Atividade 3

A Atividade 3 tinha como objetivo investigar um problema de otimização por meio do software Winplot, visando perceber o conhecimento do estudante – futuro professor, no processo de interpretação, compreensão, justificação e visualização do problema, a partir do estudo das várias representações matemáticas inseridas no contexto da disciplina Cálculo I. Para tanto, foi proposto aos estudantes o seguinte problema: Determinar as dimensões do retângulo de área máxima, que pode ser inscrito em um semicírculo de raio r.

Para a exploração do problema foram utilizados os softwares matemáticos Winplot e o Maple66. Os encaminhamentos para as possíveis soluções da atividade proposta e para a abordagem das representações gráficas por meio do software processaram-se da forma, abaixo explicitada.

Interação da pesquisadora com os estudantes de modo a propiciar um ambiente investigativo, com a perspectiva de motivar a estudante a trabalharem em um contexto de exploração da atividade, mediada pelo software matemático Winplot.

Assim, foi inicialmente sugerido aos estudantes, que desenhassem no Winplot o gráfico da circunferência de equação x2 + y2 = r2 (Figura 22).

Figura 22: A Circunferência

Em vista da visualização do gráfico, foi solicitado, então, que desenhassem no Winplot a semicircunferência, de centro na origem a partir da equação da circunferência, tendo dois dos seus vértices sobre o diâmetro localizado sobre o eixo Ox (eixo das abscissas). A partir dessas informações, foi requerido aos estudantes que discutissem em grupo como poderiam representar algebricamente a equação da semicircunferência. Após discussões, mediadas pela pesquisadora e questionamentos estabelecidos pelos próprios estudantes, algumas soluções foram apresentadas.

Dando prosseguimento à essa exploração, foi proposto aos estudantes desenharem por meio do Winplot o gráfico da equação 2 2

r

y = −x , a qual gerou uma semicircunferência de centro na origem e de raio genérico sobre o eixo das ordenadas (Figura 23).

66

Vale ressaltar que os estudantes já estavam familiarizados com alguns comandos do Winplot , PLANILHA

Eletrônica e do Maple66, de maneira que, sob esse aspecto o desenvolvimento dos trabalhos transcorreram tranqüilamente. −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 x y

Figura 23: O Semicírculo

A partir desta representação, foi sugerido aos estudantes que desenhassem o retângulo inscrito no semicírculo. A pesquisadora, juntamente com os estudantes esboçaram o primeiro segmento que daria origem ao retângulo inscrito na semicircunferência, deixando a cargo dos estudantes os três segmentos restantes (Figuras 24 e 25);

Figura 24 : O Primeiro Segmento 25: O Retângulo Inscrito

Orientação para os estudantes sobre a concepção de um modelo matemático que pudesse motivá-los a encontrar possíveis soluções para a Atividade proposta.

Tendo em vista o retângulo inscrito na semicircunferência (Figura 25), foram levantadas algumas conjecturas e hipóteses pela pesquisadora encaminhadas aos estudantes, orientando-os a pensarem em um modelo matemático que viesse representar a área do retângulo inscrito na semicircunferência de raio r e de centro na origem.

O objetivo consistia em envolver os estudantes em um processo investigativo, para que eles pudessem avançar um raciocínio que os permitissem interagir com a atividade, a fim de chegar em estratégias que os conduzissem à respostas conclusivas. Depois de algumas conjecturas entre os estudantes, intermediadas pela pesquisadora, foi determinada a função

A(x) = 2

x - r x

2⋅ ⋅ e, em seguida, desenhado o seu gráfico no Winplot, bem como o ponto (a, 2⋅a⋅ r -a2 ). −2.0 −1.0 1.0 2.0 1.0 2.0 x y −2.0 −1.0 1.0 2.0 1.0 2.0 x y −2.0 −1.0 1.0 2.0 1.0 2.0 x y

Figura 26: A Função Área

Dando prosseguimento a exploração do gráfico (Figura 26), foi perguntado aos estudantes como poderiam justificar algebricamente suas observações de maneira a determinar as dimensões do retângulo de área máxima? Para responder tal questionamento foi necessária a mediação da pesquisadora e discussões entre os próprios grupos presentes.

