2.2 Grupos. Estruturas e Constru¸ c˜ oes B´ asicas
2.2.4 O Produto Direto e o Produto Semidireto de Grupos. O Produto Tensorial de Grupos Abelianos144
2.2.4.2 O Produto Semidireto de Grupos
• O produto semidireto de dois grupos
Dados dois grupos GeH h´a uma outra maneira de fazer deG×H um grupo al´em do produto direto. Para tal ´e necess´ario que exista uma a¸c˜ao deGemH por automorfismos deH. Expliquemos melhor isso.
Lembremos que um automorfismode um grupoH ´e um isomorfismo deH em si mesmo. Uma a¸c˜ao (`a esquerda) de G sobre H por automorfismos ´e um fun¸c˜ao α: G×H →H tal que a cada par (g, h)∈ G×H associa um elemento denotado porαg(h) deH de tal forma que as seguintes condi¸c˜oes sejam satisfeitas:
1. Para todo g ∈G, a fun¸c˜ao αg(·) : H →H ´e um automorfismo deH, ou seja, αg(h)αg(h′) =αg(hh′), sendo que αg(·) :H →H ´e bijetora com (αg)−1=αg−1.
2. Para todoh∈H valeαeG(h) =h.
3. Para todoh∈H valeαg αg′(h)
=αgg′(h) para quaisquer g, g′∈G.
AcimaeG eeH s˜ao as unidades deGeH, respectivamente.
E. 2.94 Exerc´ıcio-exemplo. Um exemplo importante ´e o seguinte. Seja NG. Ent˜ao, comn∈N,αg(n) :=gng−1 define uma
a¸c˜ao (`a esquerda) deGsobreN por automorfismos. Verifique! 6
Pela defini¸c˜ao geral, tem-se pelas propriedades1, 2e3acima que para quaisquer g∈Geh∈H αg(eH)h = αg(eH)αg αg−1(h)
= αg eHαg−1(h)
= αg αg−1(h)
= h , o que implica αg(eH) =eH para todo g∈G.
Se G eH s˜ao grupos eα: G×H → H ´e uma a¸c˜ao `a esquerda de G sobre H por automorfismos, ent˜ao podemos definir emG×H um produto de dois pares ordenados (g1, h1), (g2, h2), comg1, g2∈Geh1, h2∈H, por
(g1, h1)·(g2, h2) := g1g2, h1αg1(h2) .
E. 2.95 Exerc´ıcio importante. Mostre que esse produto ´e associativo, que(eG, eH)´e a unidade e que (g, h)−1 =
g−1, αg−1 h−1
(2.67)
para quaisquerg∈G,h∈H. 6
Com isso, G×H adquire a estrutura de um grupo, denominado produto semidireto de G porH pelo automorfismo α:G×H→H, ou simplesmenteproduto semidireto deGporH quando um automorfismoα:G×H →H espec´ıfico ´e subentendido. Na literatura, o produto semidireto deGporH ´e denotado porGsαH ou porG⋊αH (ou simplesmente GsH ou G⋊H quando um automorfismo α : G×H → H espec´ıfico ´e subentendido). Mais raramente encontra-se tamb´em as nota¸c˜oesG×αH ouG⊗αH para designar produtos semidiretos.
Comenta-se que o s´ımbolo⋊foi inventado como uma combina¸c˜ao gr´afica do s´ımbolo×, de produto Cartesiano, com o s´ımbolo, que indica um subgrupo normal. Vide exemplo (2.68), abaixo.
E relevante observar que no caso em que´ α´e a aplica¸c˜ao identidade (isto ´e, vale αg(h) =hpara todo g∈Ge todo h∈H) o grupoGsH coincide com a soma diretaG⊕H.
• Exemplos
I.SejaGum grupo eNG. Ent˜ao, parag1, g2∈Gen1, n2∈N o produto (g1, n1)·(g2, n2) := g1g2, n1g1n2g1−1
(2.68)
define o grupoGsN, ouG⋊N, o produto semidireto de um grupoGpor um subgrupo normalNatrav´es do automorfismo natural.
II.Considere o grupo G, formado por todos os n´umeros reais n˜ao nulos com o produto dado pela multiplica¸c˜ao usual e o grupoH, formado por todos os reais com o produto dado pela soma: G= (R\ {0}, ·) eH = (R, +).
Para todoa∈R\ {0}ex∈Rdefinimosα:G×H →H porαa(x) :=ax. Para cadaa∈G, tem-se queαa ´e bijetora, com inversa dada porα1/a. Fora isso,αa(x) +αa(y) =ax+ay=a(x+y) =αa(x+y). Assim,αa ´e um automorfismo (condi¸c˜ao 1. da defini¸c˜ao acima). Fora isso, para todo x ∈ H, α1(x) = x (condi¸c˜ao 2.). Por fim, para todo x ∈ H, αa(αb(x)) =abx=αab(x), para quaisquera, b∈G(condi¸c˜ao 3.). Conclu´ımos queα´e uma a¸c˜ao `a esquerda de Gsobre H por automorfismos.
