2.2 Grupos. Estruturas e Constru¸ c˜ oes B´ asicas
2.2.5 O Produto Livre de Grupos. Am´ algamas
... ... ... ... ...
a1⊗a2⊗ · · · ⊗an+a1⊗a2⊗ · · · ⊗0n = a1⊗a2⊗ · · · ⊗(an+ 0n) = a1⊗a2⊗ · · · ⊗an.
As igualdades em (2.84) seguem da unicidade do elemento neutro de um grupo. Como facilmente se constata, a inversa de um elemento da formaa1⊗a2⊗ · · · ⊗an ´e
− a1⊗a2⊗ · · · ⊗an
= (−a1)⊗a2⊗ · · · ⊗an = · · · = a1⊗ · · · ⊗an−1⊗(−an),
onde−ak ´e a inversa deak emAk. Novamente, as igualdades acima seguem da unicidade da inversa em um grupo.
Como discutimos no caso de somas diretas, os gruposA1⊗(A2⊗A3), (A1⊗A2)⊗A3eA1⊗A2⊗A3 s˜ao isomorfos, com os isomorfismos canˆonicos definidos por
ϕ1:A1⊗(A2⊗A3) → A1⊗A2⊗A3, ϕ1
X
k
αkak1⊗ ak2⊗ak3
!
:= X
k
αkak1⊗ak2⊗ak3 ,
ϕ2: (A1⊗A2)⊗A3 → A1⊗A2⊗A3, ϕ2
X
k
αk ak1⊗ak2
⊗ak3
!
:= X
k
αkak1⊗ak2⊗ak3 ,
e analogamente para o caso em que se tem uma cole¸c˜ao maior de fatores. Acima, αk ∈Z eaki ∈Ai para todoi ek, as somas emk sendo, naturalmente, finitas.
E. 2.100 Exerc´ıcio. Mostre queϕ1 eϕ2, definidos acima, s˜ao, de fato, isomorfismos de grupo. 6
E. 2.101 Exerc´ıcio. Sejam A e B grupos Abelianos. Mostre que A⊗B e B⊗A s˜ao grupos isomorfos, com o isomorfismo ϕ:A⊗B→B⊗Adado porϕ a⊗b
:= b⊗a−1
=−b⊗a. 6
E. 2.102 Exerc´ıcio (desafio). Mostre que para quaisquer m, n ∈ N os grupos Zm⊗Zn e Zmdc(m, n) s˜ao isomorfos. Aqui,
mdc(m, n)´e o m´aximo divisor comum entremen. 6
E. 2.103 Exerc´ıcio. SejamA,BeCgrupos Abelianos. Demonstre a validade da propriedade distributivaA⊗(B⊕C) = A⊕B
⊗ A⊕C
. Mostre que essa propriedade se estende para somas diretas arbitr´arias de grupos Abelianos: A⊗
⊕λ∈ΛBΛ
=⊕λ∈Λ A⊗BΛ).
6
2.2.5 O Produto Livre de Grupos. Am´ algamas
Vamos aqui apresentar mais duas constru¸c˜ao poss´ıveis de serem feitas com dois grupos arbitr´arios, o chamado produto livree o chamadoam´algama de dois grupos por homomorfismos. As defini¸c˜oes que apresentaremos podem ser estendidas a qualquer cole¸c˜ao finita de grupos. As no¸c˜oes de produto livre e am´algamas de grupos s˜ao ´uteis, por exemplo, na Topologia Alg´ebrica, como no estudo de grupos de homotopia de espa¸cos topol´ogicos [383].
• O produto livre de dois grupos
Sejam G eH dois grupos (n˜ao necessariamente Abelianos) com elementos neutros eG eeH, respectivamente. Uma palavrade comprimenton∈N0gerada porGeH vem a ser uma sequˆencia finita (x1, . . . , xn) na uni˜ao disjuntaG⊔H, com as seguintes propriedades:
1. A palavra de comprimenton= 0 ´e vazia e denotada por ().
2. Paran∈N, os elementos sucessivos de (x1, . . . , xn) pertencem a grupos diferentes. Assim, paraj∈ {1, . . . , n−1}, sexj ∈Gtem-sexj+1∈H e vice-versa: sexj ∈H tem-se xj+1∈G.
3. Nenhum elemento de (x1, . . . , xn) ´e igual aos elementos neutroseG oueH.
Denotamos porFn(G, H) a cole¸c˜ao de todas as palavras de comprimenton∈N0 geradas porGeH. Denotamos por F(G, H) a cole¸c˜ao de todas as palavras geradas porGeH, ou seja,F(G, H) = [
n∈N0
Fn(G, H).
E. 2.104 Exerc´ıcio simples. Constate queF(G, H)´e idˆentico aF(H, G) 6 Podemos definir um produto emF(G, H) atrav´es das seguintes regras:
1. Para a palavra vazia tem-se ()·() := ().
2. Para todon∈Nvale ()·(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn)·() := (x1, . . . , xn).
3. Para duas palavras de comprimento 1, tem-se
(x1)·(y1) :=
(x1, y1), casox1 ey1 perten¸cam a grupos distintos.