Alexandre e Clara - Pudemos observar que quando o valor se aproxima do ponto de

maior extremo, o valor da área do retângulo se aproxima do máximo. Podemos observar melhor, junto aos cálculos de derivadas. [...] Quando encontrado o valor máximo, a derivada zera, nesse caso, a área do retângulo inscrito é máxima.

Patrícia e Ágata - Pela primeira vez entendemos a relação para a construção de um

tipo de problema. Pudemos observar que quando a área é máxima, a derivada da função é zero e quando é mínima também. Pudemos ainda observar que é importante ter noção do que estamos fazendo, pois a máquina pode errar (referindo-se a uso do software) e devemos estar atentos ao que ocorre.

Delineado os procedimentos, todos passaram então à atividade de calcular a Derivada de A(x), bem como A’(x) e A’’(x), registrando os cálculos operatórios por meio de lápis e papel. Após concluírem e devidamente registrarem o cálculo das derivadas de A(x) no papel, foi solicitado aos estudantes que abrissem o pacote algébrico do Maple para poderem confirmar se as soluções encontradas estavam corretas.

Ao observarem, portanto a solução apresentada no Maple os estudantes puderam então comparar suas respostas. Muitos deles puderam confirmar acertos e erros e, após as correções necessárias, concluíram que o ponto máximo da função correspondia a x = 1,4

−6.0 −4.0 −2.0

2.0

4.0

6.0

8.0

−4.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

x y

?

Gráfico: Função Área

considerando o raio r = 2. Considerando esses valores para o “teste da segunda derivada”67, puderam concluir tanto por meio de cálculos manuais bem como por meio do Maple, que x = 1.4 correspondia a um ponto de máximo da função.

Concluídos os cálculos os estudantes passaram então a desenhar por meio do Winplot o gráfico da função derivada, bem como um ponto genérico representado pela seguinte

coordenada:

(

)

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ⋅ 2 2 2 2 2 a r a r 2

a, a ) (Figura 27) gráfico da função área e gráfico da função derivada), possibilitando aos mesmos perceberem que quando o ponto atingia o máximo da função simultaneamente era mostrado a maior área do retângulo na figura do retângulo inscrito.

Figura 27: Derivada da Função Área.

Tendo em vista o valor genérico da área do maior retângulo inscrito no semicírculo de raio r, foi sugerido aos estudantes usarem o recurso da PLANILHA para que pudessem analisar sob um outro ponto de vista os resultados anteriormente encontrados. O objetivo para tal procedimento consistia em mostrar a esses possíveis futuros professores, que o problema apresentado poderia ser trabalhado em nível médio e fundamental sem a necessidade explicita de se trabalhar com ferramentas de Cálculo de maneira a introduzir conceitos de variação e continuidade de uma função para os seus futuros alunos ainda em nível escolar. Assim como foi procedido com o Winplot e o Maple, ao mesmo tempo em que discutiam os resultados, a

67

Nessa atividade também foram explorados resultados para outros valores do raio r

−6.0 −4.0 −2.0

2.0

4.0

6.0

8.0

−4.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

x y

?

Gráfico: Derivada da Função Área Gráfico: Função Área

pesquisadora orientava os estudantes nos comandos para utilização da PLANILHA. Vejamos alguns resultados encontrados (Figuras 28, 29 e 30)

Figura 29: Retângulo de maior área inscrito no semicírculo de raio 2

x y Área 0 1 0 0,1012 0,994866102 0,201360899 0,202 0,979385522 0,395671751 0,3028 0,953054122 0,577169576 0,4036 0,914935539 0,738535967 0,5044 0,863470115 0,871068652 0,6052 0,796073464 0,963567321 0,706 0,708211833 0,999995108 0,8068 0,590824644 0,953354646 0,9076 0,419835968 0,762086249