Assim, fazemos deG×H um grupoGsαH com o produto
(a, x)·(b, y) := (ab, x+ay). O elemento neutro ´e o par (1, 0) e (a, x)−1= (1/a, −x/a).
Para interpretar o que esse grupo GsαH significa, vamos definir uma a¸c˜ao58 Γ de GsαH sobre o conjunto R da seguinte forma. Para (a, x)∈GsαH ez∈R, definimos
Γ (a, x), z
:= az+x .
Para verificar que isso ´e uma a¸c˜ao notemos as seguintes propriedades: i. para cada (a, x) fixo Γ (a, x), z
´e uma fun¸c˜ao bijetora deRemR(lembre-se quea6= 0). ii. Para todoz∈R, Γ (1, 0), z
=z.
iii. Γ
(a, x), Γ((b, y), z)
= Γ (a, x), bz+y
= a(bz+y) +x = abz+ (x+ay)
= Γ (ab, x+ay), z
= Γ (a, x)·(b, y), z .
Isso mostrou que Γ ´e uma a¸c˜ao de GsαH sobre o conjunto R. Como vemos, a a¸c˜ao de um elemento (a, x) consiste em uma combina¸c˜ao de uma multiplica¸c˜ao por a6= 0 seguida por uma transla¸c˜ao por x∈ R. Isso exibe o significado geom´etrico do grupoGsαH. Vamos a um outro exemplo semelhante.
III. Grupos de homotetias. SejaV um espa¸co vetorial (e, como tal, um grupo Abeliano em rela¸c˜ao `a soma de vetores) e seja D = (R+, ·) o grupo multiplicativo dos reais positivos (grupo de dilata¸c˜oes). O chamado grupo de homotetias de V ´e o produto semidiretoDsαV com αdado por αλ(v) =λv, λ∈D, v ∈V. O produto nesse grupo ´e, portanto, (λ1, v1)(λ2, v2) = λ1λ2, v1+λ1v2
.
Esse grupo possui uma a¸c˜ao emV dada porA(λ,v)(x) =λx+v, que envolve uma multiplica¸c˜ao de um vetorx∈V porλ >0 e uma transla¸c˜ao porv. Tais transforma¸c˜oes s˜ao denominadashomotetias59. Como, para qualquera∈V, vale λx+v=λ(x−a) +u, comu=v+λa, vemos que toda homotetia pode ser considerara como uma dilata¸c˜ao a partir de um centroaacompanhado de uma transla¸c˜ao.
IV. Grupos Euclidianos. Considere o conjunto de todas as opera¸c˜oes do espa¸co tridimensional que envolvem rota¸c˜oes e transla¸c˜oes. Por exemplo, considere-se a opera¸c˜ao na qual cada vetor ~x´e primeiramente rodado por uma matriz de rota¸c˜aoR∈SO(3) e em seguida ´e transladado por um vetor~x0:
~x 7→ R~x+~x0. (2.69)
A composi¸c˜ao de duas de tais opera¸c˜oes conduz `a transforma¸c˜ao~x7→R′ R~x+~x0
+~x′0, ou seja,
~x 7−→ R′R
~x+~x′0+R′~x0. (2.70)
O espa¸co vetorialR3´e naturalmente um grupo Abeliano em rela¸c˜ao `a adi¸c˜ao de vetores. SeR∈SO(3),αR(~x0) :=R~x0
define uma a¸c˜ao por automorfismos de SO(3) sobreR3. A express˜ao (2.70) inspira a defini¸c˜ao do produto semidireto SO(3)sαR3 por
R′, ~x′0
· R, ~x0
=
R′R, ~x′0+R′~x0
.
58O conceito de a¸c˜ao de um grupo em um conjunto foi definido na Se¸c˜ao 2.1.9.1, p´agina 117.
59Do grego“homo”(similar) e“tetia”(posi¸c˜ao). O termo foi cunhado por Michel Chasles (1793–1880).
E. 2.96 Exerc´ıcio. Verifique que a transforma¸c˜ao (2.69) define uma a¸c˜ao `a esquerda do grupoSO(3)sαR3sobreR3. 6
Defini¸c˜ao. Grupos Euclidianos. Os gruposEn:= O(n)sαRn s˜ao denominadosgrupos Euclidianos em dimens˜aon.
Os gruposSEn:= SO(n)sαRn s˜ao denominadosgrupos Euclidianos especiais em dimens˜aon. ♠ Mais material sobre os grupos Euclidianos, incluindo representa¸c˜oes matriciais, geradores etc., pode ser encontrado na Se¸c˜ao 21.6, p´agina 1112.
V. Grupos afins. SejaV um espa¸co vetorial (e, como tal, um grupo Abeliano em rela¸c˜ao `a soma de vetores) e seja Aut(V) a cole¸c˜ao de todas as aplica¸c˜oes lineares bijetoras deV emV.
Por exemploV =Rn e Aut(Rn) ´e o conjunto de todas as matrizes reaisn×ninvers´ıveis.
