Produtos Tensoriais de um Espa¸co Vetorial com seu Dual

M V1⊕ · · · ⊕Vn^′

. (2.126)

Pela Proposi¸c˜ao 2.18, p´agina 167, e pelo Teorema 2.13, p´agina 167, segue de (2.126) (tomando-se o dual) que V1⊗ · · · ⊗Vn′

≃ (V1)^′⊗ · · · ⊗(Vn)^′ ≃ M V1⊕ · · · ⊕Vn

. (2.127)

Essa rela¸c˜ao tamb´em ser´a evocada adiante. 2

• Uma alternativa `a defini¸c˜ao de produto tensorial de espa¸cos vetoriais

A express˜ao (2.125) diz-nos que podemos, para todos os efeitos, identificarV1⊗ · · · ⊗Vn e o dual deM V1⊕ · · · ⊕Vn

, as formasn-lineares emV1⊕ · · · ⊕Vn. Por isso, a igualdade (2.125) pode ser tomada comodefini¸c˜aoda no¸c˜ao de produto tensorial de espa¸cos vetoriais, o que ´e feito por alguns autores. Note-se, por´em, que essa segunda defini¸c˜ao da no¸c˜ao de produto tensorial ´e restrita ao produto tensorial de espa¸cos de dimens˜ao finita. Nossa primeira defini¸c˜ao de produto tensorial de espa¸cos vetoriais (Se¸c˜ao 2.3.5, p´agina 173) ´e mais geral, e se aplica mesmo ao caso de espa¸cos de dimens˜ao infinita.

Nenhuma das duas defini¸c˜oes ´e “elementar” ou “simples” e pode-se adotar uma ou outra de acordo com a conveniˆencia.

A maioria dos textos sobre Topologia Diferencial ou Geometria Diferencial, por exemplo, prefere a segunda defini¸c˜ao (2.123) (espa¸cos tangentes e cotangentes a variedades de dimens˜ao finita s˜ao espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita. Vide Se¸c˜ao 33, p´agina 1604).

• Novamente, identifica¸c˜oes e conven¸c˜oes Como Ψ : V1⊗ · · · ⊗Vn →

M V1⊕ · · · ⊕Vn

^′

´e um isomorfismo, convenciona-se tamb´em identificar (sempre em dimens˜ao finita) os espa¸cos V1⊗ · · · ⊗Vn e

M V1⊕ · · · ⊕Vn^′

, ou seja, convenciona-se identificar um tensor T^a1···an e⁽¹⁾a1⊗ · · · ⊗e⁽ⁿ⁾an com sua imagem porΨ. Com a mesma, (2.124) fica simplesmente

T^a1···an e⁽¹⁾_a1⊗ · · · ⊗e⁽ⁿ⁾_an ≡ T^a1···anm_a1···an, (2.128) que identifica um tensor com o dual de uma forma multilinear (m_a1···an foram definidos em (2.99), p´agina 173).

Devido a (2.126) temos (sempre em dimens˜ao finita) as identifica¸c˜oes deV1⊗ · · · ⊗Vn com

(V₁^′)⊗ · · · ⊗(V_n^′)′

e com

M V1⊕ · · · ⊕Vn

^′

. Evocaremos essas identifica¸c˜oes no futuro, por vezes, sem maiores coment´arios.

Comentamos, por fim, que tamb´em adotaremos a conven¸c˜ao de identificar

T_a1···an e^(1)a1⊗ · · · ⊗e^(n)an ≡ T_a1···anm^a1···an, (2.129) assim como identificaremos

V1⊗ · · · ⊗Vn

′

com (V1)^′⊗ · · · ⊗(Vn)^′ e comM V1⊕ · · · ⊕Vn

, devido a (2.127).

2.3.6 Produtos Tensoriais de um Espa¸co Vetorial com seu Dual

SejaV um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita. Adotaremos sua dimens˜ao como sendo m∈Ne consideraremosV como sendo um espa¸co real. Em aplica¸c˜oes como `a Geometria Diferencial e `a Teoria da Relatividade (Especial e Geral), estamos muitas vezes interessados em tensores que sejam elementos de produtos tensoriais envolvendopfatoresV eqfatoresV^′, comoV ⊗ · · · ⊗V

| {z }

pvezes

⊗V^′⊗ · · · ⊗V^′

| {z }

q vezes

. Os elementos de tais espa¸cos s˜ao denominadostensores de tipo (ou posto) (p, q).

Outros ordenamentos tamb´em podem ocorrer no produto tensorial, tais comoV ⊗V^′⊗V.

