Produtos Tensoriais, Duais Alg´ebricos e Formas Multilineares

Nesta se¸c˜ao, os espa¸cos vetoriais considerados o s˜ao sobre um mesmo corpoK, que tomaremos por simplicidade como sendoRouC. Aqui discutiremos a rela¸c˜ao entre o espa¸co dual de produtos tensoriais com o produto tensorial de espa¸cos duais. O resultado de maior significado que obteremos, por´em, ´e a equivalˆencia entre produtos tensoriais e o dual de formas multilineares. Comentaremos que esse resultado permite uma defini¸c˜ao alternativa da no¸c˜ao de produto tensorial de espa¸cos vetoriais, v´alida no caso de dimens˜ao finita.

• Isomorfismo natural entre (U⊗V)^′ e (U^′)⊗(V^′)no caso de dimens˜ao finita

Sejam U eV dois espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita sobre um mesmo corpo K e sejam U^′, respectivamente, V^′ seus espa¸cos duais. Sabemos da discuss˜ao da Se¸c˜ao 2.3.2, p´agina 163, que por serem de dimens˜ao finita, U e V s˜ao n˜ao-canonicamente isomorfos a seus duaisU^′ eV^′, respectivamente, e queU⊗V ´e isomorfo a seu dual (U⊗V)^′. Segue

Se considerarmos agora elementos gerais deU^′⊗V^′ da formaPM

a=1ℓa⊗µa a aplica¸c˜ao Φ :U^′⊗V^′ →(U⊗V)^′ dada

Para provarmos que Φ ´e sobrejetora, seja

e1, . . . , em uma base emU e

• Generalizando para produtos tensoriais finitos arbitr´arios

As considera¸c˜oes acima se deixam generalizar para produtos tensoriais finitos de espa¸cos de dimens˜ao finita sobre um mesmo corpo. Assim, seVi,i= 1, . . . , n, s˜ao espa¸cos vetoriais sobre um mesmo corpoK, teremos que (V₁^′)⊗ · · · ⊗(V_n^′) e (V1⊗ · · · ⊗Vn)^′ s˜ao espa¸cos vetoriais naturalmente isomorfos.

Nesse mesmo caso, comoV1⊗ · · · ⊗Vn´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita sobreRouC, existe um isomorfismo natural entreV1⊗· · ·⊗Vne seu bidual

V1⊗· · ·⊗Vn′′

(vide Teorema 2.13, p´agina 167, e a discuss˜ao que lhe antecede).

Disso conclu´ımos que existe um isomorfismo natural entreV1⊗ · · · ⊗Vn e

(V₁^′)⊗ · · · ⊗(V_n^′)′

.

Sejam Vk, k= 1, . . . , nespa¸cos de dimens˜ao finita sobre o corpoK(aqui,RouC). Sejamk= dimVk, a dimens˜ao do espa¸coVk e sejan

e^(k)₁, . . . , e^(k)mk

o

uma base emVk en

e^(k)1, . . . , e^(k)mko

sua correspondente base dual canˆonica em (Vk)^′.

Seguindo a conven¸c˜ao de Einstein, vamos escrever os elementos deV1⊗ · · · ⊗Vn na forma A = A^a1···ane⁽¹⁾_a1⊗ · · · ⊗e⁽ⁿ⁾_an

e os elementos de (V₁^′)⊗ · · · ⊗(V_n^′) na forma

B = B_b1···bn e^(1)b1⊗ · · · ⊗e^(n)bn .

Denominemos, como acima, por Φ : (V₁^′)⊗ · · · ⊗(V_n^′) → (V1⊗ · · · ⊗Vn)^′ o isomorfismo entre (V₁^′)⊗ · · · ⊗(V_n^′) e (V1⊗ · · · ⊗Vn)^′. Por defini¸c˜ao, Φ satisfaz

DΦ(B), AE

= D Φ

B_b1···bn e^(1)b1⊗ · · · ⊗e^(n)bn

, A^a1···ane⁽¹⁾_a1⊗ · · · ⊗e⁽ⁿ⁾_anE

= B_b1···bn A^a1···an D Φ

e^(1)b1⊗ · · · ⊗e^(n)bn

, e⁽¹⁾_a1⊗ · · · ⊗e⁽ⁿ⁾_anE

:= B_b1···bn A^a1···an D

e^(1)b1, e⁽¹⁾_a1E

| {z }

=δ^b1a1

· · ·D

e^(n)bn, e⁽ⁿ⁾_anE

| {z }

=δ^bn_an

= B_c1···cn A^c1···cn . (2.116)

