As atividades para a utilização do Winmat, como citado anteriormente, foram propostas de maneira a proporcionar uma visão mais ampla do conteúdo de matrizes, além de criar a ambientação com o software. A seguir estão apresentadas tais atividades, seguidas das observações realizadas, bem como dos relatos apresentados pelos professores e, ao final desta parte, algumas considerações. Resta observar que tais atividades foram realizadas em duplas pelos professores participantes das oficinas, com o intuito de que os mesmos trocassem informações e pudessem, em colaboração, dirimir dúvidas atinentes ao conteúdo e em relação ao uso do software naquele contexto (OLIVEIRA, 2007).
1. Obtenha cada uma das matrizes abaixo: a) A = (aij)2x2, onde aij = i2 – 3j
b) B = (bij)3x2, onde bij = (- 1)i.(2i – 3j)
c) Em seguida determine a At e a B-1
d) Agora some At com A, você consegue identificar alguma propriedade?
Quadro 15 – Primeira questão, terceiro instrumento
Com relação à primeira questão, todos os professores participantes tiveram êxito em sua resolução. Pode-se aqui apresentar algumas colocações feitas pelos professores durante a resolução deste item:
É simples assim..., basta colocar a fórmula que a matriz aparece na tela (Professor 3).
Depois de colocar os dados no computador foi fácil, mas tenho que admitir, tive um pouco de trabalho para colocar o expoente (Professor 8).
Com base neste último relato, foi verificado, também pelo pesquisador durante o projeto, que uma das dificuldades dos professores foi relativa à linguagem “informática”, pois o programa utilizado utiliza alguns caracteres específicos para as operações, os quais, para alguns professores, eram desconhecidos – por exemplo, o caractere ^ (circunflexo) seguido de um número para indicar “elevado” (potenciação) e o caractere ´ (apóstrofo) para calcular a inversa de uma matriz.
Aqui, a preocupação da maioria dos professores foi a de notar a forma pelo qual o software facilitaria a automatização do procedimento, uma dimensão que remete ao primeiro nível de utilização das tecnologias pelos docentes, o de desenvolver fluência, que se dá pelo uso acrítico e interessado quase que tão-somente em aprender sobre a interface e de obter resultados imediatos (OLIVEIRA, 2009). 2. Sejam as matrizes − = 1 2 4 3 A e − = 1 3 5 1 B :
a) Calcule 2.(A + B) e 2.A + 2.B. Os resultados são iguais? b) Calcule 3.(A – B) e 3.A – 3.B. Os resultados são iguais? c) Calcule 2.(3.A) e (2.3).A. Os resultados são iguais? d) Calcule A1 . A matriz obtida é igual a A? .
Quadro 16 – Segunda questão, terceiro instrumento
Nesta questão, também não houve dificuldades dos professores na resolução, mas questionaram novamente em relação à linguagem da informática, como pode ser verificada na indagação realizada pelo Professor 8:
Para multiplicar tem que colocar o ponto ou não?
Novamente, destaque-se a fluência em informática (ou a falta dela) por parte de alguns professores participantes. Diante desta afirmação, pode-se apresentar outra questão levantada na oficina:
Tem diferença colocar letra maiúscula ou minúscula? (Professor 6).
Estas questões foram rapidamente solucionadas e os professores passaram a notar a existência de elementos próprios, relativos à interface, e que representavam adaptações em relação à notação matemática clássica.
3. Dadas as matrizes − = 1 1 0 2 A , − = 1 0 1 3 B e − = 0 1 2 0 C , determine a
matriz X que verifica a equação 2.A + B = X + 2.C.
Para resolver esta questão, alguns professores, utilizaram de conhecimentos matemáticos antes de utilizar o software específico, como se pode verificar na colocação de um professor:
Eu isolei a matriz X no papel e depois inseri as matrizes no programa para que ele calculasse o resultado (Professor 1).
Outro professor alegou:
Essa equação é mais fácil resolver no papel que no computador, por que no papel eu tenho mais facilidade, já copio as matrizes resultantes dos produtos com os números, que é bem mais rápido do que digitar no computador (Professor 14).