Figura 28: Retângulo de maior área inscrito no semi-círculo de raio 1

x y Área 0 2 0 0,101 1,997448122 0,403484521 0,202 1,989772851 0,803868232 0,303 1,976914515 1,198010196 0,404 1,958771043 1,582687003 0,505 1,935193789 1,954545727 0,606 1,905981112 2,310049108 0,707 1,870869049 2,645408836 0,808 1,829517969 2,956501038 0,909 1,781493475 3,238755137 1,01 1,726238686 3,487002145 1,111 1,663033072 3,695259487 1,212 1,590929288 3,856412595 1,313 1,508652047 3,961720276 1,414 1,414427093 3,999999818 maior área maior área

x y Área 0 3 0 0,101 2,998299351 0,605656469 0,202 2,993191608 1,209249409 0,303 2,984659277 1,808703522 0,404 2,972672871 2,40191968 0,505 2,95719039 2,986762293 0,606 2,938156565 3,561045757 0,707 2,915501844 4,122519607 0,808 2,889141049 4,668851935 1,919 2,305957285 8,85026406 2,02 2,218017132 8,960789215 2,121 2,121640639 8,99999959 2,222 2,015618019 8,957406478 2,323 1,898333743 8,81965857 2,424 1,767547453 8,569070054 2,525 1,619992284 8,180961034 2,626 1,450559892 7,618340552

Figura 30: Retângulo de maior área inscrito no semi-círculo de raio 3

Observando os dados de pontos de máximo, valor máximo e maior área classificados para cada raio, foi possível aos estudantes conjeturarem uma solução para o problema. A pesquisadora solicitou então que reorganizassem uma tabela apenas com os maiores valores de áreas encontrados em cada uma das planilhas e se possível, tentassem generalizar os resultados. Assim foi feito (Figura 31).

R(raio) X (ponto de máximo) Y(valor máximo Área Máxima 1 0,706 0,708211833 0,999995108 2 1,414 1,414427093 3,999999818 3 2,121 2,121640639 8,99999959 .... ... .... ....

Figura 31 Pontos de Máximo, Valor Máximo e Maior Área classificados para cada raio

Para essa abordagem, os estudantes, em sua maioria, tiveram dificuldade em generalizar os resultados. Entretanto alguns obtiveram sucesso. Os estudantes Frederico e Henrique apresentaram a seguinte tabela (Figura 32).

R(raio) X (ponto de máximo) Y(valor máximo Área Máxima 1 0,706 0,708211833 0,999995108 ~ 1 2 1,414 1,414427093 3,999999818 ~ 4 3 2,121 2,121640639 8,99999959 ~ 9 .... ... .... .... n n 2 n ~n2

Figura 32: Retângulo inscrito de maior Área a partir de um raio genérico

A partir dessa discussão, foi solicitado aos estudantes que registrassem no papel esses últimos resultados, e que comentassem um pouco sobre suas percepções à respeito da

atividade desenvolvida. Vejamos abaixo seus comentários:

Alexandre e Clara - Pudemos observar que quando o valor se aproxima do ponto de

maior extremo, o valor da área do retângulo se aproxima do máximo. Podemos observar melhor, junto aos cálculos de derivadas. [...] Quando encontrado o valor máximo, a derivada zera, nesse caso á área do retângulo inscrito é máxima.

Patrícia e Agáta - Pela primeira vez entendemos a relação para a construção de um

tipo de problema. Pudemos observar que quando a área é máxima, a derivada da função é zero e quando é mínima também. Pudemos ainda observar que é importante ter noção do que estamos fazendo, pois a máquina pode errar (referindo-se a uso do software) e devemos estar atentos aos que ocorre.

Ana Paula e Laura - Pudemos observar no Winplot que a maior área do retângulo

pode ser vista se calcularmos o ponto máximo da função da área.

Marcela e Letícia- O que a gente achou mais difícil foi calcular a derivada, enquanto

que o mais legal foi ver no gráfico os pontos de máximo e mínimo da função e cada vez com um raio diferente.

Frederico e Henrique - Montar o retângulo por meio do software foi o que a gente

achou mais interessante, outra coisa bem legal foi ter a noção de trabalhar na planilha, poder relacionar máximos e mínimos. Já no Winplot foi a possibilidade de visualizar os gráficos das funções, da função Área e das funções derivadas, além de interpretar através da área do maior retângulo os pontos de máximo e mínimo.