Para futuro uso, resumimos os fatos acima na seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 2.21 Se V1, . . . , Vn,n∈N, s˜ao espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita sobre o mesmo corpo, ent˜ao V1^′⊗ · · · ⊗Vn^′ ≃ V1⊗ · · · ⊗Vn

′

, (2.117)

ou seja, V₁^′⊗ · · · ⊗V_n^′ e V1⊗ · · · ⊗Vn′

s˜ao espa¸cos vetoriais canonicamente isomorfos. Por for¸ca do Teorema 2.13, p´agina 167, isso implica, tamb´em em dimens˜ao finita, a rela¸c˜ao canˆonica de isomorfia expressa em

V1⊗ · · · ⊗Vn ≃ V₁^′⊗ · · · ⊗V_n^′′

, (2.118)

rela¸c˜ao essa que se obt´em de (2.117) substituindo-seVk por V_k^′, para cadak. 2

• Mais conven¸c˜oes e identifica¸c˜oes

Al´em da conven¸c˜ao de Einstein, h´a uma outra conven¸c˜ao frequentemente adotada na literatura. Como Φ, definida acima ´e um isomorfismo, ´e comum identificar-se um tensor B_b1···bn e^(1)b1 ⊗ · · · ⊗e^(n)bn ∈ (V₁^′)⊗ · · · ⊗(V_n^′) com sua imagem por Φ. Isso corresponde a identificar-se (V₁^′)⊗ · · · ⊗(V_n^′) com o espa¸co vetorial dual (V1⊗ · · · ⊗Vn)^′. Com essas conven¸c˜oes e identifica¸c˜oes, (2.116) pode ser apresentada simplesmente na forma

D B, AE

= D

Bb1···bn e^(1)b1⊗ · · · ⊗e^(n)bn, A^a1···ane⁽¹⁾a1⊗ · · · ⊗e⁽ⁿ⁾an

E

= Bc1···cn A^c1···cn, (2.119) comA∈V1⊗ · · · ⊗Vn eB∈(V₁^′)⊗ · · · ⊗(V_n^′).

De forma totalmente an´aloga permitimo-nos, no caso de dimens˜ao finita, identificarV1⊗· · ·⊗Vncom o espa¸co vetorial dual

(V₁^′)⊗ · · · ⊗(V_n^′)′

, escrevendo

DA^a1···ane⁽¹⁾_a1⊗ · · · ⊗e⁽ⁿ⁾_an, B_b1···bn e^(1)b1⊗ · · · ⊗e^(n)bnE

= A^c1···cnB_c1···cn. (2.120)

• Produtos tensoriais e formas multilineares

Vamos agora discutir a rela¸c˜ao entre produtos tensoriais de espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita e o dual de formas multilineares. A saber, estabeleceremos que o espa¸co vetorialV1⊗ · · · ⊗Vn ´e isomorfo ao espa¸co dual deM V1⊕ · · · ⊕Vn (o espa¸co vetorial das as formasn-lineares sobre V1⊕ · · · ⊕Vn, no¸c˜ao introduzida na Se¸c˜ao 2.3.4.1, p´agina 171).

Considere-se a aplica¸c˜aoΨ:V1⊗ · · · ⊗Vn →

M V1⊕ · · · ⊕Vn^′

definida de sorte que para todo elemento geral de V1⊗ · · · ⊗Vn da formaPN

. Note-se que essa defini¸c˜ao ´e natural: independe de escolhas de base. Vamos mostrar que se trata realmente de um isomorfismo de espa¸cos vetoriais.