O fato de alguns professores utilizarem meios vistos como “tradicionais” em conjunto com as interfaces informáticas para resolver semelhantes exercícios não representa qualquer descompasso em relação à fase de desenvolvimento de fluência no software. Além disso, cabe ao professor determinar, de maneira crítica, qual a melhor forma de preparar e/ou de trabalhar com os conteúdos, o que pode oferecer oportunidades de convergência entre mídias “tradicionais” e “novas”. Ainda em relação à questão três, todos os professores apresentaram resultados corretos, a única ressalva é em relação ao tempo despendido na realização das tarefas em geral, alguns participantes levaram um tempo muito elevado em relação ao resto de grupo. Ainda assim, percebeu-se, pelos comentários efetuados, que a compreensão sobre os conteúdos estava mais consolidada do que em relação àquela apurada no instrumento anterior.
4. Determine, se possível, as inversas das seguintes matrizes:
= 6 3 10 5 A = 2 1 0 3 0 2 1 2 1 B
Quadro 18 – Quarta questão, terceiro instrumento
Em relação a esta questão, quatro duplas não se preocuparam com a condição para que uma matriz admita inversa. Assim, quando foi solicitado,
tela do computador uma mensagem de erro, que era interpretada por algumas duplas como um problema do programa ou erro de digitação, o que pode ser observado na seguinte consideração:
Acho que inseri algum número errado ou não estou sabendo calcular, pois já é a segunda vez que tento e apareceu de novo esse “negócio” (sic) (Professor 9).
Percebida esta dificuldade sobre conceito de inversa, apresentado também no instrumento anterior, foi aberto um debate para que o grupo, em conjunto com o pesquisador, pudesse indicar quais erros ocorriam e o motivo - surgiu, inclusive, alguma revisão sobre o tema “matrizes inversas”. Após este momento, todos os professores conseguiram realizar a tarefa. A troca de idéias e recordação dos conceitos matemáticos envolvidos revelou-se importante como elemento de reflexão sobre os próprios conhecimentos e a necessidade de estudar sobre os elementos que constituem, em última análise, a própria prática profissional (OLIVEIRA, 2007; SAVIANI, 2009).
5. Uma montadora de carretas de São Bernardo do Campo precisa de eixos e
rodas para os três modelos que produz.
A tabela I mostra a quantidade de eixos e rodas usados em cada um dos modelos: Tabela I Modelos Componentes A B C Eixos 3 4 4 Rodas 4 6 8
A tabela II mostra uma previsão de quantas carretas a fábrica deverá produzir em julho e agosto:
Tabela II
Mês
Modelos Julho Agosto
A 15 25
B 30 20
a) Quantos eixos e quantas rodas serão necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a produção desejada?
b) Se a produção a cada mês, de agosto a dezembro, for igual à de agosto, quantas rodas a montadora utilizará no segundo semestre inteiro?
Quadro 19 – Quinta questão, terceiro instrumento
Quanto à quinta questão, percebeu-se certa dificuldade por parte de alguns professores em cumprir essa tarefa. O problema verificado estava atrelado com a operação que devia ser realizada com as matrizes obtidas das tabelas presentes no exercício. Esta afirmação pode ser observada na alegação a seguir:
Vi o que era para fazer quando contei o número de linhas e colunas da tabela 1 e comparei esses valores com a tabela 2 (Professor 7).
Ainda nesta questão, as dificuldades com relação ao programa e suas ferramentas foram quase inexistentes, de acordo com um relato de um professor que explicita este fato:
Agora já tô craque! Coloquei os valores no programa e mandei calcular, e tai o resultado! (Professor 2).
Dos quinze professores, nove conseguiram realizar a atividade, sem maiores problemas. Os demais precisaram de ajuda, o que ocorreu no âmbito do próprio grupo. Observe-se, também, que esta atividade aproximava-se mais de uma problematização sobre um tema matemático – não bastava inserir os valores na interface do Winmat: seria necessário utilizar o software como uma extensão do raciocínio baseado na lógica do problema e no algoritmo adequado. Alguns professores, desta forma, conseguiram avançar na lógica de utilização do recurso tecnológico para um aspecto próximo à incorporação da tecnologia no fazer matemático (OLIVEIRA, 2009).