(x1y1), casox1 ey1 perten¸cam ao mesmo grupo ex16=y1−1. (), casox1 ey1 perten¸cam ao mesmo grupo ex1=y1−1. 4. Para os demais casos comn∈N em∈Ntem-se
(x1, . . . , xn)·(y1, . . . , ym) :=
(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym), casoxn ey1 perten¸cam a grupos distintos.
(x1, . . . , xny1, . . . , ym), casoxn ey1 perten¸cam ao mesmo grupo exn6=y−11 . (x1, . . . , xn−1, y2 . . . , ym), casoxn ey1 perten¸cam ao mesmo grupo exn=y−11 . Observe que em todos os casos resulta do produto um elemento de F(G, H), pois dois elementos sucessivos da sequˆencia resultante sempre pertencem a grupos distintos e nela os elementos neutroseG oueH nunca comparecem.
Observe tamb´em que o produto de um elemento deFn(G, H) por um elemento deFm(G, H) pode ser um elemento deFn+m(G, H), deFn+m−1(G, H) ou deFn+m−2(G, H), dependendo do caso.
O produto assim definido ´e por vezes denominadoconcatena¸c˜ao de palavras geradas porGeH.
E. 2.105 Exerc´ıcio simples. Verifique que o produto acima definido emF(G, H) ´e associativo, possui a palavra vazia()como elemento neutro e cada palavra n˜ao nula(x1, . . . , xn)tem como elemento inverso a palavra x−1n , . . . , x−11
. 6
Dessa forma, o conjunto F(G, H) ´e um grupo com rela¸c˜ao ao produto dado pela concatena¸c˜ao de palavras, acima definida. Esse grupo ´e dito ser oproduto livre dos gruposGe H, ou ainda oproduto livremente gerado pelos gruposGe H. O produto livre deGeH ´e tamb´em denotado porG∗H, nota¸c˜ao que passaremos a empregar.
E. 2.106 Exerc´ıcio. O grupoG∗H n˜ao ´e Abeliano (e ´e infinito), exceto seGouH forem triviais e o outro for Abeliano (finito).
Justifique essas afirma¸c˜oes. 6
E. 2.107 Exerc´ıcio (f´acil). Mostre que os subconjuntos deG∗H dados por G˜ := {()} ∪
(g), g∈G, g6=eG e H˜ := {()} ∪
(h), h∈H, h6=eH (2.85)
s˜ao subgrupos deG∗H e que esses subgrupos s˜ao isomorfos aGe aH, respectivamente. 6
• Coment´ario sobre a nota¸c˜ao
Na literatura ´e frequente adotar-se uma nota¸c˜ao diferente para as palavras e para o produto emG∗H. Palavras como (x1, . . . , xn) s˜ao denotadas simplesmente por x1· · ·xn, como se fossem um produto formal sucessivo dos elementos de x1 axn. Esse produto ´e formal pois elementos sucessivos n˜ao pertencem ao mesmo grupo. O produto de duas palavras (x1, . . . , xn) e (y1, . . . , ym) fica x1· · ·xny1· · ·ym, sendo que, casoxn ey1 perten¸cam ao mesmo grupo, o fator xny1
deve ser entendido como o produto de ambos nesse grupo e, casoxny1 for o elemento neutro desse grupo, o fatorxny1
deve ser eliminado.
Evitamos usar essa nota¸c˜ao pois h´a uma situa¸c˜ao na qual ela pode ser amb´ıgua: quandoGeH forem o mesmo grupo ou forem subgrupos de um grupo maior. Nesse caso a express˜aox1· · ·xn pode ser entendida como o produto emG∗H ou como o produto no grupo que lhes ´e comum.
• Um exemplo: o grupo livremente gerado por dois elementos
Seja A um grupo com unidade eA dotado da seguinte propriedade: existea ∈A tal que para nenhum n∈ N vale an=eA. ´E f´acil checar queA1:={an, n∈Z}(convencionamos quea0=eA) ´e um subgrupo deAque ´e Abeliano, tem infinitos elementos e ´e isomorfo ao grupo (Z, +). Verifique! Um grupo como A1´e denominadogrupo c´ıclico infinito de um elemento gerado por a∈A.
E um exerc´ıcio muito f´acil provar que todos os grupos c´ıclico infinitos gerados por um elemento s˜ao isomorfos.´ Seja B um outro grupo dotado de um outro grupo c´ıclico infinito de um elementoB1 := {bn, n ∈ Z}. Nesse caso A1∗B1´e o grupo constitu´ıdo por todas as palavras finitas formadas apenas pelas letrasaebe suas potˆencias, tais como a,b,a5,b−7,a−1b,ba,ab−5,b3a3,b2a−2b7etc. O grupoA1∗B1assim constitu´ıdo ´e denominadogrupo livremente gerado por dois elementos.