Ent˜ao, fazemos de Aut(V)×V um grupo, definindo
(A, v)·(B, u) := (AB, v+Au).
Esse grupo ´e por vezes denominado grupo afim do espa¸co vetorial V. Mais sobres grupos afins na Se¸c˜ao 21.6, p´agina 1112.
Observa¸c˜ao. O casoV =Rcorresponde exatamente ao exemploII, acima. ♣
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Mencionamos, por fim, que o grupo de Poincar´e, introduzido `a p´agina 1125, ´e tamb´em um exemplo de um grupo definido como um produto semidireto de dois grupos, a saber, o produto semidireto do grupo das transforma¸c˜oes de Lorentz com o grupo das transla¸c˜oes no espa¸co-tempo.
• Mais sobre GsαH
O exerc´ıcio a seguir estabelece alguns fatos fundamentais sobre produtos semidiretos de dois gruposGeH. Especi-ficamente, ele apresenta rela¸c˜oes estruturais entreGsαH e os gruposGeH.
E. 2.97 Exerc´ıcio. SejamGeH dois grupos e seja o produto semidiretoGsαH, ondeα:G×H →H ´e uma a¸c˜ao (`a esquerda) deGsobreH por automorfismos, como descrito acima. SejameGeeH as unidades deGeH, respectivamente.
I. Mostre que o conjuntoGe:=n
(g, eH), g∈Go
´e um subgrupo deGsαH e queGe´e isomorfo aG.
II. Mostre que o conjuntoHe:=n
(eG, h), h∈Ho
´e um subgrupo deGsαH e queHe´e isomorfo aH. III. Mostre queHe ´e um subgrupo normal deGsαH.
IV. Considere as classes de equivalˆencia que comp˜oem o grupo quociente GsαH
/H. Mostre quee (g, h)∼He(g′, h′)se e somente seg=g′. Conclua que
(g, h)
=n
(g, h′), h′∈Ho
e conclua que (g, h)
=
(g, eH) . V. Mostre que o grupo quociente GsαH
/He´e isomorfo aG.
Por fim, explicite qual condi¸c˜aoαdeve satisfazer para queGeseja tamb´em um subgrupo normal deGsαH. Em tal caso, prove que GsαH
/Ge´e isomorfo aH. Compare com as afirmativas do Exerc´ıcioE. 2.93, p´agina 145. 6
• A¸c˜oes deGsαH em H
Sejam, como acima, GeH dois grupos e seja αuma a¸c˜ao de Gem H por automorfismos de H, de sorte que com esses ingredientes possamos definir o produto semidiretoGsαH.
Com esses ingredientes, podemos definir uma a¸c˜ao (`a esquerda) deGsαHemH, que denotaremos por,A: GsαH
× H →H, por
A(g, h)(h′) := hαg(h′). (2.71)
Para ver que se trata de uma a¸c˜ao deGsαH emH, observe-se que, de acordo com essa defini¸c˜ao, temos
Com uso da a¸c˜ao (2.71) podemos tamb´em definir uma a¸c˜ao (`a esquerda) deGsαH no espa¸co das fun¸c˜oes definidas emH (assumindo valores nos complexos, digamos).
Seja f :H →Cuma fun¸c˜ao definida em H com valores nos complexos. Seguindo (2.37), p´agina 118, defina-se uma nova fun¸c˜aoA(g, h)f por
Exemplo 2.19 Vamos a um exemplo relevante. Considere-se o grupo Euclidiano SE3 := SO(3)sαR3 com αR(~y) =R~y para todoR∈SO(3) e todo~y∈R3, como acima. A a¸c˜ao `a esquerda deSE3 no grupo aditivoR3 ´e
A(R, ~x) ~y
:= ~x+R~y ,
o que representa uma rota¸c˜ao porRdo vetor~yseguida de uma transla¸c˜ao por~x. A a¸c˜ao `a esquerda deSE3nas fun¸c˜oes definidas emR3(com valores complexos, digamos) ´e dada por
tal como em (2.74), o que significa que fazemos primeiro uma transla¸c˜ao por−~xno argumento e depois uma rota¸c˜ao porR−1 do que resulta.
A a¸c˜ao `a direita (2.75) deSE3 nas fun¸c˜oes definidas emR3´e dada aqui concretamente por
B(R, ~x)f
~y
= f
R~y+~x
. (2.77)
Compare com (2.76). ◊
Exemplo 2.20 Um segundo exemplo relevante ´e aquele no qual temos dois grupos G e N com N G. Em GsN temos o produto (2.68), sendoαg(n) =gng−1. A correspondente a¸c˜ao `a esquerda (2.71) deGsN emN´e dada por
A(g, n)(n′) = ngn′g−1.
A correspondente a¸c˜aoA(g, n)deGsN nas fun¸c˜oes definidas emN ´e, de acordo com (2.74),
A(g, n)f n′
= f
g−1n−1n′g . A a¸c˜ao `a direita (2.75) deGsN nas fun¸c˜oes definidas emN ´e dada aqui por
B(g, n)f n′
= f
ngn′g−1 .
◊