6. Resolva o sistema abaixo utilizando o software Winmat: − = + − − − = + − = + + 11 3 3 2 1 2 2 3 2 z y x z y x z y x
Quadro 20 – Sexta questão, terceiro instrumento
A sexta questão foi realizada com sucesso por parte dos professores9, sem nenhuma dificuldade, em consonância com o que era esperado, pois se esperava que no decorrer das atividades os obstáculos fossem superados – o que reforça a argumentação a favor de programas de formação continuada feita por Ponte (1994; 1998), Prada (1997) e Prado (1999). Destaca-se aqui um comentário realizado por um professor:
O legal é que pode obter o resultado do escalonamento de cara ou o programa oferece a opção passo a passo (Professor 2).
Ao observar esta colocação considera-se que houve, por parte do professor, a apropriação do software, pois ele conseguiu, além de realizar as operações com desenvoltura, identificar as diversas possibilidades que o programa oferece sem a necessidade de intervenção do pesquisador. Tal característica é importante para o prosseguimento da formação do professor, em caráter de autoformação.
7. (UFJF-02/adaptado) Em uma videolocadora, o acervo de filmes foi dividido, quanto ao preço, em três categorias: Série Ouro (SO), Série Prata (SP) e Série Bronze (SB). Marcelo estava fazendo sua ficha de inscrição, quando viu Paulo alugar dois filmes SO, dois filmes SP e um filme SB e pagar R$ 13,50 pela locação dos filmes. Viu também Marcos alugar quatro filmes SO, dois filmes SP e um filme SB e pagar R$ 20,50 pela locação. Marcelo alugou três filmes SO, um filme SP e dois filmes SB e pagou R$ 16,00 pela locação dos filmes. Então, nesta locadora, qual o preço da locação de três filmes, um de cada categoria?
Quadro 21 – Sétima questão, terceiro instrumento
Nesta questão, como na anterior, todos os professores que a realizaram não apresentaram dificuldades. Vale ressaltar uma consideração feita:
Já trabalhei com essa mesma questão com meus alunos (Professor 4).
9
A partir desta atividade, por falta de tempo, alguns professores que demoravam mais na consecução dos exercícios não puderam continuar. Outras observações são feitas na última parte deste trabalho.
Com essa afirmação, verificou-se que os professores trazem para sua prática questões que são abordadas em vestibulares, e muitas vezes utilizam questões como essas na elaboração de suas atividades avaliativas. Como pode ser observado no comentário de outro professor:
Eu costumo colocar questões de vestibulares passados nas minhas provas (Professor 5).
A integração de questionamentos deste tipo, com certo caráter problematizador, também pareceu mais fácil na integração com uma resolução mediada pelo Winmat.
As situações-problemas abaixo foram extraídas do artigo de Ferreira e Panciera (2006).
Situação-Problema 1:
Fernando é um aluno que pesa 73 quilos. Ela quer perder peso por meio de um programa de dieta e de exercícios. Após consultar a tabela 1, ele montou o programa de exercícios na tabela 2. Quantas calorias ele vai queimar por dia se seguir esse programa?
Tabela 1 - CALORIAS QUEIMADAS POR HORA
Peso Caminhar a 3 Km/h Correr a 9 Km/h Andar de bicicleta a 9 Km/h Jogar futebol
69 213 651 304 420
73 225 688 321 441
77 237 726 338 468
81 249 764 356 492
Suponhamos um acompanhamento deste aluno através de um programa de exercícios ao longo da semana. Tabela 2 - HORAS POR DIA PARA CADA ATIVIDADE
Caminhar Correr Andar de
Bicicleta Jogar futebol
Segunda-feira 1,0 0,0 1,0 0,0
Terça-feira 0,0 0,0 0,0 2,0
Quarta-feira 0,4 0,5 0,0 0,0
Quinta-feira 0,0 0,0 0,5 2,0
Sexta-feira 0,4 0,5 0,0 0,0
Quadro 22 – Situação-Problema 1, terceiro instrumento
Novamente, os professores concluíram esta questão sem maiores dificuldades. Neste ponto, vários professores comentaram a maneira como o
software tornava mais fácil realizar os cálculos necessários. Um dos participantes, porém, levantou a seguinte questão:
Será que esse programa não vai deixar os alunos preguiçosos? (Professor 12).