2.3.6.1 Tensores Associados a Formas Bilineares Sim´ etricas N˜ ao Degeneradas. M´ etricas

Vamos tratar de um caso de particular importˆancia na F´ısica Relativ´ıstica e na Geometria Diferencial: o caso de tensores de ordem dois associados a formas bilineares n˜ao-degeneradas e sim´etricas.

Com uso de uma forma bilinear n˜ao-degenerada e sim´etrica podemos constituir um isomorfismo entreV e seu dualV^′, assim como entre produtos tensoriais deV ⊗ · · · ⊗V Esses isomorfismos est˜ao relacionados `as opera¸c˜oes de “subir e abaixar ´ındices” de tensores, bem conhecidas daqueles familiarizados com a Teoria da Relatividade. Aqui descreveremos o significado matem´atico dessas opera¸c˜oes.

Uma nomenclatura que por vezes utilizaremos ´e a de chamar os elementos deV^′decovetores. Covetores s˜ao, portanto, duais de vetores.

• Delta de Kr¨onecker

Sei, j pertencem a algum conjunto discreto, definimos δ_ij ≡ δ_i^j ≡ δⁱ_j ≡ δ^ij :=

1, sei=j , 0, sei6=j . O s´ımboloδassim definido ´e denominadodelta de Kr¨onecker⁷⁸.

• Mais sobre bases duais. Mudan¸cas de base

Se{e1, . . . , em}´e uma base emV, sua correspondente base dual canˆonica (para a defini¸c˜ao, vide p´agina 164) emV^′

com certos coeficientes reaisEkl. Para que a nova base seja composta por vetores linearmente independentes a matriz de mudan¸ca de base S, cujos elementos s˜ao dados por Sij ≡Eij, deve ser invers´ıvel. Vamos denotar os elementos (S⁻¹)ij

da matriz inversa S⁻¹ por Eⁱj ≡ (S⁻¹)ji. Naturalmente, S⁻¹S = 1 e SS⁻¹ = 1, ou seja, Pm (2.130) e (2.133). Esse importante fato ´e um tanto evidente, mas recomendamos ao leitor incr´edulo provar essa afirma¸c˜ao, como exerc´ıcio.

78Leopold Kr¨onecker (1823–1891).

E. 2.130 Exerc´ıcio. Com as conven¸c˜oes e defini¸c˜oes acima, constate que os vetores de base ei ∈ V e eⁱ ∈ V^′,i= 1, . . . , m, podem ser obtidos a partir dos vetores de basefk∈V ef^k∈V^′,k= 1, . . . , m, respectivamente, pelas transforma¸c˜oes

ei = E^kifk e eⁱ = Eⁱkf^k,

sendoi= 1, . . . , m. 6

• Formas bilineares sim´etricas. Formas bilineares sim´etricas n˜ao-degeneradas

Como antes, denotemos por M(V ⊕V) o espa¸co das formas bilineares emV. Uma forma bilinearω:V ⊕V →R´e dita ser umaforma bilinear sim´etrica se valerω(u⊕v) =ω(v⊕u) para todosu, v∈V. Uma forma bilinear sim´etrica ω :V ⊕V →R´e dita ser umaforma bilinear sim´etrica n˜ao-degeneradase satisfizer a seguinte condi¸c˜ao: ω(u⊕v) = 0 para todo v∈V se e somente seu= 0.

• M´etricas e formas bilineares

Seja g∈M(V ⊕V) uma forma bilinear sim´etrica e n˜ao-degenerada emV: g :V ⊕V ∋(a⊕b)7→g(a⊕b)∈R. Em uma base{e1, . . . , em} deV podemos escrever um vetora∈V comoa=aⁱei. Assim, teremos

g(a⊕b) = g aⁱei

⊕ b^jej

= g(ei⊕ej)aⁱb^j = gijaⁱb^j , onde definimos

gij := g(ei⊕ej) ,

as componentes (ditas “covariantes”) de g na base {e1, . . . , em} deV, e escrevemos g =gijm^ij (m^ij foi definido em (2.96)–(2.97), p´agina 172). Recordemos que convencionamos identificar formas bilineares em V ⊕V com tensores em V^′⊗V^′ e, assim, temos

g = gijm^ij = gijeⁱ⊗e^j. Vide (2.129). Com essas identifica¸c˜oes, temos o pareamento

g, a⊗b

= D

gijeⁱ⊗e^j, a^kek

⊗ b^lel E

= gija^kb^l

eⁱ⊗e^j, ek⊗el

= gija^kb^l eⁱ, ek

| {z }

=δⁱ_k

e^j, el

| {z }

=δ_l^j

= gijaⁱb^j = g(a⊕b),

como esperado.

