Atividade 4

Para a Atividade 4, foi proposto um problema, inter-relacionando conceitos de Geometria Espacial e Cálculo Diferencial e Integral I. Esta atividade buscava investigar um problema de Otimização por meio do software Winplot, visando explorar as representações algébricas, gráficas, e geométricas. A proposta da Atividade consistia em: Determinar as dimensões de uma lata de refrigerantes de 111,5

π

Para tanto, foi explicitado aos estudantes, que para o desenvolvimento desta Atividade Exploratório Investigativa, utilizaríamos o recurso dos softwares: Winplot para fazermos a simulação geométrica do problema, bem como para esboçar os gráficos das funções. O pacote algébrico do Maple seria utilizado para experimentarmos e comprovarmos as soluções

encontradas das representações algébricas, realizadas previamente pelos estudantes, utilizando lápis e papel.

Sendo essa atividade, um pouco mais elaborada que as demais, foi sugerindo aos estudantes que considerassem a possibilidade de visualizar a lata cilíndrica planificada e, a seguir, que eles procurassem descrever algebricamente a Área da tampa e do fundo da latinha. Para que pudéssemos discutir os resultados em grupo foi proposto ainda aos estudantes que utilizassem a letra r para representar o raio da tampa e do fundo, h a altura e C o custo (em centavos) do material necessário para construir uma latinha.

Encontrada as respectivas Áreas: A= π.r2 (área da tampa e do fundo) e A = 2 πrh (Área da lata aberta), tarefa que todos concluíram sem grandes dificuldades, embora, em diversos momentos a interação entre pesquisadora e estudantes tenha sido relevante para esse intento. Prosseguindo a investigação, já cientes dos dados acima estabelecidos, os estudantes puderam então conjecturar a respeito do custo do material para a confecção da embalagem. Para tanto, retornaram a discutir entre eles próprios e, por meio de alguns questionamentos por parte da pesquisadora, chegaram por fim a um consenso, determinando que o custo total (somando o custo do lado com os custos da tampa e do fundo), poderia ser expresso da seguinte maneira:

C = 3πr2 +3πr2 + 4πrh ⇒ C = 6 πr2 + 4πrh

Determinada a Equação custo, os estudantes em consenso chegaram a conclusão, depois de muita reflexão e discussão, que para desenharem o gráfico de C = 6 πr2 + 4πrh, por meio do Winplot, seria necessário escrever o Custo em função apenas de uma variável, de maneira que o próximo passo na exploração da Atividade seria o de expressar a altura h em função de r. Foi então, solicitado aos estudantes, que conjeturassem um pouco mais a respeito, e que sugerissem uma solução. Assim, após amplas discussões e questionamentos entre a pesquisadora e os estudantes o Custo em função do raio pôde ser representado algebricamente, substituindo a altura h na função custo, como indicado abaixo:

r

. . r

h 2πr

C = 6π⋅⋅⋅⋅r2 ++++4π⋅⋅⋅⋅rh ⇒⇒⇒⇒ C(r) = 6π⋅⋅⋅⋅r2 ++++4π⋅⋅⋅⋅r 2 r 111,5 ⇒ C(r) = 2 r π 6 + r π 446

Nesse momento da investigação, foi sugerido aos estudantes que, antes de desenharem o gráfico da função custo, eles deveriam fazer a construção da latinha por meio do Winplot, simulando as dimensões do volume e da altura do cilindro.

Primeiramente foi solicitado à eles que desenhassem o círculo representando a base (equação do círculo de raio r). Para desenhar a tampa da latinha (círculo de raio r, acima do eixo Ox) um grupo sugeriu uma translação, somando a equação do círculo com a altura;

h = 2 r 111,5 . Isto é, 2 r π 6 + r π 446 + 2 r 111,5

. Essa sugestão foi interessante, principalmente por ter sido uma iniciativa dos próprios estudantes. Dado um tempo, e diante de muitas sugestões chegaram à solução (Figura 36 ).

Figura 36: O Cilindro

Prosseguindo na exploração da Atividade foi solicitado aos estudantes que abrissem uma outra tela, no Winplot, para que pudessem desenhar os gráficos representando as funções Custo, Altura e Volume da latinha, bem como os pontos genéricos pertencentes a cada uma dessas funções, de maneira que pudessem animar os gráficos comparando essas representações à representação geométrica do cilindro. Vale ressaltar que, para essa tarefa, os estudantes já estavam familiarizados com os comandos, portanto, poucas foram as intervenções realizadas sob esse aspecto (Figura 37).

−8

−4

4

8

12

−4

4

8

12

Figura 37: Representação da Função Custo, Altura e Volume.

Observando os gráficos, os estudantes puderam concluir que o Custo era estimado Mínimo para algum valor de r e que deveriam achar uma maneira de encontrar esse valor. Assim, os alunos montaram no software PLANILHA a função Custo e testaram diversos valores. Qual seria o valor mínimo? Semelhantemente a atividade 3, embora com dados e enfoque diferenciados, os estudantes concordaram que no valor do custo Mínimo a derivada da função seria igual a zero. Assim, derivando a função Custo C(x), os estudantes fizeram, primeiramente, o cálculo da Derivada no papel e então resolveram experenciar os resultados no Maple.

