, ´e evidente que toda matriz que seja um m´ultiplo n˜ao nulo da matriz identidade ´e um elemento de GL(n, C) e comuta com todo elemento de GL(n, C). Para futura referˆencia expressamos nossas conclus˜oes na forma de uma proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 2.9 O centro do grupoGL(n, C), ou seja, Z GL(n, C)

, coincide com o conjunto de todas as matrizes da forma λ1, com λ∈C e λ6= 0, ou seja, ´e o conjunto das matrizes n˜ao nulas que s˜ao m´ultiplos complexos da unidade.

Em s´ımbolos,

Z GL(n, C)

= n

λ1, λ∈C, λ6= 0o

≃ C\ {0}, · , onde C\ {0}, ·

´e o grupo multiplicativo dos complexos n˜ao nulos. 2

Para o caso de matrizes invers´ıveis reais, a mesma demonstra¸c˜ao de acima conduz ao seguinte resultado:

Proposi¸c˜ao 2.10 O centro do grupo GL(n, R), ou seja, Z GL(n, R)

, coincide com o conjunto de todas as matrizes da formaλ1, com λ∈Reλ6= 0, ou seja, ´e o conjunto das matrizes n˜ao nulas que s˜ao m´ultiplos reais da unidade. Em s´ımbolos,

Z GL(n, R)

= n

λ1, λ∈R, λ6= 0o

≃ R\ {0}, · , onde R\ {0}, ·

´e o grupo multiplicativo dos reais n˜ao nulos. 2

• O centro de SL(n, C)e de SL(n, R)

Os exerc´ıcios a seguir fornecem os centros de SL(n, C) e de SL(n, R).

E. 2.90 Exerc´ıcio. Mostre que o centro de SL(n, C) ´e o conjunto de todas as matrizes da forma λ1, comλ ∈ C satisfazendo λⁿ = 1. Mostre que esse grupo ´e isomorfo ao grupo Z_n. Sugest˜ao: lembre-se que toda matriz deSL(n, C)´e um m´ultiplo de uma

matriz deGL(n, C)e use a Proposi¸c˜ao 2.9, p´agina 140. 6

E. 2.91 Exerc´ıcio. Mostre que o centro deSL(n, R)´e o conjunto de todas as matrizes da forma λ1, com λ ∈ R satisfazendo λⁿ = 1. Esse grupo ´e{1} quandon ´e ´ımpar e{1, −1}quandon ´e par. (Lembre-se queSL(n, R)´e formado apenas por matrizes

reais). Sugest˜ao: adapte a sugest˜ao do Exerc´ıcioE. 2.90. 6

• O centro dos grupos SO(n) eO(n)

Como antes, E^{a, b}∈Mat (R, n), coma, b∈ {1, . . . , n}, denota a matriz cujo elementoij ´e nulo a menos quei=a e que j=b, em cujo caso (E^{a, b})ij = 1. Em s´ımbolos, (E^{a, b})ij =δiaδjb.

Para obtermos o centro dos grupos SO(n) necessitamos da seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 2.11 Seja A∈Mat (R, n)uma matriz que comuta com todas as matrizes antissim´etricasn×n. Sen= 2, ent˜ao A ´e da forma A = α12+βM, com α, β ∈ R e onde M := _{−1 0}^{0 1}

. Para n > 2, A ´e um m´ultiplo da matriz

identidade, ou seja, ´e da formaA=α1n, comα∈R. 2

Prova. Se A comuta com todas as matrizes antissim´etricas n×n, ent˜ao A comuta com todas as matrizes da forma E^{a, b}−E^{b, a}, coma, b∈ {1, . . . , n}. Segundo (2.54) e (2.55), temos para os elementos de matriz

A(E^{a, b}−E^{b, a})

ij = Aiaδjb−Aibδja, (2.56)

(E^{a, b}−E^{b, a})A

ij = Abjδia−Aajδib. (2.57)

Assim, temos para todosa, b, i, j∈ {1, . . . , n}que

Aiaδjb−Aibδja = Abjδia−Aajδib. (2.58) Fazendoi=aej=bem (2.58), obtemos

Aaaδbb−Aabδba = Abbδaa−Aabδab,

ou seja, Aaa=Abb. Comoaeb s˜ao arbitr´arios, isso diz-nos que os elementos da diagonal deAs˜ao todos iguais.

A rela¸c˜ao (2.58) tamb´em diz-nos que parai=j=a, temos

Aaaδab−Aabδaa = Abaδaa−Aaaδab

o que implica

Aab+Aba = 2Aaaδab. Essa rela¸c˜ao nada traz se novo casoa=b, mas paraa6=b, ela diz-nos que

Aab = −Aba (paraa6=b).