A prova da linearidade de Ψ´e elementar e ´e deixada como exerc´ıcio. A defini¸c˜ao (2.121) diz-nos tamb´em que DΨ

E evidente dessa express˜ao que valer´´ a a igualdade DΨ Isso provou queΨ´e sobrejetora e estabeleceu o isomorfismo de espa¸cos vetoriais

V1⊗ · · · ⊗Vn ≃

M V1⊕ · · · ⊕Vn^′

. (2.123)

Note-se ainda que, por (2.122) e por (2.100) temos D Para futura referˆencia, resumimos os importantes fatos estabelecidos acima na seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 2.22 Se V1, . . . , Vn,n∈N, s˜ao espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita sobre o mesmo corpo, ent˜ao

Reunindo nossos resultados das Proposi¸c˜oes 2.21 e 2.22, temos:

Proposi¸c˜ao 2.23 Se V1, . . . , Vn,n∈N, s˜ao espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita sobre o mesmo corpo, ent˜ao V1⊗ · · · ⊗Vn ≃

(V1)^′⊗ · · · ⊗(Vn)^′′

≃

M V1⊕ · · · ⊕Vn^′

. (2.126)

Pela Proposi¸c˜ao 2.18, p´agina 167, e pelo Teorema 2.13, p´agina 167, segue de (2.126) (tomando-se o dual) que V1⊗ · · · ⊗Vn′

≃ (V1)^′⊗ · · · ⊗(Vn)^′ ≃ M V1⊕ · · · ⊕Vn

. (2.127)

Essa rela¸c˜ao tamb´em ser´a evocada adiante. 2

• Uma alternativa `a defini¸c˜ao de produto tensorial de espa¸cos vetoriais

A express˜ao (2.125) diz-nos que podemos, para todos os efeitos, identificarV1⊗ · · · ⊗Vn e o dual deM V1⊕ · · · ⊕Vn

, as formasn-lineares emV1⊕ · · · ⊕Vn. Por isso, a igualdade (2.125) pode ser tomada comodefini¸c˜aoda no¸c˜ao de produto tensorial de espa¸cos vetoriais, o que ´e feito por alguns autores. Note-se, por´em, que essa segunda defini¸c˜ao da no¸c˜ao de produto tensorial ´e restrita ao produto tensorial de espa¸cos de dimens˜ao finita. Nossa primeira defini¸c˜ao de produto tensorial de espa¸cos vetoriais (Se¸c˜ao 2.3.5, p´agina 173) ´e mais geral, e se aplica mesmo ao caso de espa¸cos de dimens˜ao infinita.

Nenhuma das duas defini¸c˜oes ´e “elementar” ou “simples” e pode-se adotar uma ou outra de acordo com a conveniˆencia.

A maioria dos textos sobre Topologia Diferencial ou Geometria Diferencial, por exemplo, prefere a segunda defini¸c˜ao (2.123) (espa¸cos tangentes e cotangentes a variedades de dimens˜ao finita s˜ao espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita. Vide Se¸c˜ao 33, p´agina 1604).

• Novamente, identifica¸c˜oes e conven¸c˜oes Como Ψ : V1⊗ · · · ⊗Vn →

M V1⊕ · · · ⊕Vn

^′

´e um isomorfismo, convenciona-se tamb´em identificar (sempre em dimens˜ao finita) os espa¸cos V1⊗ · · · ⊗Vn e

M V1⊕ · · · ⊕Vn^′

, ou seja, convenciona-se identificar um tensor T^a1···an e⁽¹⁾a1⊗ · · · ⊗e⁽ⁿ⁾an com sua imagem porΨ. Com a mesma, (2.124) fica simplesmente

T^a1···an e⁽¹⁾_a1⊗ · · · ⊗e⁽ⁿ⁾_an ≡ T^a1···anm_a1···an, (2.128) que identifica um tensor com o dual de uma forma multilinear (m_a1···an foram definidos em (2.99), p´agina 173).

Devido a (2.126) temos (sempre em dimens˜ao finita) as identifica¸c˜oes deV1⊗ · · · ⊗Vn com

(V₁^′)⊗ · · · ⊗(V_n^′)′

e com

M V1⊕ · · · ⊕Vn

^′

. Evocaremos essas identifica¸c˜oes no futuro, por vezes, sem maiores coment´arios.

Comentamos, por fim, que tamb´em adotaremos a conven¸c˜ao de identificar

T_a1···an e^(1)a1⊗ · · · ⊗e^(n)an ≡ T_a1···anm^a1···an, (2.129) assim como identificaremos

V1⊗ · · · ⊗Vn

′

com (V1)^′⊗ · · · ⊗(Vn)^′ e comM V1⊕ · · · ⊕Vn

, devido a (2.127).

No documento Cap´ıtulo 2 Estruturas Alg´ebricas B´asicas (páginas 104-107)