Levando em conta que o raio poderia ser qualquer valor positivo, o objetivo, portanto, seria determinar o Mínimo absoluto de C(r), para r > 0. Assim, a partir da derivada de C(r), discutimos que os pontos críticos da função indicariam uma resposta para o problema. Supondo então, que a função passa por um Mínimo no ponto em que a derivada é nula, o custo Mínimo do material para confecção da latinha apresentava-se de menor valor para o raio igual ao valor abaixo;

3372 , 3 6 223 r 0 (r) C' ==== ⇒⇒⇒⇒ ====3 ≅≅≅≅ _.

Finalmente para ter certeza de que esse extremo correspondia realmente a um Mínimo absoluto (e não a um Máximo), bastou que os estudantes observarem que C’(r) possuía apenas um ponto crítico, para r > 0. Para justificar esse resultado os estudantes calcularam a segunda derivada de C(r) com lápis e papel e, por meio do Maple, puderam experenciar e comprovar as suas respostas. Concluída as justificações algébricas, foi solicitado aos

−4 ₋₁₀₀ 4 8 12 16 20 24 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 x y

Altura

C (r)

Volume

estudantes que desenhassem, por meio do Winplot, os gráficos das funções C’(r) e C”(r), para que pudessem visualizar o comportamento das mesmas em comparação à Função Custo C(r).

Ao movimentarem os pontos genéricos sobre essas funções (Figura 38), puderam perceber que, quando o ponto atinge o menor valor em C(r), o ponto sobre C’(r), tocava o eixo Ox, indicando o zero dessa função, ao mesmo tempo em que para as funções altura h(r) e volume V(r), os valores aproximados, correspondiam a 10,011m e a 350 ml, respectivamente, cujas dimensões determinavam a solução para a Atividade 4.

Figura 38: Custo Mínimo

Ao finalizar a investigação sobre o problema apresentado na Atividade 4, foi proposto aos estudantes retomarmos a representação geométrica do cilindro de maneira a observarmos simultaneamente a animação dos gráficos das funções C (r), C’(r), C”(r), h(r), V(r) em relação a do cilindro por meio do Winplot.

−4 ₋₁₀₀ 4 8 12 16 20 24 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 x y Altura C(r) Volume C'(r) C''(r)

Figura 39: Cilindro versus Representação Algébrica das Funções Custo, 1ª. e 2ª. Derivadas

Essa abordagem foi importante, pois os estudantes tiveram a oportunidade de perceber que quando a função Custo atingia seu menor valor, simultaneamente, o cilindro configurava-se na forma ideal, ou seja, expressando as dimensões de menor quantidade para o metal necessário na construção da latinha de cerveja, considerando-se, obviamente, os dados apresentados no problema.

Encerrando as Atividades, a pesquisadora solicitou aos estudantes que registrassem no papel considerações sobre os conceitos trabalhados durante as discussões da Atividade 4, convidando-os também a falarem um pouco sobre a abordagem empregada nesta pesquisa. Vejamos as opiniões dos estudantes à respeito:

Robin- Lidar com gráfico é uma coisa que prende a atenção [...] pra alguns é

importante, pra outros não, mas na minha opinião achei bastante interessante.

Robin e Clotilde - A parte mais difícil do problema foi pensar como escrever a

equação dos três gráficos da função Custo, da derivada e da segunda derivada.[...] Para o aluno que não tem noção de derivada, é importante ter um conhecimento anterior.

Any - Mas, mesmo assim (referindo-se à fala de Henrique), pra trabalhar com os

alunos do ensino médio é bem interessante, fica bem mais rápido pra eles visualizarem...

Henrique -...é, porque a gente pode relacionar as várias representações, é bem

melhor do que ficar imaginando a figura, o que está acontecendo. A idéia de partir de uma figura geométrica para a equação, pode ser que no início fique difícil, mas é possível trabalhar desta maneira mesmo com alunos que desconhecem os conteúdos de derivada e limites.

Henrique - Gostei da atividade, pois deu pra ver o comportamento de vários gráficos.

O comportamento do gráfico do Custo, entre outros. É só meio complicado pro ensino médio, você explicar que uma curva ou que aquele gráfico representa, por exemplo, o volume, ou altura do cilindro. Mas essa forma de abordar os conteúdos matemáticos é muito interessante. −8 −4 4 8 12 −4 4 8 12 x y −4 ₋₁₀₀ 4 8 12 16 20 24 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 x y Altura C (r) Volume C' (r) C'' (r)

Augusto - A atividade de hoje, eu gostei bastante, principalmente a parte de

manipular vários gráficos ao mesmo tempo e... é interessante que o computador agiliza um processo, que se a gente fosse fazer manualmente seria inviável. E com relação ao problema proposto na atividade de hoje, envolvendo cilindro e volume, eu acho possível pelo menos nessa perspectiva ser abordado no ensino médio, porque, por exemplo, dado um volume fixo dá pra trabalhar só com equação do segundo grau envolvendo a variável r. Dado r, colocar a altura em função do raio. E como é uma função do segundo grau, dá pra trabalhar normalmente com máximo, mínimo, sem falar de derivada.