A condi¸c˜ao de simetria implica que gij = gji para todos os ´ındices i, j ∈ {1, . . . , m}. Assim, a forma bilinear sim´etricag possuim(m+ 1)/2 componentes independentes. Mais adiante exploraremos as implica¸c˜oes de suporgcomo n˜ao-degenerada. Agora necessitamos saber como as componentes de gtransformam-se por mudan¸ca de base emV.

• Coment´arios sobre a nomenclatura

Uma forma bilinear sim´etrica e n˜ao-degeneradag ´e tamb´em denominada tensor pseudom´etrico, tensor m´etrico ou simplesmentepseudom´etrica oum´etrica, emV.

O leitor n˜ao deve confundir esse conceito de m´etrica com o conceito de m´etrica empregado em Topologia (uma generaliza¸c˜ao da no¸c˜ao de distˆancia entre pontos), estudado no Cap´ıtulo 24, p´agina 1245. Ainda que circunstancialmente haja uma certa rela¸c˜ao entre essas no¸c˜oes em casos especiais (na Geometria Riemanniana, um tensor m´etrico pode sob hip´oteses induzir uma m´etrica topol´ogica em uma variedade), trata-se de uma coincidˆencia de nomenclatura um tanto infeliz.

Outro ponto infeliz da nomenclatura comum refere-se `a part´ıcula “pseudo”. Normalmente, uma forma sim´etrica e n˜ao-degenerada deveria ser denominada tensor m´etricooum´etrica se for tamb´em positivo. Uma forma sim´etrica, n˜ ao-degenerada e n˜ao-positiva deveria ser denominada tensor pseudom´etrico oupseudom´etrica. No entanto, na Teoria da Relatividade, ´e costume n˜ao empregar a part´ıcula “pseudo”, ainda que l´a se lide com formas sim´etricas, n˜ao-degeneradas e n˜ao positivas.

• Transforma¸c˜ao das componentes de uma m´etrica por mudan¸ca de base

• A “inversa” de um tensor m´etrico

A condi¸c˜ao de n˜ao-degenerescˆencia do tensor m´etrico implica que, em cada base{e1, . . . , em} de V, a matriz G com elementosgij, possui uma inversa. Os elementos de matriz dessa inversaG⁻¹ s˜ao denotados porg^ij, com ´ındices superiores. Como veremos, essa distin¸c˜ao notacional de ´ındices superiores e inferiores, ainda que n˜ao possua nenhum significado profundo em si, ´e muito conveniente e muito empregada em textos de F´ısica. Observe-se que como G´e uma matriz sim´etrica,G⁻¹tamb´em o ´e e vale a rela¸c˜ao simetriag^ij =g^ji para todos os ´ındicesi,j.

Naturalmente,G⁻¹G=1eGG⁻¹=1, o que se escreve na forma

g^ijgjk = δⁱ_k e gijg^jk = δ_i^k . (2.135)

Por uma mudan¸ca de sistema de coordenadas G transforma-se segundo G^′ = SGS^T com Sab = Eab

(vide (2.134)).

Logo, G⁻¹ transforma-se como G^′−1 = S⁻¹T

G⁻¹S⁻¹. Os elementos de matriz de S⁻¹ s˜ao S⁻¹

ab = E^ba (vide (2.131)–(2.132)). Logo, a transforma¸c˜ao dos elementosg^ij´e

g^′ij = EⁱkE^jlg^kl. (2.136)

E. 2.131 Exerc´ıcio. Verifique isso e constate que essa express˜ao respeita as rela¸c˜oes (2.135), como esperado. 6 Com os elementos g^ij ´e poss´ıvel definir uma forma bilinearg^♯∈M V^′⊗V^′

Como um tensor de tipo (0, 2), temos

g^♯ = g^ijei⊗ej . (2.139)

E importante notar que as express˜oes (2.137) e (2.139) s˜ao invariantes por mudan¸cas de base. ´´ E suficiente provar essa afirma¸c˜ao para (2.139). De fato,

como quer´ıamos mostrar. Isso prova queg^♯tem uma existˆencia intr´ınseca, independente da base adotada.

Agora, um pouco da nomenclatura adotada em textos de F´ısica. As componentesgij do tensor m´etrico s˜ao tamb´em denominadas componentes covariantes do tensor m´etrico. As componentes de g^♯ em uma base s˜ao (por defini¸c˜ao)g^ij e s˜ao denominadas componentes contravariantes do tensor m´etrico. O tensor g ´e tamb´em denominado tensor m´etrico covariantee o tensorg^♯´e tamb´em denominadotensor m´etrico contravariante.