E um exerc´ıcio muito f´acil provar que todos os grupos livremente gerados por dois elementos s˜ao isomorfos. Tais´ grupos s˜ao por vezes denotados por F2. O primeiro grupo de homotopia do espa¸co composto porR2 menos dois pontos distintos quaisquer ´e isomorfo a um grupo livremente gerado por dois elementos,F2.
• Extens˜ao do produto livre para mais de dois grupos
A constru¸c˜ao acima do produto livre de dois grupos pode ser facilmente estendida para uma cole¸c˜ao finita de grupos.
Se possuirmos trˆes gruposF,GeH, por exemplo, definimos palavras como sequˆencias finitas (x1, . . . , xn) com cadaxk
pertencendo a um dos trˆes grupos, onde dois elementos sucessivos nunca pertencem ao mesmo grupo e nunca comparecem os elementos neutros deF,GeH. O produto de palavras ´e definido similarmente ao caso de dois grupos (e ´e tamb´em associativo), o elemento neutro ´e a sequˆencia vazia () e a inversa de (x1, . . . , xn) ´e x−1n , . . . , x−11
.
• Am´algamas de dois grupos por homomorfismos
Sejam GeH dois grupos para os quais definimos o produto livre G∗H, como acima. Vamos considerar que exista um terceiro grupoU, com elemento neutroeU, e dois homomorfismosφ:U→Geψ:U →H.
Considere-se agora o subconjunto de G∗H dado por Sφ, ψ :=n
φ(u), ψ(u)−1
, u ∈U, u6= eU
oe considere-se o subgrupo normalN[Sφ, ψ] deG∗H gerado porSφ, ψ(para a defini¸c˜ao de subgrupo normal gerado por um conjunto, vide p´agina 133).
Defini¸c˜ao. Am´algama de dois grupos por homomorfismos. Oam´algama dos gruposGeH pelos homomorfismos
φe ψ´e definido como o grupo quociente (G∗H)/N[Sφ, ψ]. ♠
O significado intuitivo de (G∗H)/N[Sφ, ψ] ´e que trata-se de um grupo onde identificamosN[Sφ, ψ] com o elemento neutro, como se estiv´essemos impondo as rela¸c˜oesφ(u)ψ(u)−1=e, ou seja,φ(u) =ψ(u) para todou∈U. Note-se que φ(u) e ψ(u) pertencem a grupos distintos (GeH), respectivamente.
A no¸c˜ao de am´algama de dois grupos por homomorfismos ´e relevante na Topologia Alg´ebrica, como no estudo de
grupos de homotopia de espa¸cos topol´ogicos [383].
A seguinte observa¸c˜ao ´e relevante:
Proposi¸c˜ao 2.15 Se φ:U →Ge ψ:U →H forem homomorfismos injetores, ent˜ao os grupos GeH s˜ao isomorfos a
dois subgrupos de (G∗H)/N[Sφ, ψ]. 2
Prova. Considere o subgrupo ˜G de G∗H definido em (2.85). Afirmamos que se g1, g2 s˜ao elementos de G, ent˜ao (g1)·(g2)−1 = g1g2−1
n˜ao ´e elemento de N[Sφ, ψ] caso g1g−12 6= eG, o que significa que (g1) e (g2) n˜ao pertencem `a mesma classe de equivalˆencia em (G∗H)/N[Sφ, ψ].
Para provar a afirma¸c˜ao, observe que pela Proposi¸c˜ao 2.6, p´agina 133, os elementos de N[Sφ, ψ] s˜ao da forma x1, . . . , xn
· φ(u), ψ(u)−1
· x−1n , . . . , x−11 . Agora, g1g2−1
n˜ao pode ser da forma x1, . . . , xn
· φ(u), ψ(u)−1
· x−1n , . . . , x−11
cason ≥2, simplesmente pois essas palavras sempre tˆem comprimento maior que 1. Para n= 1, por´em, temos elementos de N[Sφ, ψ] na forma
x1
· φ(u), ψ(u)−1
· x−11
. Comoφ(u) eψ(u) pertencem a grupos diferentes, tais elementos s´o poder˜ao estar em ˜G se x1 ∈ Ge ψ(u) = eH. Mas isso implica que u= eU (pela injetividade dos homomorfismos), implicando φ(u) = eg
(idem). Assim, os elementos x1
· φ(u), ψ(u)−1
· x−11
s˜ao for¸cosamente da forma x1
·()· x−11
= (), n˜ao podendo, consequentemente, ser iguais a g1g−12
casog1g−12 6=eG.
O argumento para o subgrupo ˜H deG∗H ´e similar. Vemos assim imediatamente queGeH s˜ao isomorfos aos grupos das classes de equivalˆencia{[(g)], g∈G}e{[(h)], h∈H}, respectivamente.