Na opinião geral dos estudantes, esta atividade foi bastante interessante, mesmo porque tiveram a possibilidade de perceber a movimentação de vários gráficos associados à imagem do cilindro. Mesmo com relativa dificuldade ao modelar a função Custo partindo da figura do cilindro, foram poucas as interferências por parte da pesquisadora, no sentido de orientar o uso dos comandos do Winplot, devido os estudantes já se encontrarem em mais familiarizados com a linguagem do software, o que ajudou bastante no processo de exploração do problema. Novamente a simulação das imagens, por meio do Winplot, foi de grande relevância para a compreensão e interpretação do problema proposto na atividade. Podemos perceber essa afirmação de acordo os comentários de alguns estudantes;

Any - pra mim ajudou bastante, melhorou muito a visão que eu tinha antes, agora,

quando começar a trabalhar (referindo-se ao estudo do Cálculo I), ficou mais fácil perceber a importância dos gráficos em relação à sua representação algébrica. Eu acho que ajuda muito não só pra mim, como para os meus futuros alunos do ensino médio ou fundamental, pois é uma forma de ver e analisar os conteúdos matemáticos.

Clotilde - Eu acho que o aluno ia aprender melhor, olhando pelo gráfico, apesar de, se

não for bem trabalhado em sala de aula, com certeza sentirão alguma dificuldade, mas para aprender é melhor, acredito que facilmente ele pega o jeito (referindo-se a

linguagem do software Winplot).

De acordo com Peirce (apud Hildebrand, 2002), “as imagens matemáticas são representações dos modelos que concebemos mentalmente, isto é, são signos diagramáticos que exteriorizam o comportamento de nossa idéias” (p.102).

Deste modo, sob o ponto de vista qualitativo, a imagem do cilindro relacionada aos gráficos da função Custo, Altura, Volume, Primeira e Segunda Derivadas da Função estudada, constituíram-se em ícones diagramáticos, possibilitando aos estudantes uma disponibilidade contemplativa na interpretação do problema , como pudemos perceber na fala do estudante Henrique.

Henrique - No começo não tinha entendido muito qual era a relação da construção da

latinha com as representações gráficas das funções. Mas, depois que você mostrou pelo Windows ligando um no outro, caiu a ficha, foi bem legal.

Em Semiótica, ícones expressam suas características referentes aos conceitos matemáticos em Primeiridade. Em termos da Secundidade, podemos analisar, particularmente olhando os nossos dados, que as imagens dos gráficos, formas algébricas e geométricas se referiram à forma singular no contexto não por similaridades, mas de acordo com um sistema matemático, no qual estavam inseridas, respeitando regras, propriedades e conceitos relativos aos gráficos em formas de curvas e retas correspondentes a determinadas funções algébricas.

Em termos da Terceiridade, tendo em vista tudo o que propõe a apreensão e a compreensão de uma representação ou de uma imagem e, ainda considerando o que esta imagem possa referir e representar temos, no processo da interação desta pesquisa, a interpretação das imagens pelos estudantes, por meio de diálogos e da criação de diferentes estratégias buscando dar possíveis respostas às Atividades propostas, caminhando no sentido da generalização do pensamento, em busca de uma Lei que pudesse exprimir os aspectos qualitativos e como esses aspectos se manifestavam nas imagens dos diferentes gráficos, tornado-se singulares às essas imagens por suas características matemáticas. Nesse processo, trazendo ao contexto da Atividade 4, os estudantes criaram a Função Custo, a Função Altura, a Função Volume do Cilindro que, por sua vez, representava a latinha de cerveja, ou seja, constituía-se em um signo, revelando assim suas características constituintes como objeto dinâmico e como objeto imediato do signo. Em outras palavras, as inter- relações das características conceituais e figurais das imagens, serviram como objetos de reflexão e de investigação para os estudantes desta pesquisa. Propiciando aos mesmos elaborarem raciocínios cada vez mais gerais que os auxiliaram na compreensão dos conceitos matemáticos trabalhados.

Em termos gerais, as inter-relações e coordenações entre as várias representações gráficas, geométricas e algébricas constituíram-se em uma abordagem interessante, pois implícitas aos problemas propostos nas atividade puderam ser observadas em seus aspectos sígnicos, que se materializaram em imagens, gráficos e fórmulas, todos referentes ao contexto matemático organizado, segundo um sistema fundamentalmente diagramático. De acordo com Hildebrand (2002) “as imagens representam ou traduzem uma linguagem abstrata, enquanto as expressões são representações destas formas”. (p.101).