Os estudantes acharam bastante interessante trabalhar com o Winplot nessa atividade. Ao perguntar se a idéia de inter-relacionar várias representações matemáticas na exploração do problema ajudou na compreensão? a maioria respondeu que ajudou bastante. Pudemos perceber que a possibilidade de visualizar os gráficos de retângulo inscrito, a Função Área e a Derivada da Função, permitiu aos estudantes explorar sob vários ângulos e perspectivas uma solução para o problema.

Assim, transpondo essas considerações em uma análise Semiótica, nós podemos inferir que a forma visual do retângulo inscrito no semicírculo correspondeu em um primeiro momento em uma forma sígnica icônica - uma primeiridade e em um segundo momento um indicativo para a definição do modelo matemático - a função área.

Á partir dessa primeira apreensão, por meio da interação e discussões geradas pela pesquisadora, no contexto do desenvolvimento da atividade exploratório-investigativa e pelas inferências e hipóteses levantadas pelos estudantes no processo de criarem estratégias para resolverem a atividade, novos elementos surgiram, no sentido que, foram avançando e elaborando os seus raciocínios de maneira mais significativa, ou seja, começaram a perceber como a qualidade dos signos era manifestada nas diferentes representações das figuras, isto é, como a circunferência, o semicírculo se relacionavam com os dados da atividade proposta – existia “uma certa tradução” dos dados da atividade exploratório-investigativa para a sua representação. Nesse ponto, temos então a secundidade.

Em um terceiro momento, quando os alunos começaram a relacionar os conceitos de derivada de uma função com o fato de igualar à representação algébrica que exprimia a função área a zero, perceberam que deveriam encontrar também a segunda derivada da função área para saberem se o ponto era de máximo ou de mínimo começaram a relacionar os diversos conceitos matemáticos trabalhados através da visualização e da dinamicidade do software. Além disso, ao utilizarem um outro software para confirmarem as suas conjecturas iniciais perceberam as diversas relações matemáticas que puderam ser extraídas e estabelecidas à partir das diferentes representações – algébrica, gráficas (estática e dinâmica). Nesse momento podemos considerar que os alunos atingiram um nível mais elevado de raciocínio matemático possibilitando aos mesmos a capacidade de abstrair e generalizar os conceitos estudados para outros contextos. Nesse ponto, temos então, na análise Semiótica, a terceridade.

No nível do interpretante imediato, a imagem do retângulo inscrito no semicírculo em seus vários momentos trata-se de um interpretante em abstrato, pressupondo a probabilidade de resultados para o cálculo de área. No nível do interpretante dinâmico, a imagem na tela do computador e a possibilidade de animação da figura por meio do Winplot permitiram aos estudantes maiores perspectivas e simulações na abordagem do problema. Segundo Hildebrand (2002), “a simulação é um aspecto importante na observação das formas matemáticas” (110). Nesse sentido, o uso do software foi fundamental, pois permitiu aos estudantes realizarem várias simulações de áreas do retângulo.

Nas entrevistas, alguns estudantes mostraram o interesse em trabalhar com aplicações que envolvessem conceitos de Limites e Derivadas em um curso de Cálculo como uma forma de experenciar novas abordagens que viessem contribuir com o seu conhecimento matemático, didático e pedagógico.

Rosana - Importante tem vários procedimentos de cálculo que facilitam e explicam

alguns processos matemáticos, os quais aparecem sem sentido quando estamos no Ensino Médio, por exemplo, encontrar o vértice de uma função do segundo grau. Em relação a formação do futuro professor, eu acredito que é bom o professor saber mais, ter um maior conhecimento.

Patrícia - Eu acho que é uma disciplina importante, porém, eu acho que faltam no

curso as aplicações, como aluna de Cálculo, sempre me pergunto: onde eu vou usar isso? o que eu vou fazer com isso? Eu acho que falta ensinar ao aluno onde aplicar os ensinamentos do Cálculo. A teoria é importante, mas falta aplicação. E para o futuro

professor, dá uma base pra ele entender muitas coisas. É claro que se for dar aula lá

pra oitava série, tem muita coisa que ele não vai precisar passar. Mas é importante o professor saber mais do que precisa para ensinar em nível fundamental.