Esta frase já circulava entre alguns professores (minoria) desde o primeiro momento da oficina, e revelava certa resistência ao uso de softwares como mediadores em aulas de Matemática. A maioria dos professores,
conjecturar, em busca de uma solução que pudesse servir à aplicação. Um dos professores observou:
Os alunos já usam a calculadora do celular, em minhas aulas durante os exercícios eu deixo, pois eu acho que com isso eu consiga chamar a atenção de mais alunos e talvez deixar as aulas mais atrativas e nem por isso eles ficaram preguiçosos (Professor 4).
A mediação através de dispositivos computacionais foi entendida pelos professores, então, como parte de uma estratégia, mas que dependeria da elaboração de bons problemas, de situações que colocassem o estudante na posição de pesquisador, de forma que o mesmo necessitasse mobilizar seus conhecimentos –e adquirir novos – em busca de boas respostas. Este trabalho envolve argumentação, raciocínio, aplicação de algoritmos complexos e, boa parte das vezes, discussões. Tais dimensões não são abarcadas pelas tecnologias (OLIVEIRA, 2007).
Situação-Problema 2:
O controle do fluxo de veículos nas ruas de mão única no horário do rush no centro de uma cidade. No centro de uma cidade dois conjuntos de ruas de mão única se cruzam, como mostra a figura abaixo:
Qual é a média do número de veículos por hora que entram e saem dessa seção durante o horário de rush? Determine a quantidade de veículos entre cada um dos quatro cruzamentos.
Quadro 23 – Situação-Problema 2, terceiro instrumento
Apenas a dupla formada pelos professores 1 e 2 conseguiu realizar esta atividade. Observe-se que estes eram os professores que demonstravam ter uma maior integração entre o domínio do conteúdo matemático e da interface
computacional, o que levava que os mesmos terminassem as tarefas bem antes dos demais e trabalhassem de forma a articular os dois domínios mencionados.
Em relação às dificuldades encontradas pelos professores nesta parte da investigação, no que se refere à fluência tecnológica, pode-se considerar as observações feitas por Sampaio e Leite (1999), que apontam a alfabetização tecnológica “como um conceito que envolve o domínio contínuo e crescente das tecnologias que estão na escola e na sociedade, mediante o relacionamento crítico com elas” (SAMPAIO e LEITE, 1999, p. 75). Percebe-se, no caso desta pesquisa, que a maior parte dos professores ainda necessita de maiores iniciativas de formação para avançar do nível de consumo das tecnologias (desenvolver fluência) para a incorporação e matematização das tecnologias (OLIVEIRA, 2009). Por outro lado, é importante salientar que só o domínio das tecnologias não é suficiente: o professor deve, antes de qualquer atividade com as TICs, elaborar um planejamento e se questionar sobre as estratégias a serem abordadas.
Outro aspecto a ser considerado é em relação à resistência que alguns professores têm quanto à utilização das tecnologias. Esse fato pode estar debruçado no receio que o professor tem em relação ao computador e que este possa, num futuro não muito distante, substituí-lo, conforme afirma Libâneo (2003):
Mas há também, razões culturais e sociais como certo temor pela máquina e equipamentos eletrônicos, medo da despersonalização e de ser substituído pelo computador, ameaça ao emprego, precária formação cultural e científica ou formação que não inclui tecnologia. (LIBÂNEO, 2003, p. 68)
Oliveira (2009) sinaliza que o uso de tecnologias não substituem o professor, nem diminui a necessidade que este mantém de dominar o assunto sobre o qual se propõe a ensinar, pois sua atuação como orientador será sempre imprescindível.
Após estas considerações, chega-se a última fase das análises aqui propostas, e que se refere às estratégias pedagógicas que os professores eventualmente preparariam com uso das tecnologias.