Assim, os elementos fora da diagonal de As˜ao antissim´etricos.

Os resultados obtidos at´e agora dizem queA´e da formaA=α1_n+J, ondeJ ∈Mat (R, n) ´e antissim´etrica eα∈R.

H´a agora dois casos a considerar:

1. Caso n= 2. Nesse caso, todas as matrizes antissim´etricas s˜ao da formaβ _{−1 0}^{0 1}

para algumβ∈R. Assim, toda

O corol´ario que segue ´e agora evidente e dispensa demonstra¸c˜ao:

Corol´ario 2.3 Se A∈Mat (R, n), comn >2, ´e uma matriz antissim´etrica que comuta com todas as matrizes

antis-sim´etricas n×n, ent˜ao A= 0. 2

Chegamos agora ao ponto que nos interessa: o centro dos grupos SO(n) e O(n), comn≥2,n∈N:

Proposi¸c˜ao 2.12 para toda matriz antissim´etricaB ∈Mat (R, n) e todo α∈R (para tal, vide, por exemplo, Proposi¸c˜ao 21.23, p´agina 1108). Derivando-se em rela¸c˜ao aαe tomando-seα= 0, conclu´ımos queAB=BApara toda matriz antissim´etricaB ∈ Mat (R, n). Pela Proposi¸c˜ao 2.11, p´agina 141,A=λ1n, comλ∈R. ComoA∈SO(n), seu determinante deve ser igual comutam com todos os elementos de SO(n). J´a sabemos que tais matrizes comutam com todas as matrizes reais antissim´etricas e, pela Proposi¸c˜ao 2.11, p´agina 141, elas s˜ao da formaα12+β _{−1 0}^{0 1} somente se forem elementos de SO(2). As matrizes de O(2) que n˜ao s˜ao elementos de SO(2) s˜ao da forma ^{1 0}₀₋₁

R,

´e composto apenas pelas matrizes±1_n.

• O centro dos grupos SU(n)e U(n)

Para obtermos o centro dos grupos SU(n) necessitamos da seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 2.13 Seja A∈Mat (C, n)uma matriz que comuta com todas as matrizes autoadjuntasn×n. Ent˜ao,A´e

da formaA=λ1n, comλ∈C. 2

Prova. Seja A ∈ Mat (C, n) uma matriz que comuta com todas as matrizes autoadjuntas n×n. Isso implica que A comuta com todos os elementos de Mat (C, n), pois seM ∈Mat (C, n), ent˜ao podemos escreverM = ¹₂h

M+M^∗ + i (M−M^∗)/ii

, que ´e uma combina¸c˜ao linear de duas matrizes autoadjuntas:M+M^∗e (M−M^∗)/i. Assim,Acomuta com todos os elementos de Mat (C, n) e, pela Proposi¸c˜ao 2.8, p´agina 140,A´e um m´ultiplo da unidade.

Proposi¸c˜ao 2.14 Para n ∈ N tem-se Z SU(n)

=

λ1n

λ ∈ C, com λⁿ = 1 ≃ Zn e Z U(n)

=

λ1n| λ ∈

Ccom |λ|= 1 ≃U(1). Aqui,1_n ´e a matriz identidaden×n. 2

Prova. O cason= 1 ´e trivial. Tomemos n≥2. SeA∈Z SU(n)

, ent˜aoAe^αiB =e^αiBApara toda matriz autoadjunta B ∈Mat (C, n) e todoα∈R(para tal, vide, por exemplo, Proposi¸c˜ao 21.21, p´agina 1105). Derivando-se em rela¸c˜ao a αe tomando-seα= 0, conclu´ımos queAB =BApara toda matriz autoadjuntaB∈Mat (C, n). Pela Proposi¸c˜ao 2.13, p´agina 143,A=λ1_n, comλ∈R. ComoA∈SU(n), seu determinante deve ser igual a 1, o que implica λⁿ = 1.

Como SU(n) ⊂ U(n), temos que os elementos de Z U(n)

s˜ao, em primeiro lugar, elementos de Mat (C, n) que comutam com todas as matrizes de SU(n). Vimos que tais matrizes devem comutar com todas as matrizes autoadjuntas e, portanto, pelos nossos resultados anteriores, s˜ao da formaλ1n comλ∈C. Matrizes desse tipo obviamente comutam com os elementos de U(n) e s˜ao elas mesmas unit´arias se e somente se |λ|= 1. Conclu´ımos queZ U(n)

=

λ1n|λ∈ Ccom|λ|= 1 ≃U(1).