Ao considerarmos esse aspecto entendemos que na aplicação e desenvolvimento da Atividade 3, na qual foi investigado um problema de otimização, contemplamos parte dessa expectativa, possibilitando aos estudantes revisitarem conceitos matemáticos estudados em nível escolar além de experenciarem uma abordagem diferenciada da qual estão comumente acostumados a tratar em classe, durante o período letivo de aulas, como a pesquisadora pôde constatar durante o período de observação. Nessa atividade os estudantes tiveram a oportunidade de conjecturar sobre alguns conceitos de crescimento, decrescimento, comportamento assintótico, máximos e mínimos de funções, por meio do software matemático - Winplot. Vejamos abaixo excertos de comentários relacionados a essa temática, apresentada pelos estudantes.

Frederico e Henrique - Montar o retângulo por meio do software foi o que a gente

achou mais interessante, outra coisa bem legal foi ter a noção de trabalhar na planilha, poder relacionar máximos e mínimos. Já no Winplot foi a possibilidade de visualizar os gráficos das funções, da função Área e das funções derivadas, além de interpretar através da área do maior retângulo os pontos de máximo e mínimo.

A perspectiva de aplicar os conceitos de Limites e Derivadas de uma função, inter- relacionando várias representações matemáticas no ensino do Cálculo Diferencial e Integral, com vistas a possibilitar o estudante/futuro professor experiências didáticas além de um conhecimento aprofundado dos conteúdos matemáticos, foi também, bastante discutida pelos professores entrevistados. Assim, alguns dos professores comentaram que:

Professor K - Na formação Matemática do aluno é importante ter noção de problemas

envolvendo o vetorial e o não vetorial, a idéia do topológico, do métrico. São idéias importantes para o individuo conhecer, ter uma idéia daquilo que se chama Matemática. Outra coisa que o aluno deve ter nesse aprendizado entre diversos fatores é a experiência didática, trabalhar com metodologias diferentes daquelas que estão acostumados, é importante que ele tenha essas experiências didáticas, principalmente no início do curso. Acho que dá pra fazer atividades interessantes pro Ensino Médio. Fazer o aluno pensar ao invés de propor procedimentos operatórios em que se aplique uma variedade de fórmulas que o cara não tem nenhuma idéia do que está fazendo. Agora pra formação do professor eu acho importante, um conhecimento mais profundo, mais substancial da área que ele está atuando.

Professor W - Em um curso de Cálculo eu costumo sempre privilegiar bastante as

aplicações. Não só no Cálculo, qualquer curso que eu ministre aulas. Isso acontece, talvez por minha formação for mais aplicada. Então, eu tento sempre dá uma motivação maior, mais prática. Então, essa é a história do algo real criar-se um modelo matemático. Esse modelo matemático você expressa por uma linguagem seja ela geométrica, algébrica etc. E aí com o conteúdo desenvolvido você resolve e busca comprovar usando a linguagem Matemática. Então eu valorizo demais, acho que é importante e tem que haver esse jogo, com as diversas representações

Professor Z - eu diria que saber Cálculo é uma coordenação entre essas

representações. é fundamental que o aluno ou futuro professor saiba coordenar resultados de uma tabela, perceber diferenças e semelhanças entre representações de funções do primeiro grau, do segundo grau, de uma exponencial, de uma polinomial até graus razoáveis etc. Então ele tem que saber coordenar essas representações. E, se tiver um software para lidar com elas, melhor ainda. O software nos possibilita observar os padrões e ter uma outra compreensão. [...] aprendermos de uma maneira criativa sem decorarmos as demonstrações, passa a ser uma articulação. Então, no meu modo de ver o Cálculo é importante, é fundamental para o aluno ter noções de determinados conceitos matemáticos, mas não adianta saber resolver integral, ele precisa entender integral, ele precisa entender taxa de variação pra entender o que está por trás dos modelos econômicos, modelos de reserva de avião que estruturam as suas vidas e isso é fundamental.

No documento As representações matemáticas mediadas por softwares educativos em uma perspectiva semiótica: uma contribuição para o conhecimento do futuro professor de matemática (páginas 170-180)