• Mapeando V em V^′ com os tensores m´etricos

Por uma quest˜ao de simetria, vamos aqui denotar o tensor m´etricogporg♯. Temos, portanto, em bases{e1, . . . , em} e{e¹, . . . , e^m} deV eV^′, respectivamente,

g♯ = gijeⁱ⊗e^j e g^♯ = g^ijei⊗ej.

Os tensoresg♯eg^♯permitem-nos definir dois isomorfismos lineares entre os espa¸cosV emV^′, os quais, por economia e similaridade, tamb´em denotamos porg_♯ eg^♯:

• Definimosg_♯ :V →V^′ como sendo a aplica¸c˜ao linear que a cadaa∈V associa um elemento g_♯(a)∈V^′ de forma

• Subindo e abaixando ´ındices vetores, covetores e tensores em geral

Como vimos acima, a aplica¸c˜ao que leva um vetor v ∈ V ao covetor g_♯(v) ∈ V^′ corresponde, no que concerne `as suas componentes em uma base de coordenadas, a transformar as componentes vⁱ nas componentes g_♯(v)

j = gjivⁱ. Analogamente, a aplica¸c˜ao que leva um covetor u ∈ V^′ ao vetor g^♯(u) ∈ V corresponde, no que concerne `as suas componentes em uma base de coordenadas, a transformar as componentesuj nas componentes g^♯(u)i

=g^ijuj. Como g♯ eg^♯ s˜ao isomorfismos, ´e costume em textos de F´ısica tratarv ∈V eg♯(v)∈V^′ em p´e de igualdade, assim comou∈V^′ eg^♯(u)∈V.

As componentes vⁱ de v ∈ V em uma base {e1, . . . , em} s˜ao denominadas componentes contravariantes de v, enquanto que as componentes g_♯(v)

j de g_♯(v)

Com essas identifica¸c˜oes como representa¸c˜oes em componentes da igualdade (2.142).

E. 2.133 Exerc´ıcio importante. Verifique que, de fato, (2.143) expressa (2.142) em coordenadas nas bases {e1, . . . , em} e

{e¹, . . . , e^m}. 6

Esse tipo de nota¸c˜ao, muito mais pr´atica, ´e encontrada ami´ude em livros sobre a Teoria da Relatividade Geral. Assim, de um ponto de vista notacional, no que concerne `as componentes, a passagem de v ∈V a g_♯(v)∈ V^′ e de u∈ V^′ a g^♯(u) ∈ V consiste em abaixar e, respectivamente, elevar os ´ındices, transforma¸c˜oes essas definidas pelas contra¸c˜oes vj =gijvⁱ euⁱ =g^ijuj, respectivamente, com as componentes dos tensores g♯ eg^♯. Essas opera¸c˜oes s˜ao inversas uma da outra, pois g_♯ e g^♯ s˜ao opera¸c˜oes inversas, como j´a comentamos. Componentes de vetores, com ´ındices em cima, s˜ao frequentemente denominadas componentes contravariantes e componentes de covetores, com ´ındices em baixo, s˜ao frequentemente denominadas componentes covariantes.

Com tensores que sejam elementos de produtos tensoriais dos espa¸cos V e V^′, as aplica¸c˜oes g♯ e g^♯ estendem-se tamb´em de maneira ´obvia, permitindo, analogamente, definir as opera¸c˜oes de elevar e abaixar ´ındices tensoriais. Assim, definimos

como a aplica¸c˜ao linear que leva o tensor

T_i1···ip^j1···jq eⁱ¹⊗ · · · ⊗e^ip⊗ej1⊗ · · · ⊗ejq no tensor “dual” T^i1···ip_j1···jq ei1⊗ · · · ⊗eip⊗e^j1⊗ · · · ⊗e^jq , onde

T^i1···ip_j1···jq := g^i1k1· · ·g^ipkpgj1l1· · ·gjqlqT_k1···kp^l1···lq .

Com essas opera¸c˜oes de subida e abaixamento de ´ındices em componentes de tensores gerais podemos constituir grandezas invariantes por mudan¸cas de base, tais como U^i1···ip_j1···jqV_i1···ip^j1···jq.

2.3.7 Produtos Tensoriais de um mesmo Espa¸co Vetorial. Os Espa¸cos

No documento Cap´ıtulo 2 Estruturas Alg´ebricas B´asicas (páginas 107-112)